御制数理精蕴

斗三升一合问各仓若干曰东仓一千二百○二石四斗西仓一千二百○六石南仓一千一百九十一石六斗术此与三式同以总粮为实以各仓则例乗之得各数

式六众人输钞首出八文以下各加一文至出六十文止问人钞各若干曰五十三文共钱一千八百○二文术以八文并六十文得六十八为实以六十文减八文余五十二再加首次所加一文得五十三为法以法乗实得三千六百○四折半得共钱数法即人数

式七人一百名自第一人输银一百两以下挨减五钱问共银若干曰七千五百二十五两术以百名内减去第一人余九十九名以五钱乗得四十九两五钱于一百两内减之余五十两○五钱并第一名一百两得一百五十两○五钱以乗一百名得一万五千○五十两折半即得

式八自第一日输钱一文日増一倍至三十日问该若干曰十亿○七千三百七十四万一千八百二十四术置钱一文以十度八因即得一度八因乃三日倍数十度八因乃三十日倍数也又术以五度六十四乗之亦得一度六十四乃六日倍数五度六十四乃三十日倍数也又术以三度三十二乗之得数又自乗亦得三度三十二乃十五日倍数又自乗乃三十日倍数也通曰递加倍加少广详之矣本章亦应有此故及之而此式少广之术不同

均价法

式银二十二两八钱买甲乙二物均平其甲物每三斤价四钱乙物每一斤价五钱问各若干曰各三十六斤甲共价四两八钱乙共价十八两术用差分母子互乗法【三斤　四钱一斤　五钱】以三斤乗五钱得一十五以一斤乗四钱得四并得一十九为首率两母相乗得三为次率以总银为三率求出四率三十六以乙每斤价乗之得乙共价以甲三斤价四钱乗四率又以三除之得甲共价式二银三十七两八钱买米麦荳均平每石米价八钱麦价六钱荳价四钱问各若干曰各二十一石米共价十六两八钱麦共价十二两六钱岂共价八两四钱术以总银为实并三色每石价共一两八钱为法除得二十一为各石数各以每石价乗之得各共价

式三麦每石价九钱米每石价八钱荳每石价七钱今以价均扣算问各若干曰各该价五钱○四厘麦五斗六升米六斗三升荳七斗二升衍以麦荳价相乗七九乗得六斗三升为米数以米荳价相乗七八乗得五斗六升为麦数以麦米价相乗八九乗得七斗二升为荳数各以每石价乗之皆得五钱○四厘

均募法

式雇车载重一千二百斤行道一千里给银七两五钱今重一千五百斤道一千三百里问该银若干曰十二两一钱八分七厘五毫术置今重以今道乗之得一百九十五万又以七两五钱乗之得一千四百六十二万五千为实以原重乗原道得一百二十万为法除实得今银

通曰用异乗同乗之重测法【见九章外法】亦可

式二载重一千二百斤价七两五钱行道一千里今重一千六百斤付银六两问该行道若干曰行六百里术以今银乗原行得六千又乗原重得七百二十万为实以今重乗原价得一万二千为法除实得今行

式三行道一千里价七两五钱载重一千二百斤今行一千七百里去价七两六钱五分问该载重若干曰重七百二十斤术以原行乗原重得一百二十万又乗今银得九百一十八万为实以今行乗原价得一万二千七百五十为法除实得今重

式四负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步问日可几次曰三十五次术以负米一石一斗二升乗三十步得三百三十六又乗五十次得一万六千八百为实以负米一石二斗乗四十步得四百八十为法除实得次数又术以原负乗原行为三率以五十次为次率以今负乗今行为首率

式五兵二万三千四百人各相去五步今欲缩除十六里九十步而止各相去几何曰四步七分五厘术以五步乗兵数得十一万七千步另以十六里用里法三百六十步通之得五千七百六十步加入九十步共五千八百五十步与十一万七千步相减余十一万一千一百五十步为实以兵数为法除实得步数

式六人与车俱不知数凡三人共车二车空二人共车九人步行问人车各若干曰十五车三十九人术以三人乗二人得六加九人得一十五为车数以二人乗十五得三十加九人得三十九为人数

通曰此章本以人之多寡里之逺近物之轻重而立与【分不专以算法分也数度衍卷十九】

商功章皆以事

钦定四库全书

数度衍卷二十

桐城　方中通　撰

借推盈朒【盈朒之一】

借虚征实差分备矣更有子母杂互隐奥难知者则两借虚数以征之盈者有余也朒者不足也

两不足法

式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总若干曰一千四百四十术先借二十四为通数列左上半为十二于内去三之一为四去四之一为三余五以比三百不足二百九十五列左下又借九

