御制数理精蕴

为负此皆自然之理施之于算无往不合者其要则曰同减异借异减同借两言而已每见算家之书于已经并减之数及应借之数处之茫然莫能致辨于是误在毫厘失之千里纵复强为牵合究且于率难通则方程之法或防乎废矣兹因论并减异同而并畅其説然后以三色四色方程着例于左览者当如观火而自五色以上直可推之至于无穷也【右一条新订】

三色方程例　假如绫五匹纱三匹防五匹共价二十二两五钱又绫四匹纱二匹防七匹共价二十一两又绫八匹纱六匹防九匹共价三十九两问三物每匹价各防何法依所问列左右中三行乃以左行中行绫互乘纱防及价又以右行中行绫互乗纱防及价所得数各注于其下次以中行左行相减且如左行为主【或以中行为主亦可】减得纱正八防负二十价负一十二注左行之旁又以中行右行相减且如右行为主减得纱正二防负一十五价负一十五注右行之旁【图式具后其左右中三行上中三层俱可互换耳】

两旁所注数即是二色方程再依二色法求之得防每匹价一两二钱纱每匹一两五钱二价旣得绫价易见每匹二两四钱【按右例原数无正负因相减而有正负也若左例原数已兼正负则别为一条　又按方程章惟右一例不可用借徴法余并可以借徴求之而条缕多者方程为便】

三色方程兼正负例　假如绫五匹换纱三匹绫家得银七两五钱又绫四匹换纱二匹防七匹绫家出银一两八钱又绫八匹换防九匹绫家得银八两四钱问三物每匹价各防何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘余物及价各注所得数空者阙之【依后图以上乗下为便故第一层三行俱实而空位则在下诸层也】次以中行左行相并减且如左行为主借得纱正一十六减得防正二十并得价正四十八又以中行右行相并减且如右行为主减得纱负二借得防正三十五并得价正三十九注于两旁

再以二色方程法求之【物价同前例右一条新增】

三色方程兼正负又例【前法止于三色而已此法则四色五色所从出也】　假如依前例绫正五纱负三价正七两五钱绫正四纱负二防负七价负一两八钱绫正八防负九价正八两四钱求各物价法列三行如后图式【惟第一行第三层第三行第二层可虗可实余必如图】专以第三行为主先以第三行纱互乗第一行绫防及价以第一行纱互乗第三行绫及价各注所得数乃以第三行与第一行相并减借得防正二十一减得绫负二并得价正二十两零四钱次以第三行借防互乗第二行绫及价以第二行防互乗第三行绫及价【就第一行互乗相并减之数而乗之非乗原数也】各注所得数乃以第三行与第二行相并减减得绫正一百五十为法并得价正三百六十两为实以法除实得绫每匹价以次求各价

又如行程顾骡一匹马一匹共价钱七百又顾马二匹驴一匹共价八百四十又顾骡一匹驴三匹共价七百问三物每匹顾値各防何法列三行如前以第三行与第一行互乗乃相并减借得马负一驴无并减只用乗得之数价减尽不存次与第二行互乗第三行价已尽无乗阙之乃相并减并得驴正七为法借得价正八百四十为实以法除实得驴每匹价一百二十以次求各价驴每匹三百四十马每匹三百六十

按此例三物及价俱正而云正负者三物中缺其一是乃所谓负也算家就物强分正负则谬之甚者又如依前所问更置其位先求一骡之力

又更置其位先求一马之力【此例算家误甚故反覆以明之】

【右一条三式俱新订】

四色方程兼正负例【四色五色以上皆与三色一法聊着此以见例云】假如绫二匹纱七匹共价一十五两三钱又纱　匹绢三匹共价九两又绢五匹防五匹共价一十一两又防四匹绫三匹共价一十二两问四物每匹价各防何法列四行如后图式乃依前法以第四行为主先与第一行互乘而并减之次第二行次第三行最后减得防负一百五十五为法价负一百八十六为实以法除实得防每匹价一两二钱余价次第求之绫每匹二两四钱纱每匹一两五钱绢每匹一两

