御制数理精蕴

例同同于六分之四之比例则此一段空心长圆体与一段空心球体相等无疑】若将此两空心体从壬心至外面剖为千万尖体【俱以乙壬半径为髙以两空心体外面为底】则空心球体所分之各尖体与空心长圆体所分之各尖体其积既等其髙又等则其底不得不等【同底同髙者其积既等则同髙同积者其底必等】此各尖体之底既等则两空心体之外面积相等可知矣【千万尖体之底即两空心体之面也】夫乙丙丁半球体外面积原与乙己庚丁半长圆体周围外面积等于半球体内减去乙癸寅丁一段余癸丙寅一段球体于半长圆体内减去乙辰巳丁一段余辰己庚已一段长圆体其减去之各段外面积既相等则所余之球体癸丙寅一段凸面与长圆体辰己庚已一段周围外面积相等也明矣

第十二

凡撱圆体大径与圆球体径相等者其二体积之比例即同于撱圆体小径所作方面与圆球体径所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己圆球径等则撱圆体积与球体积之比例即同于撱圆乙丁小径所作方面与球体戊己径所作方面之比例也试将撱圆体与球体任意依径线平行分之其所分之大小平圆面如子丑乃球体大圆面之径寅卯乃撱圆体小圆面之径此大小两平圆面之比例同于其相当子丑寅卯二径所作二方面之比例【见八卷第十一节】而子丑径与寅卯径之比例又同于戊己径与乙丁径之比例故此所分之大小圆面之比例亦必同于戊己方面与乙丁方面之比例矣若将此两体与戊己径平行任意分为防何面其相当大小两面之比例皆如戊己方面与乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同于乙丁与戊己所作方面之比例则撱圆体与圆球体之比例必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圆体之一段与子丙丑圆球体之一段其比例亦必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例矣

第十三

凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体为长圆体之三分之二亦如圆球体与同径同髙长圆体之比例也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径亦与长圆体之己庚底径等则撱圆体为长圆体之三分之二其比例即如子丑寅卯球体与辰巳午未长圆体之比例也盖戊己庚辛长圆体之戊己髙度与辰巳午未长圆体之辰巳髙度等故两长圆体之比例即同于己庚底积与巳午底积之比例至于戊己庚辛长圆体之己庚底积与撱圆体之乙丁小径所作圆面积等而辰巳午未长圆体之巳午底积又与球体丑卯全径所作圆面积等则戊己庚辛长圆体积与辰巳午未长圆体积之比例即同与撱圆体之乙丁小径所作圆面与球体丑卯全径所作圆面之比例矣夫撱圆体与球体之比例原同于撱圆体小径所作圆面与球体全径所作圆面之比例故撱圆体与球体之比例亦同于撱圆体同径同髙之长圆体与球体同径同髙之长圆体之比例也若转比之即戊己庚辛长圆体与甲乙丙丁撱圆体之比例亦同与辰巳午未长圆体与子丑寅卯球体之比例矣夫球体既为同径同髙长圆体之三分之二则撱圆体亦必为同径同髙长圆体之三分之二可知矣

第十四

凡函撱圆之长方体与所函撱圆体之比例同于函球之正方体与所函球体之比例也如甲乙丙丁长方体函一戊己庚辛撱圆体其长方体之甲乙髙度与撱圆体之戊庚大径等长方体之乙丙底度与撱圆体之己辛小径等则此甲乙丙丁长方体与所函戊己庚辛撱圆体之比例同于壬癸子丑正方体与所函寅卯辰午球体之比例也盖甲乙丙丁长方体之甲乙髙度与壬癸子丑正方体之壬癸髙度等故长方体与正方体之比例同于两体底积之比例今此长方体之底积与所函撱圆体之己辛小径所作方面等而正方体之底积与所函球体之卯午全径所作方面等矣然则此长方体与正方体之比例不同于撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例乎夫撱圆体与球体之比例原同与撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例则撱圆体与球体之比例同于函撱圆体之长方体与函球体之正方体之比例可知矣若转比之则长方体与所函撱圆体之比例亦必同于正方体与所函球体之比例矣

