御制数理精蕴

并为法甲互乗并为实以法除得甲数推得乙丙

式九以三十数剖为二甲加六十乙加二十而甲为乙三倍其剖分各几何曰甲二十二又二之一乙七又二

之一术先借二十为甲

列左上乙一十附列甲

加六十得八十乙加二

十得三十以甲比乙乙三十甲当九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四为甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲当七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数三之一得乙又术通曰以三十剖为四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五

式十二人分银百两须甲捐三之一乙捐四之一平分捐数方各得五十两其未均数各几何曰甲五十二两又十七分两之十六乙四十七两又十七分两之一术

先借六十为甲列左

上乙四十附列减甲

三之一为二十存四

十减乙四之一为一十存三十和两减之三十均得十五以甲得十五合减存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四为甲列右上乙七十六附列减甲三之一为八存十六减乙四之一为十九存五十七和两减之二十七均得十三五以甲得十三五合减存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数减总得乙

式十一二鑪一葢重百两葢加甲鑪则三倍于乙葢加乙鑪则二倍于甲问各若干曰甲鑪八十两乙鑪六十

两术先借五十为甲列左

上加葢共一百五十附列

以三之一为乙五十加葢

得一百五十甲是五十乙

加葢只该一百今盈五十列左下又借一百一十为甲列右上加葢共二百一十附列以三之一为乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢当二百二十今不足五十列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数推得乙

式十二甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日曰四十五日术须知甲之十八日乃三

十日内五分之三

则知乙十八日为

五分之二先借四

十为乙列左上以十八日完五之二推之四十日当完九之八不足九之一列左下又借六十为乙列右上以十八日完五之二推之六十日当全完又盈九之三列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得乙日【用奇零法见前】又术通曰既知十八日为乙五分之二则以十八折半得九用五乗之亦得乙日

式十三牛羊共百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫银一两五钱问各若干曰牛三十六价

一百四十

四两羊六

十四价二

十四两术

先以三归

十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而皆化为厘算之乃借六十为牛列左上羊四十列次以乗各价牛乘四千厘得二十四万羊乘三百七十五厘得一万五千并得二十五万五千厘比总价盈八千七百厘列左下又借三十为牛列右上羊七十列次以乗各价牛得十二万羊得二万六千二百五十并得十四万六千二百五十厘比总价不足二千一百七十五厘列右下并盈不足为法并上互乗为牛实次互乗为羊实以法除得各数

通曰盈本八万七千不足本二万一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升则法实俱升降则法实俱降也

叠求法

式甲乙丙三数甲加七十三则为乙丙数者二乙加七十三则为甲丙数者三丙加七十三则为甲乙数者四问各几何曰甲七乙十七丙二十三术此因有三之二及四之三当借奇数求甲而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一【奇数】为甲裒加七十三得七十四当为兼乙丙而倍之之数因折半三十七为乙丙数而乙数另须借推第一图先借二为乙列左上乙

丙数三

十七内

减二余

丙三十

五列次乃以二加七十三得七十五以较甲丙合数三十六【甲一丙三十五】三其合数该一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五为乙列右上乙丙数三十七内减五余丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以较甲丙合数三十三【甲一丙三十二】三其合数该九十九今只七十八是不足二十一也列右下两不足减余为法两互乗减余为实以法除得一十又四之一为乙裒另列初借甲裒一列后第三图左上乙裒列次乙丙共三十七内减乙得丙二十六又四之三列次再借三【奇数】为甲裒加七十三得七十六当为兼乙丙而倍之之数因折半三十八为乙丙数而乙数另须借推第二图先借二为乙列左上乙丙数三十八内减二余丙三十六七十四为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十七】乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共数合八十三又四之一无差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共数只该四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十八】乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共数合八十五又二之一无差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共数只该六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下两盈减余为法甲乗减余为甲实乙乗减余为乙实丙乗减余为丙实以法除得各数甲七加七十三得八十为兼乙丙共数四十者二乙十七加七十三得九十为兼甲丙共数三十者三丙二十三加七十三得九十六为兼甲乙共数二十四者四合问通曰本章诸式多与差分同两法皆可求者则同也原带盈朒【盈朒之二】

一盈一不足法

式买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干曰五人物价十九两术左列五之六【即五

两盈六两】右列三之

四【即三两不足四两】两

子并为人实母

子互乗并为物实两母减余为法以法除人实得人数以法除物实得物价再以五人乗五减六或以五人乗三加四皆同物价若用借裒先借四人列左上乗五得

二十减六存十四又以四

乗三得十二加四得十六

两数相较不足二列左下

另借七人列右上乗五得三十五减六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五两数相较盈四列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得五人