十六为通数

列右上半为

四十八于内

去三之一为十六去四之一为十二余二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得数注右右上乗左下得数注左两不足相减余为法两乗得数相减余为实以法除实得原总一千四百四十半为七百二十于内去三之一为二百四十去四之一为一百八十余三百合问

式二设一数乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原数若

干曰十三术

先借二列左

上乗三得六

外加十得十

六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗两不足减余为法两乗数减余为实以法除得一十三如例乗加合六千七百之数

式三二人分银一百两若均分则每人五十然须甲还所得三之一乙还所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四两又七分两之二乙三十五两又七分两之五术先借三十两为甲裒列左上借乙裒七

十附列于甲裒内

减三之一为一十

存二十于乙裒内

减五之一为十四而以乙减归甲十四并二十为三十四以比五十不足十六列左下又借六十两为甲裒列右上借乙裒四十附列于甲裒内减三之一为二十存四十于乙裒内减五之一为八而以乙减归甲八并四十为四十八以比五十不足二列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得甲数于一百内减甲数余乙数

通曰乙减归甲故与甲裒乗也若甲减归乙则与乙裒乗而先求得乙数矣

式四设一数以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其数若干曰七十二术借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十

三加二十

二得三十

五以比一

百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百

式五二商母银不知数云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七两又五十九之二甲母十八两又五十九之十二术从乙起算先借二十为乙裒列左上内减十二余八以当甲六之一用六因求甲得四十八内减还乙十二存三十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩数较乙加数是十之一否甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百为

乙裒列右上

内减十二余

八十八以当

甲六之一用

六因求甲得五百二十八内减还乙十二存五百一十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙较甲是十之一否甲五百○一则乙当五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得乙母内捐十二与甲余五两又五十九之二六乘得三十两又五十九之十二内减还十二存甲母内捐十五与乙加乙母得三十二两又五十九之二甲剩三两又五十九之十二乃乙十之一也

式六甲乙丙三人共博甲赢乙二之一乙赢丙三之一丙又赢甲四之一各剰银七百两其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百术先借一百为甲裒列左上内捐与丙四之一曰二十五存七十五而总有七百是

所赢乙二之一

为六百二十五

【七百内去七十五】而乙

裒当为一千二

百五十矣【两其六百】

【二十五】附列内捐二之一剰六百二十五又赢丙三之一共得七百是所赢丙为七十五【七百内去六百二十五】而丙裒当为二百二十五矣【三其七十五】又附列内捐与乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百为甲裒列右上内捐与丙四之一曰五十存一百五十而总有七百是所赢乙二之一为五百五十【七百内去一百五十】而乙裒当为一千一百矣【两其五百五十】附列内捐二之一剩五百五十又赢丙三之一共得七百是所赢丙为一百五十【七百内去五百五十】而丙裒当为四百五十矣【三其一百五十】又附列内捐与乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得四百为甲母内减四之一存三百加乙二之一为七百是所加四百因知乙母八百也以乙母减二之一存四百加丙三之一为七百是所加三百因知丙母九百也以丙母减三之一存六百加甲四之一为七百

通曰不足数与乙裒乗求得乙母与丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共贩得子银四百两其分数乙比甲多十二两丙比乙多十六两问各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八术先借一两为甲裒列左上乙该十三丙该二十九共四十三比四百不足三

百五十七列左下又

借二两为甲裒列右

上乙该十四丙该三

十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲数加多得乙丙数

式八绫七尺罗九尺两共价等其每尺价罗少三十六文其各尺价若干曰绫每尺一百六十二文共一千一百三十四文罗每尺一百二十六文共与绫等术先借七十二为绫价列左上罗价当为三十六列次各以尺

数乗之绫得五百○四罗得三百二十四以罗视绫不足一百八十列左下又借一百为绫价列右上罗当为六十四列次各以尺数乗之绫得七百罗得五百七十六以罗视绫不足一百二十四列右下两不足减余为法以不足数乗绫裒得绫实以法除得绫每尺价乗罗裒得罗实以法除得罗每尺价各以尺数乗得各共价式九鸡同笼不知数云九十六头三百○八足问各若

