御制数理精蕴

戊二线再自戊至庚作一戊庚线又于戊处作与乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作一丁戊线复自庚至丁作一庚丁线成一丁戊庚三角形即是所求之圜内切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则其庚辛戊三角形之辛角与庚丁戊三角形之丁角其尖既俱与圜界相切而共立于戊己庚一叚弧分其度必等【见四卷第十二节】此辛角原与甲角等则丁角亦必与甲角等又庚戊丁之戊角原系依甲乙丙之乙角之度而作者固相等夫丁角与甲角戊角与乙角既等则所余之庚角与丙角亦必等其三角既俱等其两形必为同式可知矣第二十六

有一三角形一圜形于此圜外作切界三角形与原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲于此圜外作一切界三角形与原有之甲乙丙三角形同式则将原有之甲乙丙三角形之乙丙底线引长至辛壬二处此两傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃于圜心丁处作与辛乙甲角相等之戊丁庚角又作与壬丙甲角相等之己丁庚角则成丁戊丁己丁庚之三辐线于三辐线之末作三垂线引长相交成一癸子丑三角形即是所求之圜外切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则凡三角形之三角相并必与二直角等【见二卷第四节】今戊丁庚子一四边形可分为两三角形则此四边形之四角相并必与四直角等矣四直角内减去子戊丁子庚丁之两直角所余戊丁庚戊子庚两角相并亦必与两直角等也又辛乙甲外角与甲乙丙内角相并亦与二直角等【见一卷第十四节】其戊丁庚角既系依辛乙甲角之度而作者则戊子庚角必与甲乙丙角相等其庚丑己角亦必与甲丙乙角相等而己癸戊角又必与乙甲丙角相等三角俱等则两形之式必相同也

第二十七

三角形内作切三界之圜法如有一甲乙丙三角形欲与此形内切三界作一圜则依此卷第二节之法将甲乙丙三角俱平分为两分所分三角之三线俱引长使相交于丁自丁至甲乙乙丙丙甲三界线作丁戊丁己丁庚三垂线乃以丁为心以戊己庚为界作一圜即是三角形内之切界圜也何则戊甲丁与庚甲丁两小三角形之甲角因自一角为两平分其度必等又丁戊丁庚既系两垂线则甲戊丁甲庚丁二角俱为直角而相等此戊甲丁庚甲丁两小三角形内之二角既等其各三角必俱相等而又共用一甲丁线为边则此两三角形之各相当边亦必俱等故丁戊线与丁庚线等者即是丁己线与丁戊线丁庚线等也此三线既等以为辐线作戊己庚圜则必与三角形之甲乙乙丙丙甲三界相切矣

第二十八

勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方形则以丙为心以乙为界作一乙丁弧线将此弧线平分于戊自戊至丙作一戊丙线即平分丙角为两分而截甲乙线于庚矣乃自庚与甲丙线平行作庚己线又自庚与乙丙线平行作庚辛线即成庚己丙辛一正方形为所求甲乙丙勾股形内之正方也何则甲丙乙勾股形之丙角原是直角今庚辛庚己二线各与甲丙乙丙平行则庚己丙辛之四角必俱为直角矣而庚己丙三角形内己庚丙角与己丙庚角又俱是直角之一半其度必等则己丙线与庚己线相等而庚辛线与己丙线庚己线与辛丙线皆为平行线内之垂线其度亦等故庚己己丙丙辛辛庚四线相等而庚己丙辛四角俱为直角是为甲乙丙勾股形内之正方形也

