御制数理精蕴

股及半句和与方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也方形半在句内则余句为小句半方边为小股而若以方边为小股即余句止为小句之半然则大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其幂宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方仿此不复为图【右图说新增】

九章录要卷十一之二

钦定四库全书

九章录要卷十一之三

松江屠文漪撰

句股测望法

句股法所以施之测望而髙深广逺所求不同且古人以表后人以矩其法亦小异也别详于左

表测髙　城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却后距表五尺望城头与表末齐人目髙四尺问城髙一率　五【人足距表尺数　按若先知髙欲求逺者一二率互换而以城髙】二率　六【表减目髙尺数　减表为三率】

三率　二十五【表距城趾尺数】

四率　三十【求得尺数加表十尺得城髙】

表式髙者约长十尺或八尺短者约长四尺或三尺其制薄而方广二寸厚半之首平体直二面中心界墨就墨路垂线以权鎭之免令欹侧表趺凿空寸许铁趾实之以便竪立测髙则用髙表测深与广逺则用短表若测极逺立身髙处并用髙表至于人目至足尺寸不一且平视仰窥杪分辄移目足前后亦多难定酌用一身表约髙四尺其表端立一窥筩如荻管大长五六寸以竹与五金为之缀于表端设机仰俯目测更确

表测深　井不知深【谓水靣以上至井口非谓水深也】量井径五尺以三尺表立井沿从表末俯望与下对靣水际相参直人目入井径四寸问井深

一率　四【目入井径寸数】

二率　三十【表髙寸数】

三率　四十六【井径减目入寸数】

四率　三百四十五【井深寸数】

表测逺　江不知阔就江沿立表髙三尺八寸却后一丈六尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问江阔

一率　二【人目减表寸数】

二率　一百六十【人足距表寸数】

三率　三十八【表髙寸数】

四率　三千零四十【江阔寸数】

又如大湖不知阔防何里湖濵有石壁直髙六十五丈即边壁立表髙三尺八寸却后二丈五尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问湖阔

一率　二【人目减表寸数】

二率　二百五十【人足距表寸数】

三率　六千五百三十八【壁表相并寸数】

四率　八十一万七千二百五十【湖阔寸数以里法三百六十歩歩法

五尺通之得四十五里一白四十五歩】

两表测广　城墙不知东西之广于城东北隅直北四十歩立东表于东表正西三十歩立西表乃从东表直北行二歩望西表与城西北角相参直问城广一率　二【人足距东表歩数】

二率　三十【两表相距歩数】

三率　四十【东表距城歩数】

四率　六百【求得歩数加两表间三十歩得广】

四表测逺　山不知逺近指山趾一石或楼阁树木为标乃立左两表前后相距十二歩与所指标相参直次从左两表平行向右立右两表三靣表间相距各十二歩却从右后表平行向右望右前表与所指标相参直人立处距右后表二尺问山石距前表逺一率　五之二【立处距右后表尺数化为歩数】二率　十二【右两表间歩数　按右例四表中间正方或作长方形亦可】三率　十二前【两表间歩数　耳】

四率　三百六十【石逺歩数】

按右诸例皆句股容方及容长方以余句求余股法亦以小句股比类求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重测为稍异耳

四表测逺又法　山不知逺指山趾一石测之先立甲表从甲表望山石为大股次于甲表之右【或左亦同】任意逺近立乙表甲乙表间为大句【句股之角须令正方下小句股同】次于乙表之右后任意逺近立丙表与乙表及山石相参直乙丙表间为小句又于丙表之右前立丁表与甲乙表相参直丙丁表间为小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩问山石去甲表逺

一率　三【小句歩数】

二率　二十四【小股歩数】

三率　四十【大句歩数】

四率　三百二十【石逺歩数】

两表重测广逺　方城隔水不知城东西广防何及去城多逺遥对城东北隅之直北立东表于东表正西四十歩立西表齐人目处以索连之乃从东表直北行去表十七歩遥望城西北隅入索东端十歩又直北行去表七十二歩遥望城西北隅与西表相参合问城广及去表逺法先求景差