式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石术五之三十列左六之四十列右两子并为人实母子互乗并为糓实两母减余为法除人实得人数除糓实得糓数再以人

数乘五石加

盈三十或以

人数乗六石

减不足四十皆同糓数前式系出率故减盈増不足此式系入率故増盈减不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十

乗六得一百八十减四

十存一百四十两数相

较盈四十列左下另借

一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百减四十存五百六十两数相较不足三十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得人数

式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何曰绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸术先以幅数乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三

尺六寸列下以

七列右上乗不

足四寸得二尺

八寸列下两子并为旧实母子互乗并为新实两母减余为法得旧帐幅长除新实得绢长

式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截积之步五十五原濶步八术左列六之七右列八之九并子为濶实并

母子互乗为截

实两母减余为

法各以法除得

数

两盈法

式买物每人出三两五钱盈六两每人出三两三钱盈二两八钱人数物价各若干曰十六人物价五十两术两出率左右列两盈各列其下两子减余为人实母子

互乗减余为物

实两母减余为

法各以法除得

数

式二井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺折

作四股入井汲

水余绳一尺井

深绳长各几何

曰井深八尺绳长三丈六尺术左三股右四股列上以三乗四尺得十二为左子以四乗一尺得四为右子俱列下两子减余为井实母子互乗减余为绳实两母减余为法各以法除得数

两不足法

式买物每人出银五两不足四两每人出银五两四钱不足二两人数物价各若干曰五人物价二十九两术

左列五十之

四十【升两为十】右

列五十四之

二十两子减余为人实母子互乗减余为物实两母减余为法各以法除得数

一适足一盈法

式买物每人出二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干曰三十人物价六十九两术以二

十五列左上盈六十列

下以二十三列右上无

下数即以盈数为人实

左子乗右母为物实两母减余为法各以法除得数或不乗物实以人数乗适足之母亦得物价

式二以米换布换九疋适足换七疋米多四斗米数布

价各若干曰共米一石八斗每疋

值米二斗术左列九适足右列七

盈四以盈数为米实两母减余为

法除得二斗为每疋换米数乃以适足之母九乗之得共米

一适足一不足法

式买物每人出七两不足十四两每人出九两适足人数物价各若干曰七人物价六十三两术左列七不足

十四右列九适足

以不足为人实左

子乗右母为物实

两母减余为法各以法除得数或以人数乗适足之母亦得物价

叠数盈朒法

式买物每八人共出七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干曰三十六人物价二十七两术分三层以八人列左上九人列右上两上相乗

得七十二为通数共出七两列左中共出六两列右中上中互乗减余为法盈四两五钱列左下不足三两列右下以下与两乗数再互乗并为物实两下并得七十五又乗通数为人实各以法除得数

通曰下层并之数皆以千降百也

式二买物每六人出九两盈三两每四人出七两盈六两人数物价各若干曰十二人物价十五两术六人列左上四人列右上相乗得二十四为通数九两列左中

七两列右中上中互乗减余为法盈三两列左下盈六两列右下以下与两乗数再互乗减余为物实两下相减余三又乗通数为人实各以法除得数　其叠数两不足者仿此

式三买物每三人出五两不足十两五人出九两适足人数物价各若干曰七十五人物价一百三十五两术三

人列左上五人列右上乗得通数五两列左中九两列右中上中互乗减余为法不足十两列左下以左下乗右乗数为物实以左下乗通数为人实各以法除得数　其叠数之盈适足者仿此

母子盈朒法

式银不知数买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干曰总银六十两物价三十七

两术上层左列五之三右列三之二母子互乗右得一十再乗不足一两得一十左得九再乗盈三两得二十七乃以右乗之一十列左中左乗之九列右中以右再乗之一十列左下左再乗之二十七列右下上层两子乗得通数中层左右相减余为法下层左右相并为物实中下互乗并数又以通数除之为银实各以法除得数

式二银不知数买物取六分之四盈二两取四分之三盈三两五钱银数物价各若干曰总银十八两物价十两术上层左列四之三右列六之四母子互乗右得十六再乗盈三两五钱得五十六左得十八再乗盈二两得三

十六乃以右乗之十六列左中左乗之十八列右中以右再乗之五十六列左下左再乗之三十六列右下上层两子乗得通数中层左右减余为法下层左右减余为物实中下互乗减余又以通数除之为银实各以法除得数