第二十九

勾股形内作正方第二法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方则将乙丙线引长照甲乙线度増于乙丙作一壬丙线自此壬丙之两末与甲乙线平行作丁壬癸丙两垂线使其度俱与甲乙线等又自丁至癸与壬丙线平行作一丁癸线自丁至丙作一对角线截甲乙线于戊乃自戊与乙丙线平行作戊己线截甲丙线于己又自己与戊乙线平行作己庚垂线成一戊乙庚己正方形即为甲乙丙勾股形内欲作之正方也何则试将戊己线引长成辛戊己子线则此辛戊己子线与甲乙线分丁壬丙癸为四长方形其甲戊子癸长方与辛壬乙戊长方既为丁壬丙癸大长方对角线傍所成两形其分必等【见三卷第七节】故子戊线与戊辛线之比例同于乙戊线与戊甲线之比例也然此子戊线与丙乙线等而戊辛线又与甲乙线等则丙乙线与甲乙线之比例亦同于乙戊线与戊甲线之比例也又甲乙丙与甲戊己两三角形为同式故丙乙线与乙甲线之比例同于己戊线与戊甲线之比例而乙戊线与戊甲线之比例又同于己戊线与戊甲线之比例也乙戊线既与己戊线相等而乙庚线与戊己线己庚线与戊乙线又为两平行线内之垂线其度相等故戊乙庚己四角俱为直角戊乙庚己四角既俱为直角则戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣

第三十

三角形内作正方法如有甲乙丙三角形欲于此形内作一正方则自甲角至乙丙底线作一甲辛垂线将此垂线引长出甲角如乙丙底线度作一壬辛线又自壬两分如乙丙线度与乙丙线平行作一子癸线又自癸至辛作癸辛线截甲乙线于丁自子至辛作子辛线截甲丙线于庚乃自丁至庚作一庚丁线此线必与乙丙平行又自庚丁二处作庚己丁戊二垂线即成丁戊己庚一正方形即为甲乙丙三角形内欲作之正方也何则壬辛线与壬子线之比同于辛丑线与丑庚线之比而辛壬线与壬癸线之比又同于辛丑线与丑丁线之比故辛壬线与癸子线之比亦必同于辛丑线与丁庚线之比也然辛壬与癸子原相等则辛丑与丁庚亦必相等矣辛丑与丁庚既等则丁戊戊己己庚庚丁四边亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁四边既俱等则为甲乙丙三角形内之正方无疑矣

第三十一

有一直线将此线为正方对角线作正方法如有一甲乙直线欲以此线为对角线作一正方则将甲乙线平分为戊以戊为心以甲乙为界作一圜即于此圜内作一丙丁径线为甲乙线之垂线乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁至甲作四直线即成甲丁乙丙一正方形为所求之正方也葢甲丙乙角丙乙丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜内必俱为直角而甲戊丙丙戊乙乙戊丁丁戊甲四三角形之两傍线俱是半径线必相等又此四三角形之两傍线所合之角俱为直角亦必相等则甲丙丙乙乙丁丁甲四直线必俱相等可知矣甲丙乙丁四边形内四角既俱为直角而四边线又俱相等则必为正方形而甲乙线为其对角线矣

第三十二

有一直线为正方边与对角线相较之余于此线求作其原正方法如有一甲乙线为正方边与对角线相较之余求作一正方则先将此甲乙线为一边作甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作一小对角线于是以丙为心以乙为界作一圜乃引甲丙线至圜界戊处作一甲戊线将此甲戊线为度作一甲戊己庚大正方形即是所求之正方也试引甲乙线至己作甲己一对角线此对角线之乙己一叚必与戊己边线相等何也其丙乙丙戊为一圜之二辐线既等则丙乙戊丙戊乙二角亦等若于丙乙己直角内减去丙乙戊角又于所作丙戊己直角内减去丙戊乙角所余戊乙己乙戊己二角亦必相等此二角既等则乙己戊己两线必等矣因其相等则所作甲戊己庚一大正方之甲己对角线与戊己一边线相较则原有之甲乙线为其相较之余可知矣