一率　四十【东西表相距歩数】

二率　七十二【后北行距表歩数】

三率　一十【入索歩数】

四率　一十八【景差歩数】

次求城广

一率　一【前北行距表减景差余歩数】

二率　三十【东西表相距减入索余歩数】

三率　一十七【前北行距表歩数】

四率　五伯一十【求得歩数加表间四十歩得城广】次求城逺

一率　一【同上】

二率　五十四【后北行距表减景差余歩数】

三率　一十七【同上】

四率　九伯一十八【城逺歩数】

重表测高逺　海中有岛不知高逺立二表各髙一丈二尺前后参直相距一百六十歩从前表退行六十九歩三尺望岛峰与前表端齐又从后表退行七十歩望岛峰与后表端齐人目高三尺问岛高

一率　二【前后退行距表歩数相减余尺数】

二率　九【表减人目髙尺数】

三率　八百【前后表相距歩数化为尺数】

四率　三千六百【求得尺数加表十二尺得岛高】次求岛去前表逺

一率　二【同上　按例若以后退行距表歩数为三率即得岛去后表逺也】二率　八百【同上】

三率　三百四十八【前退行距表歩数化为尺数】四率　一十三万九千二百【岛逺尺数】

按右例与前两表测广逺其理本同前两表间横索以测广此竪表以测髙无以异也但前两表横索只如一表而距表或近或逺以再测之此用前后表两测之其法小异耳然前例若于前两表之北相距五十四歩更立后两表横索如前而北行距东后表十八歩望城西北隅亦当入索十歩则置东西表间四十歩不算竟以入索十歩为准而前北行十七歩后北行十八歩前后表间五十四歩与右例全无异矣所求景差即是移表向后通其意者法皆一贯也

矩测髙　城不知髙距城趾二丈四尺以矩测之目窥通光与城头相参直权线在直景八度人目高四尺问城高

一率　八【直景度　按矩测与表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互换而以】二率　十二【矩度　城髙减目为三率也】

三率　二十四【距城尺】数

四率　三十六【求得尺】数【加目高四尺得城髙】又如墙不知髙距墙址三丈如法测之权线在倒景八度人目髙四尺问墙高

一率　十二【矩度】

二率　八【倒景度】

三率　三十【距墙尺数】

四率　二十【求得尺数加目高四尺得墙髙】

矩式以铜版或坚木为四角正方形与楸枰相似甲角乙角立两耳各通一窍名曰通光以便窥望若不设两耳即立相等两小表或安一通光之管皆可甲角为矩极系线任其下垂以权鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣为两乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱从边起望矩极斜行毎度或更分为三分五分至十二分愈细则法愈宻矣用时甲昻乙低测髙目切乙角测深与逺目切甲角窥通光与所测物相参直任权线下垂値何度以算推之

共矩用手持未免动摇又目足游移不易审定宜制一表髙四尺或五尺置矩其上转动以机至测广别是一法以矩平置之若向南测物身在东偏则令通光与东角相参直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取准亦难宜更立一短表斜向前数尺与西角参直然后引矩极之线属之表端视线切何度方为精审　直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之两窍若权线适在两景中间是为句股平分即各物在地之景皆与其物之高等若在直景度则景必较短在倒景度则景必较长此二景之义也【假如在直景四度为矩度三之一则凡物景皆当其物三之　在倒景四度则凡物皆当其景三之一故可量物景以测其髙亦可从物髙以测其景量景测髙畧同前测髙例从髙测景畧同后测逺例】今以矩向所求物测望者则亦可前却其歩使权线适在两景中间旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别两景算之如当以直景度为一率矩度为二率而遇倒景则以矩度为一率倒景度为二率也【亦可变倒景为直景而仍为一率然不如一二率易位之便】其当以倒景度为一率者仿此更有重测之术以前后测所値景度之较为一率而使当直得倒当倒得直则必须变倒为直或变直为倒其变之法以矩度自乗为实以所値度为法除之即得变度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四为实以三为法除之得四十八为直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一为直景度也变直为倒亦如之