按自三色方程以上凡前诸行所有之物为末行所无者互乗后即借其乘得之数下层之价亦然如末行无价与第一行互乘而借其数或第一行亦无价则待至二三行互乘后有数而借之也若有数而减尽即彼此俱无数当于次行互乗后借之其末行所有之物为前诸行所无者无可并减末行只用互乗所得之数下层之价亦然【右一条新订】

九章录要卷十

<子部,天文算法类,算书之属,九章录要>

钦定四库全书

九章录要卷十一之一

松江屠文漪撰

句股法

古九章九曰句股以御髙深广逺

广曰句

修曰股

斜径曰

句股相减之差数曰句股较

句相减之差数曰句较

股相减之差数曰股较

与句股较相减之差数曰较较　【句较和　股和较】与句股和相减之差数曰和较　【句较较　股较较】

句股相并之通数曰句股和

句相并之通数曰句和

股相并之通数曰股和

与句股较相并之通数曰较和　【句和较　股较和】

与句股和相并之通数曰和和　【句和和　股和和】

句股求　法并句股实得实开方　又法并句股较实句股和实半之亦得实

句求股　法以句实减实得股实开方　又法以句较乗句和亦得股实

股求句　法以股实减实得句实开方　又法以股较乗股和亦得句实

句与股较求股　法以较除句实得股和【和减较半之得股和幷较半之得余仿此】　又法以句实减较实倍较而除之得股【股并较得】　又法以句实并较实倍较而除之得【减较得股】

股与句较求句　法以较除股实得句和　又法以股实减较实倍较而除之得句　又法以股实并较实倍较而除之得

句与股和求股　法以和除句实得股较　又法以句实减和实倍和而除之得股【股减和得】　又法以句实并和实倍和而除之得【减和得股】

股与句和求句　法以和除股实得句较　又法以股实减和实倍和而除之得句　又法以股实并和实倍和而除之得

句与较较求股　法以句减较较得股较股与较较求句　法以股并较较得句和句与和较求股　法以句减和较得股较股与和较求句　法以股减和较得句较句与较和求股　法以句并较和得股和股与较和求句　法以股减较和得句较句与和和求股　法以句减和和得股和股与和和求句　法以股减和和得句和与句股较求句股　法倍实减较实开方得句股和