第十五

凡撱圆体大径与圆球体之径等者其撱圆体外面积与球体外面积之比例即同于撱圆体小径与球体全径之比例即任分一段其相当一段外面积之比例亦无不同也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己球体全径等则此撱圆体外面积与球体外面积之比例必同与撱圆体之乙丁小径与球体之戊己全径之比例也即任分寅内卯一段撱圆体外面积与子丙丑一段球体外面积之比例亦仍同于乙丁小径与戊己全径之比例也盖两体所分寅卯子丑平圆面皆与乙丁戊己径线平行故寅卯圆界与子丑圆界之比同于寅卯圆径与子丑圆径之比而寅卯径与子丑径之比又同于乙丁径与戊己径之比也然此两体依径平分可为无数平圆界其相当各圆界之比例既皆同于乙丁径于戊己径之比例则全体外面积之比例岂不同于乙丁径与戊己径之比例乎至于所分之寅丙卯一段撱圆体与子丙丑一段球体俱可分为平圆以比之则一段与一段之比例无异于全体与全体之比例也明矣第十六

凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体外面积与长圆体周围外面积等即任分一段其相当一段之外面积亦无不等也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径与长圆体之己庚底径等则撱圆体之外面积与长圆体周围之面积等即任分壬丙癸一段撱圆体外面积亦与相当壬己庚癸一段长圆体之外面积等也试依撱圆体甲丙大径度作子丑寅卯一球体并作与球体同髙同径辰巳午未一长圆体则此两长圆体之髙度等其二体周围面积之比例必同于二体底径之比例二长圆体底径之比例即是撱圆体之乙丁小径与球体之丑卯全径之比例也撱圆体外面积与球体外面积之比例原同于撱圆体乙丁径与球体丑卯径之比例则戊己庚辛长圆体外面积与撱圆体外面积之比例亦同于辰巳午未长圆体外面积与球体外面积之比例也夫球体外面积原与辰巳午未长圆体外面积等而撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积之比例既与球体外面积与辰巳午未长圆体外面积之比例相同则此撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积相等无疑矣至于撱圆体所分一段与球体所分一段之比例与其全体之比例亦相同今撱圆体外面全积与戊己庚辛长圆体周围外面全积之比例既同于球体外面全积与辰巳午未长圆体周围外面全积之比例则所分撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积之比例亦必同于所分球体之申寅酉一段外面积与长圆体之戌巳午亥一段外面积之比例矣彼球体之申寅酉一段外面积既与长圆体之戌巳午亥一段外面积相等则此撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积相等也明矣

御制数理精蕴上编卷三

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴上编卷四

几何原本十一

几何原本十二

几何原本十一

第一

作三界度等之三角形及两界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形则作一甲乙线取甲乙之度为准以甲为心自甲至丙作弧一段又以乙为心自乙至丙作弧一段两弧相交处至甲乙作二线即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原系一圜之辐线其度必等度既等而线未有不等者也若欲作两度等之三角形仍作一甲乙线比甲乙线之度或大或小取一度以甲乙二处为圜心皆至丙作弧两段仍于两弧相交处作二线即成两界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二线虽比甲乙线或大或小然二线俱同为一圜之辐线其度自等两度既等则两界线亦必等也

第二

平分直线角为两分法如甲乙丙角欲平分为两分乃以一角为心任意作弧线一段则乙甲乙丙二线截于丁戊即成乙丁乙戊等度二线自弧两端复作一丁戊线照丁戊线度依前节法作一三界度等之丁己戊三角形则己角与乙角正相对乃自乙角至己角作一乙己直线即分甲乙丙角为两平分矣何也其乙丁己乙戊己两三角形之乙丁乙戊二界是一圜之辐线其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之两傍界其度亦等而乙己线既为两形之共界其等无疑此两三角形之各界度既各相等则与丁己戊己界相对之丁乙己戊乙己二角亦必相等可见矣【见二卷第七节】

第三

平分一直线为两分法如有甲乙一直线欲平分为两叚乃如第一节法于甲乙线上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二节法平分甲丙乙角为二分自丙角作垂线至甲乙线即平分甲乙线于丁而甲丁丁乙两叚必等也葢甲丙乙原为三界度等之三角形今作丙丁垂线平分为两三角形则两三角形之相当各角各界必俱等而甲丁丁乙为两形相当之底界其度安得不等乎

第四

横线上立纵线法如有甲乙一横线欲于丙处立一纵线则于丙之两傍任意取等度二分为戊丙己丙以戊为心于横线上作弧一叚又以己为心于横线上作弧一叚两弧相交于丁此丁处正与丙相对自丁至丙作一直线即甲乙线上正立之纵线也试自戊己至丁作二线成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己两线俱同一圜之辐线其度必等而丁丙线既将戊己底线为两平分则丁丙线必为甲乙线之垂线矣【见二卷第十节】第五