干曰鸡三十八兔五十八术以九十六头爲主先借鸡四十八列右上该四十八【九十六内去四十八存四十八】列次鸡二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借鸡六十列左上该三十六【九十六内去六十存三十六】列次鸡为一百二十足为一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下两不足减余为法以下互乗上裒减余为鸡实以法除得鸡数以下互乗次裒减余为免实以法除得数又各乗得足数合三百○八又术倍九十六头为一百九十二以减总足余一百一十六以二除得五十八为数用四足乘得二百三十二足以减总足余七十六以二除得三十八为鸡数【琇曰鸡足半共足减共头余足分共足减共头倍余为鸡】

两盈法

式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余

三百其原总几何曰

一千四百四十术先

借四千八百为通数

列左上半为二千四百三之一为八百四之一为六百皆于通数内减之余一千以比三百盈七百列左下又借二千四百为通数列右上半为一千二百三之一为四百四之一为三百皆于右通数内减之余五百以比三百盈二百列右下两盈相减余为法左右上下互乗得数相减余为实以法除实得原总

通曰与前一式同但彼于半通数内减各分此于通数内并半数而减之两法皆可用也

式二三人共分银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两问各若干曰甲五两乙十四两丙二十五两术先借甲一十列左上乙倍得二十

加四共二十四丙兼

甲乙又加六共四十

并三数得七十四比

四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三数得五十比四十四盈六列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲五两倍为十加四共十四两为乙数兼甲乙得十九又加六共二十五两为丙数如左图用各裒乗便求得各数也

又术通曰乙多四丙兼甲乙而多六则必兼多乙之四矣并三多为十四于总银内减之余三十为实乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停为法除实得五两为甲一停之数亦合

式三以一千剖为二甲多于乙四十九两问各几何曰甲五百二十四两五钱乙四百七十五两五钱术先借

六百为甲裒

列左上乙四

百附列较差

二百比四十

九盈一百五十一列左下另借五百五十为甲裒列右上乙四百五十附列较差一百比四十九盈五十一列

右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲数减总得乙数又术通曰以一千剖为二得五百以四十九剖为二得二十四两五钱五百外加二十四两五钱为甲数五百内减二十四两五钱为乙数又术通曰于一千内减去四十九余九百五十一剖为二得四百七十五两五钱为乙数减总得甲

式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪则多乙二倍以葢加乙罏则与甲等问各几何曰甲三百斤乙一百五十斤术先借三十为甲裒列左上葢附列共一百

八十又附列以

三之一为乙裒

得六十加葢共

二百一十比甲

裒盈一百八十列左下又借九十为甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一为乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙鑪

式五二人银不知数减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则正等问各几何曰甲三十两乙二十四

两术从乙起算先借十

五为乙裒列左上内减

六存九以当甲之半则

甲该十八内减所加六得十二为甲裒内取三与乙则甲剰九以较乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十为乙裒列右上内减六存十四倍得二十八为甲内减所加六得二十二为甲裒内取三与乙则甲剰十九以较乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得乙二十四减六存十八倍得三十六减六得甲三十内减三与乙则与乙二十四加三正等

式六漏壶注水有三孔甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则几时水

尽曰一时术借四时列左

上以四时推甲当尽二壶

乙当尽一壶又三分壶之

一丙当尽三分壶之二并之四时共尽四壶比原问一壶盈三列左下另借十时列右上推甲当尽五壶乙当尽三壶又三分壶之一丙当尽一壶又三分壶之二并之十时共尽十壶比原问一壶盈九列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得一时甲尽半壶乙尽三分壶之一丙尽六分壶之一正合一壶之数

通曰左裒推得四时尽四壶亦已明矣用合率差分法亦可

式七黄金百斤制鑪不用销毁欲知匠和银若干曰和银十六斤又三分斤之二术以三器贮水等重一投金鑪溢水六十五斤一投纯金百斤溢水六十斤一投纯

银百斤溢水九十斤如

法求之先借四十为和

银数列左上存金六十

附列以溢水裒推之存金六十斤该溢水三十六斤和银四十斤该溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十为和银数存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤该溢水四十二斤和银三十斤该溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得十六斤又三分斤之二为和银数推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之数

式八调南北西三处兵南兵四万北兵为南及西二分之一西兵为南及北三分之一问北西各几何曰北三万二千西二万四千术先借三万为北裒列左上推得南西共六万去南四万西仅二万附列西为南北三之