与句股和求句股　法倍实减和实开方得句股较

句较股较求句股　法以两较相乗倍之开方得和较并股较得句并句较得股并两较得减句股和亦得

句和股和求句股　法以两和相乘倍之开方得和和减股和得句减句和得股减两和得减句股和亦得

句和股较求句股　法以和较相乘倍之开方得较较减股较得句减句和得股减一较一和得并句股较亦得

句较股和求句股　法以较和相乘倍之开方得较和减股和得句减句较得股减一和一较得减句股较亦得【右二条新增】

较较和较求句股　法以两较相减半之得股较相并半之得句　又法以两较相乘为实以两较相减为法除之得股并两较实半之以两较相减为法除之得

较和和和求句股　法以两和相并半之得股和相减半之得句　又法以两和相乘为实以两和相并为法除之得股并两和实半之以两和相并为法除之得

和较较和求句股　法以较和相减半之得句较相并半之得股　又法以较和相乗为实以较和相减为法除之得句并较和实半之以较和相减为法除之得

较较和和求句股　法以较和相并半之得句和相减半之得股　又法以较和相乗为实以较和相并为法除之得句并较和实半之以较和相并为法除之得【右四条新增】

较较较和求句股　法以较和相减半之得句股较相并半之得

和较和和求句股　法以较和相并半之得句股和相减半之得

句股求积法以句股相乗半之得积

【后凡称积者皆指此其云句股矩者则句股相乗之幂乃少广章所称之积指长方积而言者也】

与句股较求积　法以实减较实以四除之与句股和求积　法以实减和实以四除之积句求股　法倍积以句除之

积股求句　法倍积以股除之

积求句股　法以四乗积减实开方得句股较并实开方得句股和

积与句股较求句股　法以八乗积并较实开方得句股和以四乘积并较实开方得

积与句股和求句股　法以八乗积减和实开方得句股较以四乗积减和实开方得

【右二则或倍积以少广章纵方法求句股亦得】

积与较较求句股　法以四乗积以较较除之得较和

积与较和求句股　法以四乘积以较和除之得较较

积与和较求句股　法以四乗积以和较除之得和和

积与和和求句股　法以四乗积以和和除之得和较【右四条新增】

句股求容方　法以句股相乗以句股和除之得容方边

余句余股求容方求句股　法以余句余股相乗开方得容方边并余句得句并余股得股

容方与余句求余股与余股求余句　法以方自乘以余句除之得余股以余股除之得余句

容方与句求股与股求句法以句减容方得余句乃以句乗容方以余句除之得股以股减容方得余股乃以股乗容方以余股除之得句【右一条新增】

【按句股容方有法而容长方无法者容方大小有一定之形容长方则无定形故也然长方之幂亦必等于余句余股相乗之幂而可以长方与余句求余股与余股求余句盖测望诸法多本于此若以余句余股求长方则必知其长乃可求广知其广乃可求长不然即难求矣又长方形在句股之中有纵有横设以长广并余句股为句股减句股为余句股及与句求股与股求句则非知其纵横不可假如句十股六十与句十四股五十六内容长方广八长十二余句二余股四十八皆同但有纵横之异耳】

余句与股余股与句求容方　法以余句乗股为实以余句为带纵开平方除之得容方【余句乗股之积犹句乗容方之积故以余句为较而用长方积与较求广法也】以余股乗句为实以余股为带纵开平方除之亦得容方【义与上同】

两余句与股求离股容方　前例容方其方一边切句一边切股一角切此则切句与而一边乃离股者也离股处有内余句切处有外余句法以外余句乗股为实并两余句为带纵开平方除之得容方按容方若更离句者如前以外余句乗股为实并

两余句为带纵又以离句数为旁带纵用双带纵开平方除之得容方　又按右例虽称离股称余句然使句股互换者亦即以法互换而用之无异理也

句上容方【方形半在句内半在句外而句当其中也股上容方仿此】　法以句股相乗以股与半句和除之得方边

股上容方　法以句股相乘以句与半股和除之【按句股容长方无法者以长方大小无一定之形若半方则有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上则纵横已见而凡容方与句股余句股互求诸法皆可变通而用之　右二条新增】

句股求容员　法以句股相乘倍之以和和除之得容员径【即和较也】

句外容员【员在句外而从股直望之皆当员边也】　法以句股相乘倍之以较和除之【即较较也】

股外容员　法以句股相乗倍之以较较除之【即较和也】

外容员　法以句股相乘倍之以和较除之【即和和也】

句上容员【句当员径之中也】　法以句股相乗倍之以股和除之

股上容员　法以句股相乗倍之以句和除之上容员　法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容员【句股角当员之中央也】　法以句股相乗倍之以除之

句外容半员【从股直望之当员径从直望之当员边也】　法以句股相乗倍之以句较除之

股外容半员　法以句股相乗倍之以股较除之两句中夹容员【于一股为大小二句而员在其间也】　法以两句相乗倍之以两句和除之

两股中夹容员　法以两股相乗倍之以两股和除之两中夹容员　法以两相乗倍之以两较除之句与股率句和率求股【如句三股四五则股得句和二之一是为股率一句和率二也】　法以二率相乗为股准二率各自乗相减半之为句准相并半之为凖乃以句乗股准以句准除之得股以句乘准以句准除之得

股与句率股和率求句　法以二率相乗为句准二率各自乗相减半之为股准相并半之为准乃以股乗句准以股准除之得句以股乗准以股准除之得　假如与股率句和率及与句率股和率求句股则如右二例求各准乃以乘句准以准除之得句以乗股准以准除之得股