有一横线自此线上不拘何处立纵线法如有甲乙一横线自此线上丙处至甲乙线欲作一纵线则以丙为心作弧线一叚截甲乙线于戊己乃自戊己至丙作二线成一戊丙己三角形又照第二节分角法平分丙角为二分自丙至甲乙线上作丙丁线则此丙丁线即为自丙至甲乙线之纵线也葢戊丙己三角形之丙戊丙己两界度等故戊角与己角必等而丙丁线又平分丙角为二则所分之戊丙丁己丙丁两角度亦等而丙丁戊丙丁己两并角亦必等此两并角既等则成两直角既成两直角则丙丁线必为甲乙横线之垂线矣【见一卷第十节】

第六

在横线一边立纵线法如有甲乙横线在乙边欲立一纵线则于甲乙线上不拘何处立为圜心如以丙为圜心自丙至乙为圜界旋转作一圜则于甲乙线丁处相交即自丁处过丙心至相对界作一直线交圜界于戊乃自戊至乙作一戊乙直线即是乙边所立之纵线也葢丁乙戊角因在半圜必为直角【见四卷第十四节】既为直角则戊乙线必为甲乙线之垂线既为垂线故为横线一边所立之纵线也若甲乙线一边之上有一戊防欲自戊至甲乙线一边作一垂线则自戊至甲乙线任意作一戊丁斜线遂将戊丁斜线平分于丙于是以丙为心自戊旋转作一圜则截甲乙线于己自戊至己作一直线即是欲作之垂线也葢戊己丁角既在半圜必为直角既为直角则戊己必为垂线矣

第七

一圜分为三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分为三百六十度则取圜之辐线度縁圜界比之即分圜界为六叚将六叚各平分为二则为十二叚十二叚各平分为三则为三十六叚三十六叚各平分为十即成三百六十度矣第八

一直线上作角度法如甲乙线上欲作三十度之角则用有度之圜依圜之丙丁辐线度截甲乙线于戊于是以甲为心自戊作弧一叚复依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧于己乃自己至甲作一直线即成己甲戊三十度之角矣第九

各种多界形仿己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲仿此式叧作一形则考甲乙界度有防分如甲乙界度为三分今取其二分作一丁戊线又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁为圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊为圜心作弧一段两弧相交于己乃自己至丁戊作二线即成丁戊己一小三角形与原有甲乙丙大三角形为同式也葢丁戊己三角形之三界虽与甲乙丙三角形之三界不等而其相当各角之度俱等因其相当各角之度俱等故其相当各界之比例皆同相当各界之比例既同则其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲仿此式叧作一形则在此六界形作分角线分为四三角形照前法仿作四三角形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其式与原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也

第十

有一直线或上或下一防作与此线平行一线法如甲乙线上有一丙防欲自丙防作与甲乙线平行一线则以丙为圜心任意取甲乙线之近甲边一处作弧一叚如丁又取甲乙线之近乙边一处为心如戊乃照丙丁原度于丙防相对处作弧一叚如己复照丁戊度以丙为心于丙防相对处作弧一叚则二弧相交于己乃自丙至己交处作一丙己直线即为甲乙线之平行线也何则试自丁戊二处至丙己二处作二线即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相对之两纵线丙己丁戊相对之两横线因依各度所取必两两相等既两两相等则必为平行线之四边形然则丙己甲乙为平行线四边形之二线岂有不平行之理哉

第十一

有一直线上作一正方形法如甲乙一直线欲作一正方形则以甲为心取甲乙度自乙至丙作乙弧线又以乙为心依甲乙度自甲至丁作一弧线又于甲乙线之两端照本卷第六节立甲丙乙丁二纵线则乙丙弧截于丙甲丁弧截于丁乃自丙至丁作一直线即成甲乙丁丙一正方形也何则丙甲甲乙乙丁三线俱同为一圜之辐线其度必等而丁丙丙甲二线又俱切一圜界为两尖相合其度亦必等【见四卷第七节】则四界俱等矣且甲乙二角又为垂线所立之角必成直角则丙丁二角亦必为直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形为甲乙线上所立之正方形也