一则南北当为六

万今得七万是盈

一万也列左下又

借二万四千为北

裒列右上推得南

西共四万八千去

南四万西仅八千附列西为南北三之一则南北当为二万四千今得六万四千是盈四万也列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得北兵推知西兵二万四千

式九金九锭银十一锭等重互换一锭则金轻十三两问各若干曰金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十

九两二钱五分金九锭共重三百二十一两七钱五分银十一锭共重正等术金轻十三两则金银较为六两五钱先借十三两为金裒列右上银该六两五钱【去较数】列次金九锭乗十三得一百一十七两银十一锭乗六五得七十一两五钱以金比银盈四十五两五钱列右下又借二十四两为金裒列左上银该十七两五钱【去较数】列次金九锭乗二十四得二百一十六两银十一锭乗十七五得一百九十二两五钱以金比银盈二十三两五钱列左下两盈减余为法上与下互乗减余为金实以法除得金一锭数次与下互乗减余为银实以法除得银

一锭数各以锭数乗得共重正等又术以较六两五钱乗金九锭得五十八两五钱为实以金九锭银十一锭相减余二为法除得银一锭数又以较乗银十一锭得七十一两五钱为实以法二除得金一锭数

通曰又术即合率差分法也

一盈一不足法

式物价九十六两三人共买甲出不知数乙于甲内少二两丙于甲乙二人外多四两问各若干曰甲二十四两乙二十二两丙五十两术先借二十为甲数列左上

乙当十八丙当四十二

并得八十较原价不足

十六列左下又借三十

为甲数列右上乙当二十八丙当六十二并得一百二十较原价盈二十四列右下盈不足并得四十为法左右上下互乗并得九百六十为实以法除得甲数推知乙丙

式二物价二千七百两三人共买甲出不知数乙倍甲丙倍甲乙问各若干曰甲三百两乙六百两丙一千八

百两术先借二百为甲

数列左上乙四百丙一

千二百并得一千八百

较原价不足九百列左下又借四百为甲数列右上乙八百丙二千四百并得三千六百较原价盈九百列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数推知乙丙又术通曰只拟甲出十两为率甲十乙二十丙六十并得九十为法以甲十两乗原价得二万七千为实以法除得甲数

式三设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原数几何曰一千四百四十术先借二千四

百列左上半为一千二

百内三之一去四百四

之一去三百余五百比

三百盈二百列左下又

借九十六列右上半为四十八内三之一去十六四之一去十二余二十比三百不足二百八十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原数

式四甲乙不知数取乙九与甲则甲倍乙取甲九与乙则甲乙等问各若干曰甲六十三乙四十五术先借一

百为等

数乙得

甲九则

甲原是

一百○

九列左上乙为九十一列次甲若取乙九则甲得一百一十八而乙余八十二比甲之半五十九【甲系倍乙】盈二十三列左下又借五十为等数乙得甲九则甲原是五十九列右上乙为四十一列次甲若取乙九则甲得六十八而乙余三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并为法上乗并为甲实次乗并为乙实以法各除得各数

式五携酒游山四处每沽増一倍俱饮六升恰尽问原携若干曰五升六合二勺五抄术先借五升四合列右上倍得一斗○八合减六升余四升八合又倍得九升六合减六升余三升六合又倍得七升二合减六升余

一升二合又倍得

二升四合减六升

不足三升六合列

右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合减六升余六升四合又倍得一斗二升八合减六升余六升八合又倍得一斗三升六合减六升余七升六合又倍得一斗五升二合减六升盈九升二合列左下盈不足并为法互乗并为实以法除得原携酒数四次倍减适尽

式六贷糓不知数每年加息一倍又还糓五十石至三年本息俱完问原贷若干曰四十三石七斗五升术先

借四十三列左上倍

得八十六减五十余

三十六又倍得七十

二减五十余二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八减五十余三十八又倍得七十六减五十余二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原糓

式七逐百只每三人得四只该几人曰七十五人术先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列

右下盈不足并为法

互乗并为实以法除

得人数又术通曰用

三累法【见九章外法】以四只为一率三人为二率百只为三率求之亦可

式八三人共数六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六问各几何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十

三术先借六为

甲倍之加四乙

得十六兼甲乙

加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八为甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并为法甲互乗并为实以法除得甲数推得乙丙