容方与股率句和率求句股与句率股和率求句股　法如右二例求各准乃以句准乗容方边以股准除之得余句并容方边得句以股准乗容方边以句准除之得余股并容方边得股【右三条新订】

句股比例用法　木长九尺围之三尺葛生其下围木四周上与木齐问葛长法以木长为句四周三尺相乗一十二尺为股句股求得一十五尺为葛长

又例　员木径二尺五寸当中为板厚七寸问板两面广法以木径为板厚为句句求股得二尺四寸为板广

又例员木不知其径锯深一寸锯道长一尺问木径法以锯道为句锯深倍之为股较【一面锯深一寸若两靣即深二寸故倍之】句与股较求得二尺六寸为木径

又例　木不知髙索不知长木梢垂索委地二尺引索斜去离木八尺乃适到地问木髙与索长法以离木为句委地为股较句与股较求股得一十五尺为木高一十七尺为索长

又例户不知髙广竿不知长短持竿出户横之不出四尺竪之不出二尺斜之适出问户髙广与竿长法以横之不出为句较竪之不出为股较二较求句股得六尺为户广八尺为户髙十尺为竿长

又例　人不知数相与分帛帛总七百六十八匹每人分得帛数多于人数八问防人各分帛防匹法以帛总数为积分帛多于人数为句股较积与句股较求句股得二十四为人数三十二为各分帛数【句股积乃句股相乗数之半故用八乗此只当用四乘】

又例　方城不知大小四靣正中开门东门外百歩有木出南门二百二十五歩斜见木问城方法以东门外为余句南门外为余股余句余股求容方得一百五十歩倍之为城方【所求容方止城方之半故倍之也】

又例　方城不知大小东北角直北八十歩有木从东南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜见木问城方法以直北为外余句直南为内余句西行为股两余句与股求离股容方得二百五十歩为城方【此已是城之全方故不用倍】

又例　城方七百二十歩马歩二卒同发城中央率马行二里歩行一里令歩卒直南行马卒直东行又折而西南直行抹过城东南角与歩卒防问歩卒南行歩防何马卒东行西南行歩各防何法以南行为股东行为句西南行为歩行率为股率马行率为句和率城方之半为容方容方与股率句和率求句股得八百四十为歩卒南行歩六百三十为马卒东行歩一千零五十为马卒西南行歩

九章录要卷十一之一

钦定四库全书

九章录要卷十一之二

松江屠文漪撰

句股图说

句股及诸较和更互相求法已备载于前而其所以然之故非图说不显兹首列周髀三圗而取后人圗说删其繁复补其缺漏正其迂曲辑为一篇若容员非恒用之要术可得略云

周髀句股员方图

<子部,天文算法类,算书之属,九章录要,卷十一之二>

句股相求　左右圗幂中有句股二幂之实故句股三者举两数则其一可知也

句股较句股和积相求　圗外大方为句股和幂中有句股之积八句股较幂之实一【黄实是也】幂中有句股之积四句股较幂之实一故句股较句股和积四者举两数则其余可知

句与股较求股　句实以股较为广股和为长【谓在幂内股幂外者若股实则以句较为广句和为长也】观左右图可见而后圗更显

全圗为幂内分一股幂即其余皆为句实而黄实固股较幂也青实之广亦股较也则句实以股较为广审矣两青一黄三实并其内之长兼两股其外之长兼两法应并而半之则句实以股和为长又审矣故以较除之得和也若于三实内减黄实而半之则得一青实而其长为股于三实外更加一黄实而半之则得一青一黄两实并而其长为故句实较实相减倍较除之得股相并倍较除之得也倍较除犹之半其实也股与句较求句仿此不复为圗【右圗说新订】