防何原本十二

第一

有一直线将此线为底作一两边度等三角形使底之两边各一角俱比上一角为大一倍之三角形法如有一甲乙直线将此线为底欲作两边度等之三角形而底之两边各一角俱比上一角为大一倍则用十一卷第八节之法于甲乙线之两头各作一七十二度之角将两边线俱引长相交于丙即成一甲乙丙三角形为所求之形也何则凡三角形之三角相并为一百八十度与二直角等今此所作甲乙丙三角形之甲乙两角既俱系七十二度则于一百八十度内减去甲乙二角共一百四十四度余三十六度即为丙角之度三十六度者七十二度之半故甲乙两底角比丙角各大一倍也

第二

有一直线依此线度作两边度等三角形使上一角小于两底角一倍之三角形法如有甲乙一直线以此线为一边复依此线度作一边使此两边线所合之上一角小于两底角一倍之三角形则用十一卷第八节之法以甲乙甲丙二线之甲末相合作一乙甲丙角为三十六度再自丙至乙作一乙丙直线为底即得一甲乙丙三角形为所求之形也何则将甲角三十六度与全形三角之共数一百八十度相减余一百四十四度为乙丙两底角之共数今甲丙线与甲乙线既等则乙角与丙角必等因其相等将两底角共数一百四十四度折半得七十二度即为每一底角之数七十二度者三十六度之倍数故甲角比乙丙两底角俱为小一倍也

第三

有一直线以此直线为一边作等边等角之五界形法如有甲乙一直线以此直线为一边作一等边等角之五界形则将此甲乙直线为底用此卷第一节法作一两边度等甲丙乙三角形其甲丙乙角为丙乙甲丙甲乙二角之各一半又用十一卷第十五节法于此三角形之周围作一圜此甲丙丙乙两直线原系相等其相对之两弧亦必相等乃以此两弧自戊丁二处为丙平分又自甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙作四直线即成甲乙丁丙戊五边五角等度之五界形也何则其甲丙乙角原为丙乙甲角之一半则甲丙乙角为三十六度试自甲乙二处至圜心作甲己乙己二线成甲己乙一三角形则此甲己乙角比甲丙乙角亦为大一倍【见四卷第十一节】故甲己乙角为七十二度而甲乙弧线亦为七十二度矣以七十二度于全圜界三百六十度内减之余二百八十八度折半得一百四十四度即为甲戊丙一叚弧线之数也将一百四十四度折半得七十二度即为甲戊一叚弧线之数也既得甲戊弧线之数则戊丙丙丁丁乙各弧线度俱各为七十二度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五线既俱系相等弧之线则五线之度必俱等五线之度既等则此形又在圜之内而五角之度岂有不相等者哉

第四

有一直线分大小两分为相连比例线法如甲乙直线为全分甲丙一叚为大分丙乙一叚为小分以甲乙全分与甲丙大分之比同于甲丙大分与丙乙小分之比则用此甲乙线为一边线依此卷第二节法作两边等度之两底角比上一角各大一倍之甲乙丁三角形又依此卷第三节法取乙丁线度作边角俱等之甲戊乙丁已五边形又自戊至丁作一直线截甲乙线于丙乃得甲丙一大叚为大分丙乙一小叚为小分即是所欲作之相连比例线也何则甲戊乙丁两弧线度等则甲乙戊乙戊丁两角度必等又乙戊丁角与乙甲丁角共立于乙丁弧其度必等再甲戊丁与甲乙丁二角亦同立于甲巳丁弧其度亦必等也至于甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙戊角俱大一倍其甲丙戊角因为戊丙乙三角形之外角与丙乙戊丙戊乙两内角等故甲丙戊与甲戊丙两角相等此二角既等则甲丙甲戊两线必等矣又甲戊戊乙两线度原相等其戊甲乙角必与戊乙甲角等而甲乙戊一大三角形必与戊乙丙一小三角形为同式形矣葢小三角形之丙戊乙角与大三角形之戊甲乙角等而小三角形之丙乙戊角与大三角形之甲乙戊角为共角而等则小三角形之戊丙乙角与大三角形之甲戊乙角不得不等三角俱等非同式形而何是故甲乙线与甲戊线之比必同于乙戊线与丙乙线之比也夫甲戊原与甲丙相等而乙戊原与甲戊相等故乙戊亦与甲丙相等然则甲乙全线与所分甲丙大分之比必同于甲丙大分与丙乙小分之比可知矣故曰甲乙与甲丙甲丙与丙乙为相连比例之线也

