御制数理精蕴

直线形内切形

二界此直线形居他直线形外此直线形为他直线形外切形

三界圜内直线形以各角切圜界为圜内切形四界圜外直线形以各边切圜界为圜外切形五界直线形内圜圜界切直线形之各边为形内切圜

六界直线形外圜圜界切直线形之各角为形外切圜

七界直线之两端各抵圜为合圜线如甲乙丙丁两线俱为合圜线而戊己辛庚两线或至界或不至界或俱不至界皆不得为合圜线

钦定四库全书

几何论约卷四

柘城杜知耕撰

一题

有圜求作合圜线与所设线等

法曰甲乙丙圜求作合圜线与所设丁线等先作丙乙圜径若与丁等即是合线若丁小于径【若大于径即不可合】即于乙丙截

乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙线为所求【耕日当任指乙为心丁为度向圜界作短界线为甲即作甲乙线】

二题

有圜求作圜内三角切形与所设三角形等

法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先

作庚辛切圜线次作庚甲乙角与所设己角等次作辛甲丙角与所设戊角等末作乙丙线为所求论曰甲丙乙与庚甲乙两角甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等【三巻三一】两角既等余一角必亦等三题

有圜求作圜外三角切形与所设三角形等

法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先引长戊己邉为庚辛次自圜界

抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于三线各作垂线成三角形为所求

论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一巻三二】而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己亦等两直角【一巻十三】毎减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙必等依显五与己癸与丁角俱等【一巻三二】四题

三角形求作形内切圜

法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙两角各平分之作乙丁丙丁两线相遇于丁次自丁至各邉作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙

丁同边即丁戊丁己两边亦等【一巻二六】依显丁己丁庚两邉亦等夫三线俱等丁必圜心即以丁为心戊为界在己戊庚圜为所求【耕曰两分角线相遇处即圜心任作一垂线便可作圜不必更作余两线余两线为论理而设非作法所需也】

五题

三角形求作形外切圜

法曰甲乙丙角形求作形

外切圜先平分两邉【若直角钝

角则分直钝两旁之邉】于丁于戊作

丁己戊己为两邉之垂线相遇于己其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等丁己同腰丁之两旁俱直角即甲己己乙两底必等【一巻四】依显甲己己丙两底亦等夫三线俱等己必圜心即以己为心甲为界作乙甲丙圜为所求

耕曰两垂线相遇处为心即可作圜不必更作余线

一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必钝角形

二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉钝角形必在形外

増任设三防不在一直线可作过三防之圜其法于三防各作直线相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三防先以甲乙各自为心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚两线引

长相交于辛即辛为圜心

六题

有圜求内切圜直角方形

法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊

次作甲乙乙丙等四线为所求

论曰四角皆负半圜分故皆直角【三巻三一】

七题

有圜求作外切圜直角方形

法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊

次作庚己己辛等四线各与两径平行为所求八题

直角方形求作形内切圜

法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁两线相交于戊即以戊为心甲为界作甲乙丙丁圜为所求

九题

直角方形求作形外切圜

法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁对角线相交于戊即以戊为心甲为界

作圜为所求

十题

求作两邉等三角形底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等【二巻十一】次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本巻一】末作甲丁线相聨即两

边等三角形而乙丁两角倍大于甲角

论曰试作丙丁线成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本巻五】其甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等亦与乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切线【三巻二七】即乙丁丙角与甲角交互相等【三巻三二】于两角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等又乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲两内角并等【一巻三二】即乙丙丁角与甲丁乙角等而与相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁两角既等则丙丁乙丁两线必等又乙丁元与甲丙等是丙丁与甲丙亦等两线既等则甲与甲丁丙两角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一题

有圜求作圜内五邉切形其形等边等角

法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角俱倍大于己角【本巻十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙两角作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙等四线为所求

论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角今平分两角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等则五邉等矣又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等则乗两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等依显余三角俱等而五角等矣

十二题

有圜求圜外五邉切形其形等邉等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次从巳心作已甲巳乙等五线次从此五线作庚辛辛壬

等五垂线为所求

十三题

五边形求作形内切圜

法曰甲乙丙丁戊五边形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙边于辛次作庚丙辛戊两垂线相交于己末以己为心

庚为界作圜为所求

十四题

五边形求作形外切圜

法曰甲乙丙丁戊五边形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊两角作庚丙辛丁两线相交于己末以己为心丙为界作圜为所求

十五题

有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角

法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁径线次以丁为

心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作庚丙庚戊各引长为丙己戊乙末以甲乙乙丙等六线聨之为所求

耕曰两圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同为上圜之半径必等而庚丁丙丁同为下圜之半径亦等【六三角形俱依此推显】三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也

一糸凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故也

二糸依前十二十三十四题可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜

十六题

有圜求作圜内十五邉切形其形等边等角

法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形【本巻二】毎一邉当圜三分之一即当十五分之五次从甲作甲戊己

庚辛五邉形毎一邉当圜五分之一即当十五分之三平分戊乙于壬则壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜线为所求

一糸依前十二十三十四题可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜

増题若圜内从一防设不等两内切形之各一邉此两邉各为若干分圜之一其两若干分相乗之数即后作形之分数其两若干分之较数即两邉相距之圜分如甲丙戊圜从甲防作甲乙为六邉形之一邉甲丙为

五邉形之一邉甲丁为四邉形之一邉甲戊为三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故当为三十边也较数一故当为一邉也又甲乙圜分为六分圜之一即三十分之五甲丙为五分圜之一即三十分

之六则乙丙得三十分之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又较数二也因推乙戊为十八邉形之三邉丙戊为十五邉形之二邉丁戊为十二邉形之一邉也

