御制数理精蕴

丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙【本巻】

【七】而甲与乙若戊与己即丙与乙亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己若戊与丁是丁己等也后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙小于丙与

乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本巻四】则戊与己小于戊与丁是丁小于己也

二十二题【平理之序】

有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推之

解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙若丁与戊乙

与丙若戊与己题言以平理推之甲与丙若丁与己如更有庚辛二几何其丙与庚若己与辛依显甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】

二十三题【平理之错】

若干几何又若干几何其数等相为连比例而错亦以平理推

解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比理而错者其甲与乙

若戊与己乙与丙若丁与戊题言以平理推之甲与丙亦若丁与己如更有庚辛两几何其戊与辛若甲与丙丙与庚若丁与戊即以甲丙庚作三几何丁戊辛作三几何相为连比例而错则甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】

耕曰以数明之甲设十八乙设九丙设六丁设四十八戊设三十二己设十六甲与丙若丁与己其故何也盖甲与乙若六与三

乙与丙若三与二则甲与丙若六与二矣又丁与戊若六与四戊与己若四与二则丁与己亦若六与二矣两前两后俱若六与二故比例等也庚辛两几何亦依此推显

二十四题

凡第一与二之比例若第三与四而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四

解曰一甲乙与二丙若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一

甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己

増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等【此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣】

二十五题

四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并

解曰甲乙与丙丁若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并

论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙与丙丁也夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本巻十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚两率必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并二十六题

第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三

解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四

丁与三丙

二十七题

第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四

解曰一甲与二乙大于三丙与四丁题言之则一甲与三丙亦大于二乙与四丁

论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙大于戊与乙是甲大于戊则甲与丙必大于戊与丙矣夫戊与乙既若丙与丁更之则戊与丙亦若乙与丁则甲与丙大于乙与丁

二十八题

第一与二之比例大于第三与四合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与第四

解曰一甲乙与二乙丙大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙亦大于丁

己与戊己

论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙是甲乙大于庚乙矣此两率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙即大于丁己与戊己二十九题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四分之则第一与第二之比例亦大于第三与四

解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言

分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己【论同前】三十题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三

解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙小于丁己与丁戊

耕曰甲丙与乙丙若四与一丁己与戊己若三与一则四与一大于三与一矣甲乙与乙丙若三与一丁戊与戊己若二与一则三与一大于二与一矣甲丙与甲乙若四与三丁己与丁戊若三与二则四与三小于三与二矣

三十一题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二此第二与三之比例大于彼第二与三如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三

解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于丁与戊乙与丙大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙亦大

于丁与己

三十二题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三此第二与三之比例大于彼第一与二如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三

解曰甲乙内此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于戊与己乙与丙大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙亦大于丁与己

论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙大于庚与丙而乙几何大于庚【本巻十】

是甲与小庚大于甲与大乙矣【本巻八】夫甲与乙既大于戊与己即甲与庚更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本巻十】是大甲与丙大于小辛与丙矣【本巻八】夫辛与丙以平理推之若丁与己也【本巻二三】则甲与丙大于丁与己

三十三题

此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例

解曰甲乙全与丙丁全大于两截分甲戊

与丙己题言两分余戊乙与己丁大于甲乙与丙丁

论曰甲乙与丙丁既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊亦大于丙丁与丙己也【本巻二七】又转之甲乙与戊乙小于丙丁与己丁也【本卷三十】又更之甲乙与丙丁小于戊乙与己丁也【本巻二七】若两全之比例小于截分则分余之比例必小于两全

三十四题

若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末亦大于此并减第一与彼并减第一而小于此第一与彼第一

解曰甲乙丙三几何又丁戊己三几何其甲与丁大于乙与戊乙与戊大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并大

于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小

于甲与丁

论曰甲与丁既大于乙与戊更之即甲与乙大于丁与戊也【本巻二七】又合之甲乙并与乙大于丁戊并与戊也【本巻二八】又更之甲乙并与丁戊并大于乙与戊也【本巻二七】是甲乙全与丁戊

全大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁大于甲乙全与丁戊全也【本巻三三】依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并大于丁与戊己并也【本巻二七】又合之甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也【本巻二八】又更之甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁大于甲乙丙全与丁戊己全也【本巻三三】则得后解也又乙与戊既大于丙与己更之即乙与丙大于戊与己也【本巻二七】又合之乙丙全与丙大于戊己全与己也【本巻二八】又更之乙丙并与戊己并大于丙与己也【本巻二七】而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己亦大于庚与辛即与前论同理依上论乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也【本巻十八】又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊

己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本巻三二】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上俱仿此

几何论约巻五

钦定四库全书

几何论约巻六之首

柘城杜知耕撰

界説六则

一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等其甲角旁之

甲乙与甲丙若丁角旁之丁戊与丁己余两等角旁之各两线其比例俱等则两角形为相似之形依显平边角形皆相似之形

二界两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形如两方形之甲乙与戊己若己庚与乙丙而彼此互为前后率则此两形为互相视之形依显两角形之壬子与丑寅若丑卯与壬癸则两

形亦为互相视之形

三界理分中末线一线两分之其全与大分之比例若大分与小分【此线为用甚广至量体尤所必需古人目为神分线也】

四界度各形之髙皆以垂线之亘为度如甲乙丙角形作甲丁垂线即甲丁为甲乙丙角形之髙度

五界比例以比例相结以各比例不同理而相聚为一比例则用相结之法借象之术合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为相结如甲乙丙三几何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲与丙之比例则以二倍乗三倍得甲六倍

于丙也若丙为第一甲为第三亦以二乗三得丙反六倍于甲也若四率则先以前三率之两比例结为一比例复与第三比例相结也若五率则以第一第二第三率之两比例相结以第三第四第五率之两比例相结又以此所结之两比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此曷谓借象如前所説三几何二比例皆以中率为关纽畧如连比例之同用一中率也有不同理二比例而异中率者是不同理之断比例也无法可结当别立三几何二比例而同中率【以中率当第二又当第三】乗除相结依仿求之如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前之前四为后之后三与二为前之后后之前所谓异中率也欲乗除相结无法可通矣用是别立三几何则三其八得二十四为前三其三得九为前之后即以九为后之前以求九与何数若二与四得十八为后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八也三比例以上仿此逓结之

六界平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线如甲丁形不满甲乙线而丙乙半线上无形即作甲己满甲乙线上方

形则甲丁为依甲乙线之有阙方形而丙己为甲丁之阙形又甲丙线上作甲己形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之余方形而丙己形为甲己之余形

钦定四库全书

几何论约巻六

柘城杜知耕撰

一题

等髙之角形方形自相为比例与其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己两角形乙辛戊庚两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己乙辛与戊庚皆若乙丙与戊己之比例

増题凡两角形两方形等底自相为比例与其髙之比例等

耕曰即前圗以髙为底以底为髙其理自明二题

三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉为比例必等三角形内有一线分两邉为比例而等即此线与余邉为平行

解曰甲乙丙角形内作丁戊与乙丙平行题言丁戊分甲乙于丁分甲丙于戊其甲丁与

丁乙之比例若甲戊与戊丙也又言甲丁与丁乙甲戊与戊丙为比例而等则丁戊乙丙必平行论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两形同丁戊底又在平行线内即等【一巻三七】而甲戊丁与丁戊乙两形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五巻七】夫甲戊丁与丁戊乙亦同在平行线内则甲戊丁与丁戊乙两形之比例必若甲丁丁乙两底也【本巻一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两形也是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣【五巻十】

三题

三角形以一直线任分一角为两平分分对角边为两分则两分之比例若余两邉三角形分角线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分解曰甲乙丙角形以甲丁线平分乙甲丙角题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙则甲丁线分乙甲丙角必

为两平分

论曰试作乙戊与甲丁平行次引长丙甲线至戊其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等外角丁甲丙与内角戊亦等【一巻二九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一巻六】则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙【本巻二】是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣

四题

凡等角三角形其在等角旁之各两腰相与为比例必等而对等角之邉为相似邉

解曰甲乙丙丁丙戊两形相当之各角俱等题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁

戊与丙戊而毎对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当角

论曰试并置两形令两底成一直线次引长乙甲戊丁两线相遇于己成乙己戊形其甲丙与己戊平行则戊丙与丙乙若己甲与甲乙即若等己甲之丁丙与甲乙也更之甲乙与乙

丙若丁丙与丙戊也又丁丙与己乙平行则乙丙与丙戊若己丁与丁戊即若等己丁之甲丙与丁戊也更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也依显甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也

糸凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与

甲乙丙全形相似

増题凡角形之内任依乙丙邉作丁戊平行线于乙丙邉任取己防向甲角作甲己直线分丁戊于庚则乙己与己丙之比例必若丁庚与

庚戊

论曰甲巳乙甲庚丁两角形既相似即甲己与己乙若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五巻十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五巻十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五巻十六】