第五

平分一直线为数叚法如有甲乙一直线欲平分为三分则自甲乙线之两末作甲丙乙丁二平行线随意取一甲戊度将甲丙线分为甲戊戊庚庚丙三叚又依甲戊度将乙丁线亦分为乙辛辛巳巳丁三叚乃自二平行线之三叚处复作甲丁戊己庚辛丙乙四平行线即平分甲乙直线为甲壬壬癸癸乙之三分矣试观甲乙丁三角形之甲乙乙丁两傍线为与甲丁线平行之壬己癸辛二线所分故俱为相当率今以甲乙全线与乙丁全线之比同于丁已叚与甲壬叚之比而已辛叚与壬癸叚之比辛乙叚与癸乙叚之比亦皆与甲乙全线与乙丁全线之比相同也因其比例俱同故丁乙线之丁巳巳辛辛乙三叚为平分而甲乙线之甲壬壬癸癸乙三叚亦为平分也

第六

有分数之直线将别一直线依此线分分为相当比例率法如有甲乙一直线原分为甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙丁直线欲依此甲乙线分分作三分为相当比例之率则齐二线之一端以为平行线自甲乙线之甲端过丙丁线之丙端作一纵线复自甲乙线之乙端过丙丁线之丁端作一斜线则二线相交于戊乃自戊至所分巳辛二处作戊巳戊辛二线则丙丁线即分为丙庚庚壬壬丁三叚与甲乙线之甲巳己辛辛乙三叚为相当比例率也试审戊甲乙全形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊壬丁戊辛乙之大小六三角形其相当各式皆同如戊丙庚与戊甲已为同式戊庚壬与戊巳辛为同式戊壬丁与戊辛乙为同式故丙庚与甲已为相当二界庚壬与已辛为相当二界壬丁与辛乙为相当二界此六线既各为相当界故各为相当比例率也

第七

有二直线作与此二线相连比例之第三线法如有甲乙甲丙二直线欲作与此二线相连比例之第三线则将甲乙甲丙二线之甲末合成一角照甲丙线度增于甲乙线为甲戊线自乙末至丙末作一乙丙线又与乙丙线平行自戊末作一戊己线将甲丙线引至已处乃成一甲已线其自丙末所分之丙已线即为与甲乙甲丙二线相连比例之第三线也葢已戊线既与丙乙线平行故甲乙丙三角形与甲戊己三角形为同式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必为相当比例之四率是以甲乙第一率与甲丙第二率之比即同于乙戊第三率与丙巳第四率之比也夫乙戊之度原与甲丙等故甲乙与甲丙之比即甲乙与乙戊之比而甲丙与丙已之比即乙戊与丙巳之比然则甲乙与甲丙甲丙与丙巳岂非相连比例之三线乎

第八

有三直线作与此三线相当比例之第四线法如有甲乙甲丙乙丁三线欲作与此三线相当比例之第四线则取甲丙线度叧作一甲丙线将此所作甲丙线照甲乙线度纪于乙于是以甲为心自乙作弧一叚又取原有之乙丁线度自乙截弧线于丁即自乙至丁作一乙丁线再依甲丙线度自甲过丁作一甲戊线又与乙丁线平行作一戊丙线此戊丙线即为原三线相当比例之第四线也葢甲丙戊三角形与甲乙丁三角形为同式故甲乙线与甲丙线之比即同于丁乙线与戊丙线之比因其比例相同故戊丙线为原有之甲乙甲丙乙丁三线相当比例之第四线也或欲作相当比例之数线则将甲角上下二线引长为甲癸甲子凡相当各二处任意截为防叚作防平行线既得相当比例之数线矣如以甲角之甲子甲癸二线截为丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚于所截五处作五平行线即得相当比例之十率矣葢以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比以甲丙与甲巳之比同于戊丙与庚已之比以甲已与甲辛之比同于庚已与壬辛之比以甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比故将甲子甲癸二线虽分为无数叚作无数平行线其比例亦无不相同也