矩测深　井不知深量井径五尺以矩测之目窥通光与近身井沿及对靣水际相参直权线在直景三度问井深

一率　三【直景度】

二率　十二【矩度】

三率　五【井径尺数】

四率　二十【井深尺数】

又如池不知深已知池径二丈四尺如法测之权线在倒景七度问池深

一率　十二【矩度】

二率　七【倒景度】

三率　二十四【池径尺数】

四率　一十四【池深尺数】

矩测逺　溪不知阔溪岸直髙八尺人立岸边以矩测之通光与对岸水际相参直权线在倒景三度人目髙四尺问溪阔

一率　三【倒景度】

二率　十二【矩度】

三率　十二【人目溪岸并尺数】

四率　四十八【溪阔尺数】

矩测广　城墙不知东西之广于城东北角直北相距三十歩以矩测之通光与城东北角相参直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一问城广

一率　六【倒景度通为分数】

二率　六十【矩度通为分数】

三率　三十【距城歩数】

四率　三百【城广歩数】

重矩测髙逺　山不知髙逺以矩测之通光与山顶相参直权线在倒景九度却后直行距前测处八十歩如前测之权线在倒景八度人目髙四尺问山高一率　二【两倒度俱变直度相减余度数】

二率　十二【矩度】

三率　四百【两测处相距歩数化为尺数】

四率　二千四百【求得尺数加目四尺得山髙】次求山去前测处逺

一率　二【同上】

二率　四百【同上】

三率　十六【前测倒度变为直度】

四率　三千二百【山逺尺数】

按重矩测广逺者依前测广法而重之遇直景皆变为倒景其列率则与重表测髙逺同盖横为广竪为髙一理也知此可以通彼不复为例

重矩测深逺　石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺防何及石壁直下至水面防何深者边壁竪木木旁垂绳以取端直乃于石上附木用矩测之令通光与垂绳相并斜望对岸水际入矩倒景四度五分度之二却升髙去前测处一丈如前测之入倒景四度五分度之四问水逺

一率　二【两倒景相减余分数】

二率　六十【矩度通为分数】

三率　一十【两测处相去尺数】

四率　三百【水逺尺数】

次求前测处至水靣深

一率　二【同上】

二率　一十【同上】

三率　二十二【前测倒度通为分数】

四率　一百一十【壁深尺数】

按此乃以测广法测逺以测逺法测深也法无多端特用有变化耳【右一条新订】

半矩尺测逺　溪不知阔就溪沿立表髙五尺以矩尺缀表端矩角与表端齐从矩角望矩外端与对岸水际相参直乃回望矩内端所指处平地去表四寸问溪阔

一率　四【尺指处距表寸】数

二率　五十【表高寸数】

三率　五十【同前】

四率　六百二十五【溪阔寸数】

按半矩尺若于两端俱画分寸以测高深广逺亦与矩度及表相类而不如矩表之便故略而不论此特取其简易者附矩表之后云更有水景测高法置盂水【或用镜亦同】稍推移之令人目见所测物景正当水之中心乃以人目至足为小股人足至水心为小句水心距所测物之趾为大句以求大股又有日景测髙法量所测物景别立短表量其景乃以表高为小股表景为小句物景为大句以求大股二法若遇逺峰遥岛旣不免于技穷而且目取水心之景则分寸易差日当隂晦之时则测量恐废俱非通术吾无取焉