式三派银不言数但知甲乙二等户乙户所办当甲戸十之八令甲八户乙五戸纳之不足五两令甲六戸乙八戸纳之不足三两其派银数及各戸则例若干曰甲一戸办五两乙一戸办四两派银六十五两术以甲裒一十【乙当甲十之八故以一十为甲裒】乗八户得八十乙裒八乗五户

得四十并得

一百二十列

左上又以甲

裒一十乗六户得六十乙裒八乗八户得六十四并得一百二十四列右上其不足五两列左三两列右两母

减余为法两互乗减余为银实两子减余为则例实以法除银实得派银以法除则例实得五钱甲裒一十乗五钱得甲一户数乙裒八乗五钱得乙一戸数

式四钱不知数买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干曰钱五十六文物价二十四文

术七之

三列左

二之一

列右母子互乗左子乗得六另列右右子乗得七另列左而以六乗盈四得二十四列右下为物实又以二十四乗适足之母七得一百六十八为钱实两另列之母减余一为法除物实得物价原子相乗得三为法除钱实得钱数

式五粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦及每银一两粜麦若干曰总麦四十八石银一两粜二石术左列三之一右列八之三互乗之左得八再乗十两得八十另列右右得九再乗八两得七十二另列左乃以适足之银

八乗不足之麦二得十六石列右下为银实又以右下乗左上得一千一百五十二以原子相乗得三除之得三百八十四为麦实另列两母减余得八为法除麦实得总麦除银实得麦二石乃价银一两之所粜也

数度衍卷二十

<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>

钦定四库全书

数度衍卷二十一

桐城　方中通　撰

方程

杂和较乘法

通曰数之不齐者以乗齐之数之不齐者以较齐之徧用者方程也

二色方程

式鼎三彞二共重一百四十五两又鼎四彞五共重二百七十五两问二色各重若干曰鼎二十五两彞三十五两术分三段徧乗之鼎四列左上彛五列左中共重

二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乗左上得十二乗左中得十五乗左下得八百二十五注左以左上鼎四乗右上得十二乗右中得八乗右下得五百八十注右又以乗数各相对减两鼎减尽不用两彛减余七两共重减余二百四十五乃以少除多当以二百四十五为实以七为法除得三十五两为一彛之重以右中彛二乗得七十以减右下共重一百四十五余七十五以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重若以彞徧乗以七为法亦同所得减余之实乃一百七十五以法除得毎鼎二十五两以左上鼎四乗得一百以减左下共重余一百七十五两为五彛重数葢鼎乗反得彛彛乗反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之后左右皆可求也

式二纱三疋绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱问二色各价若干曰纱每疋价八钱绢每疋价六钱术与右同

式三七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等问各重若干曰每钏重七钱每钗重五钱

术此依互换

者列位一系

六钏一钗一

系一钏八钗而中分其共重之数左右列下以右钏六徧乗左行钗得四十八重得二十八两二钱以左钏一徧乗右行钗得一重得四两七钱对减中段减余四十七为法下段减余二十三两五钱为实【作二百三十五】以法除得五钱为一钗数以减右重余四两二钱为六钏共数以六除得每钏七钱若以钗徧乗者得减余之实三十二两九钱以法四十七除得七钱为一钏数

通曰上段互乗相减必尽可以不乗矣

式四钱一万文买二马一牛则不足半马之价买一马二牛则余半牛之价牛马价各若干曰牛价一千八百

一十八

文又十

一之二

马价五千四百五十四文又十一之六术此当以不足半马者损为一马又二分马之一及一牛也以余半牛者益为一马及二牛又二分牛之一也依法列段用整带零乗除之【见奇零】以右马徧乗左行左中得三头四之三左下得一万五千以左马徧乗右行右中得一头右下得一万对减中段减余二头又四之三为法下段减余五千文为实以法除得牛价以减右总价余八千一百八十一文又十一之九以右上马一匹又二之一除之得马价

式五甲乙二窖积粟云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙各满二千石其各原窖几何曰甲一千六百石

乙一千二百石术

此零法列位互乗

甲得六千乙得四千减余二千为实两母并五为法除得四百以乙母三乗得乙以减二千余八百以甲母二乘得甲其各以母乗者葢前所除为子数必归母见整故也

式六每工种麦三畦菽四畦共种三百○一畦其菽麦畦及工各若干曰麦一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三术此为双头单脚互乗取三四左右列之并七为法下列总畦若求麦数者左三乗总畦得九百○

三以法除得麦

畦又以四乗得

五百一十六以左三除得菽畦若求菽数者右四乗总畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乗得五百一十六以右四除得麦畦又术通曰以三四并七为法除总畦得四十三为工数以麦三乘工数得麦畦以菽四乗工数得菽畦