第九

有二直线欲叧作一线为此二线之中率法如有甲乙乙丙二线欲另作一线为此二线之中率则将甲乙乙丙二线相连为一甲丙全线乃平分全线于戊以戊为心以甲丙两末为界作一半圜自二线相连乙处至圜界作一丁乙垂线即为原有甲乙乙丙二线之中率线也何也丁乙线既为圜径上之垂线则甲乙丁乙乙丙为相连比例之三率【见九卷第七节】故甲乙线与乙丁线之比同于乙丁线与乙丙线之比也比例既同则所作乙丁线为原有甲乙乙丙二线之中率可知矣

第十

有二直线欲另作二线为此二线间之两率法如有甲乙乙戊二直线欲另作二线为此二线间之两率则将甲乙乙戊二线之乙末相合为直角又自此二线所合乙角引长为甲乙丙戊乙丁二线次将二矩尺之二角正置于丁戊甲丙二线上如一矩尺为己庚辛一矩尺为壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切于丁戊线之戊末又以壬癸子矩尺之一股切于甲丙线之甲末仍使二矩尺之已庚癸子二股相合则癸庚二角亦为直角而不离于所跨之线其二矩尺之壬辛二股亦使不离于所切之线末乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三线即截丁乙线于癸截乙丙线于庚成乙癸乙庚二线即为原有之甲乙乙戊二线间之两率也何也如平分戊癸线于丑则丑为心戊为界成一戊庚癸半圜若平分甲庚线于寅则寅为心甲为界成一甲癸庚半圜今乙癸线为甲癸庚半圜径线上之垂线故乙癸为甲乙乙庚二线之中率而乙庚线为戊庚癸半圜径线上之垂线故乙庚又为癸乙乙戊二线之中率是以甲乙线与乙癸线之比同于乙癸线与乙庚线之比而乙癸线与乙庚线之比亦同于乙庚线与乙戊线之比因其比例相同故乙癸乙庚二线为甲乙乙戊二线间之两率也

第十一

有三角形依一界作等积之直角四界形法如有甲乙丙一直角三角形欲依其乙丙界作一直角四界形与原三角形积等则与乙丙平行作一甲丁线又与甲乙平行作一丁丙线即成一甲乙丙丁直角四界形于是平分甲乙线于戊平分丙丁线于巳作一戊巳线则平分甲乙丙丁四界形为两形此所分甲戊巳丁与戊乙丙已两直角四界形之积俱与甲乙丙三角形之积相等也葢甲乙丙三角形为甲乙丙丁四界形之一半今所分甲戊巳丁与戊乙丙已两四界形既俱为甲乙丙丁四界形之一半则必与甲乙丙三角形之积俱相等可知矣又如庚辛壬无直角之三角形依辛壬界作一直角四界形与原三角形积等则与辛壬平行作一庚癸线又自辛壬至庚癸线作子辛癸壬二垂线即成一子辛壬癸直角四界形于是平分子辛线于丑平分癸壬线于寅作一丑寅线则平分子辛壬癸四界形为两形其所分子丑寅癸与丑辛壬寅两直角四界形之积俱与庚辛壬三角形之积相等也试与庚辛线平行作一卯壬线即成庚辛壬卯一斜方形为与子辛壬癸方形同底同髙故其积必等【见三卷第八节】今庚辛壬三角形为庚辛壬卯形之一半则亦必为子辛壬癸方形之一半矣既为一半则所分子丑寅癸与丑辛壬寅直角四界形必与庚辛壬三角形之积相等可知矣