九章录要卷十一之三

钦定四库全书

九章录要卷十二

松江屠文漪撰

借徴法

衰分盈朒方程之外更有借徴之法盖借衰原于衰分疉借原于盈朒而触类通之可以穷难知之数此九章法外之巧也故以次九章之后

借衰互徴　借衰者本无正衰而借立虚数为衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦从其便假如商贩不知其母初往获息当母十之三以并入母再往获息当母五之三以并入母又往折阅四之一又往获倍息【母一子亦一也】以并入母又往折阅六之一亦不知实在总银防何只云更须银十两即所获子银为原母数者二问原母及总银其法任意借一数为原母且如原母十两如前计之当得总银二十六两若论母一子二则不足四两以四两之原母及总银推之而不足十两者可知也

一率　四【借衰不足两数】

二率　十【借衰原母两数】　二十六【借衰总银两数】

三率　十【所问不足两数】

四率　二十五【所问原母两数】六十五【所问总银两数】

又如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各防只试借大小各六为船衰计总载兵一千四百五十名以一千四百五十名所须之船推之而四千三百五十名所用船可知也

一率　一千四百五十【借衰兵数】

二率　六【借衰船数】

三率　四千三百五十【所问兵数】

四率　一十八【所问船载】

按右例用借衰法较之衰分章用互乗者倍防【右一条新增】

又如漏壶注水三时而满泄水八时而尽问且注且泄防时满一壶即借十二时推之凡注四壶泄一壶半相减得二壶半

一率　二壶又二分壶之一

二率　十二时

三率　一壶

四率　四时又五分时之四

又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满防何亦借十二时推之注泄相减得二壶半

一率　十二时

二率　二壶又二分壶之一

三率　五时又三分时之一

四率　一壶又九分壶之一

又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母防何即任意借一数算之且如借银二两加三度倍息得一十六两为用银之衰于十六两内减母二两余十四两为母银之衰

一率　十六两

二率　十四两

三率　三百两

四率　二百六十二两五钱

右例说见衰分章参观自解其意也【若四度五度而尽者即加四度五度倍息如法算之　以上四条并已见衰分章】

叠借互徴盈数最难知则两借虚数以徴之盖彷佛盈朒之法然原数初无盈朒而盈朒生于借数乃因其盈朒推求眞数立法尤为竒巧假如米每石价二两麦一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各防何试借米三十石用价六十两则麦一十石当用价一十六两计价总七十六两以比原总盈二两列左又借米十五石用价三十两则麦二十五石当用价四十两计价总七十两以比原总不足四两列右盈不足相并为法米麦各以所借石数及所借用价数左右互乗盈不足数相并以法除之即各得所求正数若两盈两不足者为法之数及互乗得数皆相减【与盈朒章同】

右例借衰或据价原总数算之而以总石数较原总以得盈朒如法乗除亦合

又如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫多于罗每匹六钱罗多于绢每匹八钱问三物各价防何试借二两为绫价一两四钱为罗价六钱为绢价计价总六百两比原总不足二百列左又借三两为绫价二两四钱为罗价一两六钱为绢价计价总一千一百两比原总盈三百列右三物各以所借价数互乗盈不足数如前法求之即各得正价又如赏军每马兵五名给防三匹每歩兵四名给布六匹总马歩共八千一百名给防布共九千匹问马歩各防何防布各防何试借马兵四千给防二千四百则歩兵四千一百应给布六千一百五十计总防布八千八百五十比原总不足四百五十列左又借马兵五千给防三千则歩兵三千一百应给布四千六百五十计总防布七千六百五十比原总不足一千三百五十列右马歩防布各以所借数互乗两不足数如法求之即各得正数右例借衰或据防布原总数算之而以马歩总数较原总以得盈朒如法乗除皆合【右一条新増】

又如大船四橹四小船二橹八今但见总作橹一百张二百零八张问大小船各防何试借大船二十橹八十小船一十橹二十则大船桨八十小船桨八十总一百六十比原总不足四十八列左又借大船十五橹六十小船二十橹四十则大船桨六十小船一百六十总二百二十比原总盈十二列右大小船及大小船橹桨各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数【右一条新增】