句与股和求股　前以股较除句实得股和则以和除必得较即前圗可推矣而句实和实相并减以求句则非后圗不明

全图为股和幂于中四隅各分一股幂即中央黄实为股较幂青实之广皆股较而就一隅论之以一股幂旁加两青实一黄实之磬折形合而成一幂夫幂兼句股二幂者也可知两青一黄三实并固与一句幂之实等也且三实并作磬折形与并作长方形无以异则句实以股较为广股和为长审矣故以和除之得较也若于全圗幂内减两青实一黄实而半之则得两股幂一青实之长方形而其广为股于全图幂外更加两青实一黄实而半之则得两股幂三青实一黄实之长方形而其广为故句实和实相减倍和除之得股相并倍和除之得也倍和除犹之半其实也股与句和求句仿此【右圗说新订】

句较股较求和较　两较相乗之幂二当和较之幂一各为图以相比则明

此图以股和为广倍句和为长而于广边截二股分之则黄实朱实之广皆股较于长边截四句分之则黄实之长青实之广皆句较而黄实固两较相乗之幂且有二也总计全圗中有句股矩八朱实青实各四黄实二夫句股矩幷朱实成句矩幷青实成股矩然则此圗中并得句矩股矩各四而存黄实为两较相乗之幂者二也乃以第二圗参之

此圗为和和幂于其内分句矩股矩各四两纵两横列四隅即中央黄实为和较幂也夫此图大幂与第一圗大幂形异而实同则以此句矩股矩各四与第一图相当而此一黄实当第一圗两黄实无疑矣然何以见右两圗大幂之异形同实更以第三圗参之

此圗亦和和幂而纵横俱截一句一一股分之则一幂旁加一句股矩一句矩一股矩合为长方形固句和股和相乗之幂【句和为广股和为长是两和相乗之幂也】而当第一图半幂也长方形之外亦有句股矩句矩股矩各一又句幂股幂并之成幂一是亦一句和股和相乘之幂而当第一圗半幂也故知第一第二两圗大幂异形同实也【右三圗并说新易】

句和股和求和和　两和相乗之幂二当和和之幂一观前两较求和较第三圗已明不复赘【右旧有圗说新删】

句和股较求较较　一和一较相乗之幂二当较较之幂一

全圗为句和幂于中分一股幂一句幂则黄实之边青实朱实之广皆股较股较乗句和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且股减句和即较较【原以一句一幷今减股则句尽而内且减一句股较矣存者宜为较较也】则两朱实一黄实一句幂并固较较之幂矣而两青实一黄实一股幂并乃成幂则两青实一黄实并又与句幂等而可代较较幂中之句幂矣故知较较幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新增】

句较股和求较和　一较一和相乗之幂二当较和之幂一

全图为股和幂于中分一句幂一股幂则黄实之边青实朱实之广皆句较句较乘股和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且句减股和即较和【原以一股一并今以句减股犹余句股之较并入故为较和也】则两朱实一黄实一股幂并固较和之幂矣而两青实一黄实一句幂并乃成幂则两青实一黄实并又与股幂等而可代较和幂中之股幂矣故知较和幂亦得两青实两朱实两黄实也【右图説新増】

句股求容方

句股和与容方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也容方旣四边等试以容方外余句言之余句为小句而方边固小股也然则大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其幂宜等也又试以容方外余股言之余股为小股而方边固小句也然则大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其幂又宜等也故以句股和除句股矩得容方边也【右图説新订】

容方余句余股相求

全图为句股矩幂于中斜界一平分为两幂原无小异也然则两朱两青实各自相当而余句余股相乘之幂为长方黄实者不得不等于方黄实矣故容方余句余股可互求也【右图説新订】

容方与句求股

余句与股相乗之幂犹容方邉与句相乗之幂何也余句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其幂宜等也故以句乗容方以余句除之得股也【容方与股求句仿此　右图説新増】又试以前三色之实言之黄与黄朱与朱青与青旣皆等则长方黄实并两朱实与方黄实并两朱实亦宜等也长方黄实并两青实与方黄实并两青实亦宜等也故容方可与句求股与股求句也

句上容方