第十二

有一长方形作与此积相等之正方形法如有甲丙一长方形欲作与此长方形相等之正方形则将甲丙形之丙乙纵线合于甲乙横线照此卷第九节法求得甲乙丙乙二线之中率为丁乙线即以丁乙线为一边作一丁戊正方形即与甲丙长方形之积相等也何则大凡相连比例三率内中率所作之正方形积与首率末率所作之长方形积相等今丁乙线既为甲乙丙乙二线之中率则丁乙线所作之丁戊正方形积焉得不与甲乙丙乙二线相合所作之甲丙长方形之积相等乎

第十三

凡多界形作与本形同式或大或小之形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形欲作比此形小一半之同式形则自此形中心壬处至各角作众线又取甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲各界度之一半与各界平行置于对角各线之间为癸子子丑丑寅寅卯卯辰辰巳巳午午癸之八线即成癸子丑寅卯辰巳午之形为原形每界减半之同式形也何也如对角线间所成之甲乙壬癸子壬大小两三角形之甲乙癸子线既平行而又同一壬角则其相当各角俱等而两形之式相同仿此推之其乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱为同式形此各相当大小两形既俱同式则所作癸子丑寅卯辰已午小形之各边为甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各边之一半而为同式形可知矣又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形从甲角作线至各角取乙丙度之一半置于甲乙甲丙二线之间与乙丙平行如子丑照此于诸对角线间作诸界之平行线即成甲子丑寅卯辰巳午未申小形为原形每界减半之同式形其理亦与前同若欲作比原形大防倍之形则以所作诸对角线按分引长而于本形外作诸界之平行线即成所欲作之大形也

第十四

作分厘尺法如甲戊尺三寸每寸欲分为百厘则将甲乙边平分作十分将戊巳边亦平分为十分对所分之分作诸横线与乙戊平行次将一寸之甲辛乙丙两边俱分为十分于甲辛边之第一分作斜线至乙丙边之乙处如此作十斜线俱与第一分斜线平行即分乙丙之一寸为一百厘也何也甲辛乙丙皆为一寸之度俱平分为十分矣若将每分又分为十厘即每寸亦得百厘然度狭线多必致相淆今作斜线横线各十其横斜相交处共有百分此百分即百厘也如第一斜线与第一横线相交之防即为一厘与第二横线相交之防即为二厘以至第十横线相交之防为十厘即甲辛边所分之第一分之十厘也一斜线有十厘则十斜线岂非百厘乎由此推之若作二十横线则一斜线得二十厘每寸即分为二百厘作百横线则一斜线得百厘每寸即分为千厘其法甚简而其用尤甚便也

第十五

凡有三角形知其一角之度及此一角之两傍界或知其二角之度及此二角之间一界或不知角度但知三界欲求其余角余界法如有一甲乙丙三角形知丙角为三十八度四十四分及丙角两傍之丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈而欲知其余角余界则依十一卷第八节法作与丙角相等之三十八度四十四分之丁角将丁角两傍之丁戊界作十四分丁巳界作十三分乃自戊至巳作一戊巳线成一丁戊巳小三角形与甲乙丙大三角形同式量其戊己边得九分即大形之甲乙边为九丈也再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分即大形甲角之度也小形巳角得七十六度三十九分即大形乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁两三角形之式既同其相当各角各界必俱相等小形之丁角即与大形之丙角等其余两角亦必等小形之丁已边既以十三分当大形丙乙边之十三丈则小形戊巳边之九分必当大形甲乙边之九丈矣又或知甲乙丙三角形之乙角为七十六度三十九分丙角为三十八度四十四分及乙丙界长十三丈而欲知其余角余界则作己丁界为十三分照乙角丙角度作已角丁角于是画巳戊丁戊二界相交于戊即成戊巳丁同式之小三角形此小形之戊角必与甲角等而小形之丁戊界十四分与大形之甲丙界十四丈相当小形之戊己界九分与大形之甲乙界九丈相当矣若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙三界而不知其角则照前将三界之度作同式之小形量其三角之度即知大形之角度矣

第十六

作分数比例测量仪器法以甲丙乙半圜界分为一百八十度每度作六十分将此