右例借衰或据桨原总数算之而以橹总数较原总得盈朒如法乗除亦同

又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母防何即借三百为母三度后当用六百固盈三百列左又借二百五十为母三度后止应用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足数如法求之得原母【右一条新增】右例已见借衰互徴旣可单借而得则不须叠借矣举此以见法之无穷耳凡单借可得者亦可叠借而得若须叠借而得者往往非单借所能得也【以上五条并已见衰分章】

又如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须防日法先推乙匠十八日所成为四十五日内五分之二则甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之当成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之当成十五分之十三则全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足数如法求之得甲日【右一条已见商功章】

又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须防日追及法以先发日减较日知二日半追上一日半则一日追上五分日之三也因借二十日推之当追上五分日之六十减较日二分日之二十三为盈二之一列左又借十五日推之当追上五分日之四十五比较日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足数如法求之得追及日

又如空车日行七十里若载重即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺防何试借五十里推之重行三日则空行七分日之十五而五日减三日余二日止七分日之十四为盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半则重行十分日之二十一而五日减一日半余三日半固十分日之三十五为不足十之十四列右乃以借日互乗盈不足数如法求之得路逺【右二条已见均输章俱新增】

又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各防何试借二十七两为银总数内以三之一九两买十石不足三两则米价当为一两二钱而以九之四一十二两买十二石不足二两四钱比原数不足四钱列左又借五十四两为银总数内以三之一一十八两买十石不足三两则米价当为二两一钱而以九之四二十四两买十二石不足一两二钱比原数盈八钱列右银总数与三之一九之四及米价各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数右例或据九分之四算之而以三分之一较原不足数以得盈朒如法乘除亦同【右一条已见盈朒章新增】

又如卖米五石麦五石得银一十四两又卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各防何试借二两为米价八钱为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二两四钱比原数盈四两四钱列左又借一两八钱为米价一两为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二钱比原数盈二两二钱列右米麦价各以所借数互乗两盈数如法求之即各得正数　右例或据卖米买麦数算之而以总卖价较原价以得盈朒如法乗除亦同【右一条已见方程章新增】

又如甲乙银各不知数别有银八十两以与甲则甲为乙数者三以与乙则乙为甲数者二问原数各防何试借四十为甲数加八十得一百二十而以其三之一四十为乙数加八十得一百二十则倍甲外盈四十列左又借七十为甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十为乙数加八十得一百三十则欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借数及所借又加八十之数互乗盈不足数如法求之即各得所问数【甲原六十四乙原四十八】

又如甲乙银不知数乙以十六两与甲则乙当甲三之一甲以二十四两与乙则甲当乙七之五问各实数防何试借二十九两为甲数【减二十四与乙则余五故借此数且得乙十六成四十五又为三倍乙之地也】又得乙十六两则成四十五两而乙居三之一应是一十五两并未与甲十六两共三十一两为乙数又得甲二十四两则成五十五两乃甲减二十四止余五两论甲五乙七乙止应七两固盈四十八两列左再借四十四两为甲数【以二十四与乙则余二十为五数者四又得十六成六十为三倍乙之地也】又得乙十六两则成六十两而乙居三之一应是二十两并未与甲十六两共三十六两为乙数又得甲二十四两则成六十两乃甲减二十四止余二十两论甲五乙七乙止应二十八两亦盈三十二两列右甲乙各以所借数及所借加减得失之数互乗两盈数如法求之即各得所问数【甲原七十四乙原四十六】

又如出师有中上下三军中军四万上军为中下二军二分之一下军为中上二军三分之一问上下军各防何试借三万为上军则中下二军应六万而下军止应二万若为中上三分之一中上止应六万而实七万固盈一万列左又借二万四千为上军则中下二军应四万八千而下军止