五题

两三角形其各两邉之比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等

解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与乙丙若丁戊与戊己乙丙与甲丙若戊

己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊题言此两形为等角形而对各相似邉之角甲与丁乙与戊丙与己各等【论同前题】

六题

两三角形之一角等而等角旁之各两邉比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等

解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己

题言余角丙与己甲与丁俱等【论同四题】

七题

两三角形第一角等第二相当角各两旁之邉比例等第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似邉之角各等

解曰甲乙丙丁戊己两角形其第一甲角与丁角等第二丙角两旁之甲丙乙丙两邉偕相当己角两旁之丁己戊己两邉比例

等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形之丙与己乙与戊角俱等八题

直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形从直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两形皆与全形

相似亦自相似

论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同其余一角必等而两形为等角形等角旁之各两邉比例必等依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似夫两形既各与全形相似即两形亦自相似

糸从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也故甲丁为丙丁乙丁之中率又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率

九题

一直线求截所取之分

法曰甲乙直线或截取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己为三分次

作己乙直线末作丁庚与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一

论曰丁庚既与己乙平行即己丁与丁甲若乙庚与庚甲合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也甲丁既为己甲三之一则庚甲亦乙甲三之一矣十题

一直线求截各分如所设之截分

法曰甲乙线求截各分如所设甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也

从此题作一用法甲乙直线求平分若干分即从甲任作甲丙为若干平分余同前

又简法如甲乙线求五平分即从乙任作丙乙线为丙乙甲角次任作丁戊与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次从甲过癸作甲子线

遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引至甲乙线为丑寅卯辰五平分

又简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分即用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线即分甲乙

于己辰卯寅为五平分

又用法先作一器如丙丁戊己任平分为若干格今欲分甲乙线为五平分即取甲乙之度一端抵

戊丙线一端抵庚辛线如甲乙大于戊庚即渐移之令合线若至壬即戊壬之分为甲乙之分

増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例【法同前】

又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛其甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也即中率戊己庚辛各与前后率为比例亦等谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己

若辛丁与庚辛也

论曰试聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙

既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行而庚戊与辛己亦平行故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也

十一题

两直线求别作一线相与为连比例

法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例谓甲乙与甲丙若甲丙与所求线也先

合两线作丙甲乙角以丙乙线聨之次引长甲乙线至丁令乙丁与甲丙等次作丁戊线与丙乙平行末引长甲丙线遇丁戊于戊即丙戊为所求论曰丙乙既与戊丁平行即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也【五巻七】

注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引长甲乙线末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为

所求

论曰甲丙丁既是直角而丙乙垂线即为甲乙乙丁之中率则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也【本卷八之糸】

十二题

三直线求别作一线相与为断比例

解曰甲乙乙丙甲丁三线求别作一线相与为断比例谓甲丁与所求线若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙为一直线次以甲丁线合甲丙

任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊与丁乙平行末引长甲丁遇丙戊于戊即丁戊为所求

论曰丁乙既与丙戊平行即甲丁与丁戊若甲乙与乙丙【本巻二】

十三题

两直线求别作一线为连比例之中率

法曰甲乙乙丙两线求别作一线为中率谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也先并两线成一直线而平分于戊即以戊为心甲作界作

甲丁丙半圜末从乙至界作乙丁垂线即乙丁为所求

论曰试作甲丁丁丙两线成甲丁丙直角形【三巻三十】而丁乙垂线为对邉两分线之中率【本巻八之糸】注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率何者半圜之内从垂线作角皆直角故也【三巻三】

増题有甲乙甲丙两线甲乙大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为直角平分甲乙于丁即以丁为心甲

为界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即甲丙为甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂线即为两分径线之中率而甲丙与戊己等故为甲己己乙之中率

十四题

两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等

解曰辛乙乙己两方形等【谓其容等】甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角旁之各两邉为互相视之邉谓甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视

则辛乙乙己两形必等

论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直线而戊乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次引长辛丙己庚遇于丁辛乙乙己两形既等即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也而辛乙与乙丁两形等髙即两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本巻一】依显乙己与乙丁等髙两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也

十五题

相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等

解曰甲乙丙丁乙戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视谓甲乙与乙

戊若乙丁与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视则甲乙丙丁乙戊两角形必等

论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直线而丁乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊两形既等即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣夫甲乙丙与丙乙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而丁己戊与丙乙戊两等髙形之比例亦若其底丁乙与乙丙也是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