第十二

平分一弧为两叚法如有甲乙弧欲平分为两叚则自甲至乙作一甲乙线将此线照本卷第三节平分直线为两分法作一戊丁纵线复自戊引至弧界截甲乙弧于丙即平分甲乙弧为甲丙丙乙两叚矣葢丙丁纵线既平分甲乙线则亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜则必平分甲乙弧为两叚可知矣【见四卷第六节】

第十三

有一叚弧欲继此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧继此弧欲作一全圜则在此弧界任意指三处如甲丙乙自甲乙二处至丙作甲丙丙乙二线照前节作平分甲丙丙乙两之丁己戊己二线引长则相交于己乃以己为心继甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二线既平分甲丙丙乙二则必平分甲丙丙乙二弧【见四卷第六节】既平分甲丙丙乙二弧则其相交之处必为圜心故己为继甲丙乙弧界所作全圜之圜心也

第十四

不拘何处有三防求縁此三防作一圜法如甲乙丙三防不在一直线上欲縁此三防作一圜则依前节作甲丙丙乙二线又平分此二线正中作丁己戊己二垂线引长至己处相交遂以己为心以甲乙丙为界作一圜则甲乙丙三防俱在一圜之界矣【此节之理与前节同】

第十五

有圜不知中心求知中心之法如有一甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之则于此圜界随便取甲乙丁三处从甲至乙至丁作二线将此二线平分正中为戊己二处自戊己作戊庚己庚两垂线则相交于庚此庚即是甲乙丙丁圜之中心也【此节之理亦与前同】

第十六

有圜外一防将此防至圜界作切线法如一圜之外有一甲防欲将此甲防与圜界相切作一切线则以此甲防至圜心作一甲乙直线又以乙为心以甲为界作一甲丙圜界又自甲乙线所截圜之丁处作一丁己垂线则此垂线即截甲丙圜界于丙乃自丙至乙心作一丙乙直线复自丙乙所截圜界戊处作一戊甲线即是自甲防至圜界所作之切线也何则此乙丁乙戊既同为一圜之辐线其乙甲乙丙亦同为一圜之辐线则甲乙戊与丙乙丁两三角形之各两边线必等而两三角形又同一乙角然则两三角形之每相当各角必俱等矣【见二卷第六节】夫丁丙线原为甲乙辐线之垂线则丁角必为直角而相当之戊角亦必为直角矣戊角既为直角则甲戊线亦必为乙丙辐线之垂线故甲戊与丙丁皆为圜界之切线也【见四卷第九节】

第十七

有圜内线欲与此线平行作圜外切线法如有一甲乙丙丁圜之乙丁线欲与此乙丁线平行作切圜之切线则从圜心戊至乙丁作戊己垂线平分乙丁线于己引长截圜界于甲为甲戊线又切甲处作庚辛线为甲戊之垂线即是所求之切线也何则此庚辛线既为甲戊线之垂线其戊甲庚角必为直角又己戊线既为乙丁线之垂线其戊己乙角亦必为直角然则戊甲庚角与戊己乙角既俱为直角其度必等因其度等故乙丁庚辛两线为两平行线也又戊甲线为圜之辐线而庚辛既为甲戊之垂线则必为甲乙丙丁圜之切线可知矣【见四卷第九节】

第十八

作函三角形之圜法如甲乙丙三角形欲作函此三角形之一圜则平分甲丙边于丁平分丙乙边于戊自丁戊作二垂线引长至己相交即以己为心任以甲丙乙三角形之一角为界作一甲丙乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也【此节之理与本卷第十三节同】

第十九

圜内作等度四角形及等度八角形法如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形则以甲乙丙丁二径线交于圜心皆作直角复自甲丙乙丁四处作甲丙丙乙乙丁丁甲四线即成甲丙乙丁等度之四角形也何则甲乙丙丁二径线在圜心作直角相交则平分圜界为四分矣既平分圜界为四分则甲丙丙乙乙丁丁甲四线度必等而甲丙乙丁四角既俱立在一圜之半界亦必俱为直角【见四卷第十四节】既俱为直角必为正方形可知矣苟欲作等度八角形则照前平分圜界为四分将所分之每分又各平分为二分即平分圜界为八分乃作八线即成甲戊丙己乙庚丁辛一形为圜内等度八角形也