式七银二百六十四两买牛羊共百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱牛羊及价各若干曰牛三十六头价二百四十两羊六十四羫价二十四两术左

右列定牛乗羊价羊乗牛价得数减余七十五两五钱为法总牵总价列下如求牛数者以羊四乗总价得一千○五十六以羊价一两五钱乗总牵得一百五十相减余九百○六为实以法除得十二为牛裒以牛三乗得三十六头以二十两乗牛裒得牛共价总内减牛余羊如求羊数者以牛三乗总价得七百九十二以牛价二十两乗总牵得二千相减余一千二百○八为实以法除得十六为羊裒以羊四乗得六十四羫以一两五钱乗羊裒得羊共价总内减羊余牛

式八用匠五千名包砖板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方问隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名砖隄九百八十方匠一千七百一十五名术通

曰与右同总匠即总价共方即总牵砖板即牛羊也式九百饼饭大小百僧一大僧食三饼三小僧食一饼其大小僧各若干曰大僧二十五食饼七十五小僧七十五食饼二十五术通曰此两总同数其裒必同也左右列定互乗相减余八为法总僧总饼列下如求大僧

者以小三

乗总饼得

三百小食一乗总僧得一百相减余二百为实以法除得二十五为裒大一乗裒得大僧数以食三乗裒得饼如求小僧者以小三乗裒得小僧数以食一乗裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数

三色方程

式四雀六燕七鹪共重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鹪重三分术

置左右中三行作四段列之以右五雀徧乗中行雀得十五燕得二十五鹪得四十五重得四两○五分注中以中三雀徧乗右行雀得十五燕得二十一鹪得二十四重得三两一钱八分注右中右对减雀无余燕余四鹪余二十一重余八钱七分另列后图之右以右五雀徧乗左行雀得二十燕得三十鹪得三十五重得四两四钱五分注左以左四雀徧乗右行雀得二十燕得二十八鹪得三十二重得四两二钱四分注右左右对减雀无余燕余二鹪余三重余二钱一分另列后图之左除雀无余不用后图止三段以右行燕四徧乗左行燕得八鹪得十二重得八钱四分注左以左行燕二徧乗

右行燕得八鹪得四十二重得一两七钱四分注右对减燕无余鹪余三十为法重余九钱为实以法除得二分为一鹪之重乗左三鹪得九分以减左重余一钱二分为左二燕之重每燕六分乃于前图左重八钱九分内去原鹪七重二钱一分原燕六重三钱六分尚存三钱二分为原四雀之重每雀八分或于前图右行中行原数内推之皆得

式二犒夫二人共饭一分三人共酒一分四人共肉一分总用饭酒肉六十五分计夫若干曰夫六十饭三十分酒二十分肉十五分术以二人乗三人得六三人乗四人得十二四人乗二人得八并得二十六为法以二乗三得六乗四得二十四乗总分六十五得一千五百六十为实以法除得夫数推知各数

附式七人醵金甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱丙丁不知问各若干曰甲十二两二钱乙十一两五钱丙十两○八钱丁十两○一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两术先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一为四又乗三得十二减半得六又减三余三为右中率取左二乗七人得十四减右三余十一为左中率下列各共银乃以左二徧乗右行中得

六下得五十二

两二钱以右三

徧乗左行中得三十三下得七十一两一钱对减中余二十七为法下余十八两九钱为实以法除得隔母七钱再取甲乙共数并入七钱减半得甲十二两二钱减七钱得各数

通曰隔母即递减数也用带分子母差分法亦可附式竹筩九节下三节共乗粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知问各节盛若干曰一节六合二节七合三节八合四节九合五节一升六节一升一合七节一升二合八节一升三合九节一升四合术左列下

三右列上四用右

法求得右中率六

左中率二十一下列各共盛乃以左三徧乗右行中得十八下得九分以右四徧乗左行中得八十四下得十五分六厘对减中余六十六为法下余六分六厘为隔母率却以法乗左三升九合得二百五十七分四厘以左三除得八十五分八厘为第八节数加母率得九节九十二分四厘若递减母率七节得七十九分二厘六节得七十二分六厘五节得六十六分四节得五十九分四厘三节得五十二分八厘二节得四十六分二厘一节得三十九分六厘各以法六十六除得各粟数又术以中余六十六为法下余六十六为实以法除得一合为隔母率以左三除左三升九合得一升三合为八节

通曰前式甲乙二人共数故加隔母折半而得甲此式下三节共数故所求即第八节乃下三节之中节也