二糸凡作形于圜之内等邉则等角何者形之邉所乗之圜分皆等故【二巻二七】凡作形于圜之外从圜心至角各作直线依本巻十二题可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜

四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷

又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等如甲乙丙丁戊两圜同以己为心先作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线次平分甲乙丙于乙

再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合线即所求多邉形之一邉也

几何论约巻四

钦定四库全书

几何论约巻五之首

柘城杜知耕撰

界説十九则【前四巻所论皆独几何也此下二巻所论皆自两以上多几何同例相比者也此巻以虚例相比絶不及线面体诸类六巻则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也】

一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分小能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙三分之一为丙七分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是不尽大则丁不能为戊己之分也【本书所论皆指能尽分者】

二界小几何能度大者则大为小之几倍

三界比例者两几何以几何相比之理凡两几何相比以此几何比他几何则此为前率他为后率反用之以他几何比此几何则他为前率此为后率凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合非数可明者为小合本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者有不等者等者谓相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五种一为几倍大谓大几何内有小几何或二或三或八或十也二为等一分谓大几何内既有小之一别一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三为等几分谓大几何内既有小之一别几分不能合为一尽分者也四为几倍大一分五为几倍大几分小不等者亦有五种俱与上五种相反为名

四界两比例之理相似为同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例同理又有二种一为连比例谓相连不断如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例谓居中两率一取不再用如前圗甲自与乙比丙

自与丁比是也

五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而方边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜径四倍之即大于圜界则径与界亦有小合比例之线也又如初月形别作一方形与之等【末巻一増附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方与圜虽不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸

角与己庚辛钝角等卯丑辰角与

子丑寅鋭角等此五者皆疑无比

例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽为同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者毕世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此后诸篇中毎有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也

六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍其相视或等或俱大或俱小恒如是如第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第

四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例【连比例仿此】

七界同理之几何为相称之几何

八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上六界而释不同理之比例

九界同理之比例至少必三率

十界四几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例第一与四为三加之比例仿此以至无穷

十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文六界八界谓几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍以一与三为两前二与四为两后故也

十二界有属理更前与前更后与后如甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理【下言属理皆省曰更证见本巻十六】此理可施于四率

同类之比例若两线与两面或两面与两数不为同类即不得相更也【此下説比例六理皆后论所需也】

十三界有反理取后为前取前为后如甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理【证见本巻四之糸】此理亦可施于异类

十四界有合理合前与后为一而比其后如甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为

一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙丙若丁己与戊己是合两前两后率而比两后率也【证见本巻十八】

十五界有分理取前之较而比其后如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较

甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊【证见本巻十七】

十六界有转理以前为前以前之较为后【图同前界】如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己【证见本巻十九】

十七界有平理此甲乙丙三几何彼丁戊己三几何相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己【平理之分又有二种如后二界】

十八界有平理之序者甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界也证见本巻二二】

十九界有平理之错者甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也

【戊证见本乙巻二三】

増甲与乙为比例即此丙必有彼丁相与为比例若甲与乙也丙与丁为比例必有彼戊与此丙为比例若丙与丁也

钦定四库全书

几何论约巻五

柘城杜知耕撰

一题

此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率

解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍

二题

六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数

三题

四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四

解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁

四题

四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别

作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳与四丁所倍之辛比例亦等

论曰试以戊巳同任

倍之为壬为癸别以

庚辛同任倍之为子

为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本巻三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑【本巻界六】不论几许倍其等大小恒如是也则戊与庚偕巳与辛之比例必等

一糸凡四几何一与二偕三与四比例等即可反推二与一偕四与三比例亦等

二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题

大小两几何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之

解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己题言甲戊分余之戊乙所倍于丙己分余之己丁亦如其数

六题

此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等

解曰甲乙丙丁各倍于戊己其数等毎减一倍戊己相等之甲庚丙辛题言分余庚乙辛丁或与戊己等或尚各倍于戊己其数亦等

七题

此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等

解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必

等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等八题

大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例

解曰不等两几何甲大乙小又有他几何丙不论等大小于甲于乙题言甲与丙大于乙

与丙之比例又反言丙与乙大于丙与甲之比例九题

两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等

十题

彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此

解曰甲乙两几何又有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙又言丙与乙

之比例大于丙与甲则乙小于甲

十一题

此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等

解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己等题言甲乙与丙丁之比例亦等

十二题

数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例

解曰甲乙丙丁戊己数几何甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己题言甲丙戊

诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前与各后也

十三题

数几何第一与二之比例若第三与四而第三与四之比例大于第五与六则第一与二之比例亦大于第五与六

解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与

六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己

十四题

四几何第一与二之比例若第三与四而第一大于第三则第二亦大于第四第一或小或等于第三则第二亦等亦小于第四

解曰甲与乙之比例若内与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小

十五题

两分之比例与两多分并之比例等

解曰甲与乙同任倍之为丙为丁题言丙与丁之

比例若甲与乙

十六题【更理】

四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等

解曰甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁

十七题【分理】

相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰甲乙丁乙与丙戊己戊相合两几何

甲乙与丁乙若丙戊与己戊题言分之甲丁与丁乙若丙己与己戊也

十八题【合理】

两几何分之为比例等则合之为比例亦等

解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其

甲丁与丁乙若丙己与己戊题言合之甲乙与丁乙若丙戊与己戊也

十九题【其糸为转理】

两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等

解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁

全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁

糸从此题可推界説十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己

二十题

有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己题言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于

丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己

二十一题

有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与

己乙与丙若丁与戊以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己

论曰甲既大于丙即甲与乙大于丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙【本巻】