第二十

圜内作等度六角形三角形十二角形法如甲圜内欲作等度六角形则以圜之甲乙辐线为度将圜界分为乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六线即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形也何则苟以乙为心以甲为界作一丙甲庚弧线则乙丙乙甲二线俱为丙甲庚圜之辐线而度必等夫乙丙丁戊己庚六界形之诸界因俱照甲乙辐线度所作故此形之六界俱相等也若欲作三角形则照前法将圜界分为六叚以所分六叚两两相合为三叚作乙丁丁己己乙三线即成一乙丁己等度三角形也若欲作十二角形亦照前法将圜界分为六叚以所分六叚各平分为二分作十二线即成一乙辛丙壬丁癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也第二十一

圜内作各种等度多界形总法苟甲圜内欲作等度多界各种形则察各种形之各角度【见三卷第十七节】如等度三角形之三角俱六十度四角形之四角俱九十度五角形之五角俱一百零八度六角形之六角俱一百二十度七角形之七角俱一百二十八度三十四分一十七秒八角形之八角俱一百三十五度九角形之九角俱一百四十度十角形之十角俱一百四十四度十一角形之十一角俱一百四十七度一十六分二十二秒十二角形之十二角俱一百五十度今甲圜内若欲作一等度九角形则以九角形之每角一百四十度与一百八十度相减余四十度复以别有度之圜取四十度之分以分甲圜界即平分为乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛壬壬癸癸乙九线即成甲圜内等度之九角形也何也从圜心甲作线至各角分九角形为九三角形其每三角形之三角共一百八十度内减去二界角一百四十度余心角四十度即每界所对之角此九角形之每界即九心角之线故以心角度分圜界度即得九角形之分也凡圜内欲作等边多界形皆依此法作之

第二十二

作函圜等度多界形法如欲作函圜之等度三角形四角形五角形或多界形则将圜界照欲作之几界平分为几段乃自圜心至所分各界作几辐线于辐线之末各作切界线俱引长至合角即成函圜之等度多界形也如第一图自甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬三线即成六三角形其庚甲乙庚甲丙两三角形之庚乙庚丙二线为合尖切圜之线其度必等【见四卷第七节】而庚甲乙辛甲丁两形之庚甲乙辛甲丁二角为对角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角为辐线切线所成之角其度又皆为直角相等【见四卷第五节】则其余一角亦必等而其乙甲甲丁二界又同为一圜之辐线其度必等则其他界亦必俱等可知再辛丙辛丁二线壬丁壬乙二线俱为合尖切圜之线其度相等而辛甲丙与壬甲乙两三角形壬甲丁与庚甲丙两三角形必俱与前每相当之角等则此六三角形俱相等矣六三角形俱相等则其庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之六界两两相合即成庚壬庚辛辛壬之三界其度安得不等乎故庚辛壬三角形为函圜等界形也其第二图函圜四角形第三图函圜五角形或更欲作多界形其理皆同

第二十三

作函等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲作函此三形之圜则任用此三形之甲乙乙丙二界平分于庚辛二处乃自庚辛二处各作垂线至各形中心相交为己即以己为心以各形之角为界作圜即成函此三形之圜也何也各形之界皆为圜之线而线上所作之垂线必皆交于圜心今甲乙乙丙二界上所作之庚己辛己二线既平分二界而相交于已则己必为圜心故以己为心作圜即成函各等界形之圜也

第二十四

作函于等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲在此三形内各作一圜则照前节平分甲乙乙丙二界作己庚己辛二垂线引长相交于己即以己为心以庚辛为界作圜即成多界形内所函之圜也何也己庚己辛二线是平分甲乙乙丙二线之垂线引长之必相交于各形之中心今既相交于己则己必为各形之心凡形心作垂线至各界其度必等即如圜之辐线故以己为心庚辛为界所作之圜即为各等界形所函之圜也

第二十五

有一三角形一圜形于此圜内作切圜界三角形与原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜形欲于此圜内作一切界三角形与原有之甲乙丙三角形同式则于圜界任意作与甲角相等之辛角将此角之两边线俱引至圜界作辛庚辛戊二线再自戊至庚作一戊庚线又于戊处作与乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作一丁戊线复自庚至丁作一庚丁线成一丁戊庚三角形即是所求之圜内切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则其庚辛戊三角形之辛角与庚丁戊三角形之丁角其尖既俱与圜界相切而共立于戊己庚一叚弧分其度必等【见四卷第十二节】此辛角原与甲角等则丁角亦必与甲角等又庚戊丁之戊角原系依甲乙丙之乙角之度而作者固相等夫丁角与甲角戊角与乙角既等则所余之庚角与丙角亦必等其三角既俱等其两形必为同式可知矣第二十六