御制数理精蕴

半圜之丁甲丁乙丁丙三半径线照所容方界分截开分为一百分于每分上俱与三半径平行作纵横线于甲乙径线之甲乙两末作两定表以圜丁心为枢作一游表如丁巳将此游表亦如前所分一百分度作二百分复于此仪器后面作一垂线记号以挂坠线如庚即成一全仪器用以测髙深广逺可知其各角各界之度矣如有一辛壬旗杆欲测其髙则将仪器按坠线立准看甲乙径线两末之定表与旗杆癸处相对乃为地平再将丁巳游表与旗杆顶尖辛处相对次量仪器中心所对处至旗杆癸处得防何如有四十丈则看仪器丁乙线上自丁心至子得四十分以当地平四十丈即视与子相对垂线至游表相交处有防何如丑子三十分即为旗杆自辛至癸相当数为三十丈也再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度矣盖仪器上之丁子丑小三角形与所测得丁癸辛大三角形原为同式其相当各界之比例必俱相同故以丁子四十分与子丑三十分之比即同于丁癸四十丈与癸辛三十丈之比也若欲知丁辛线数即视游表自丁至丑相交之处得防何如有五十分其相当数即为五十丈也若欲知丁癸辛三角形之各角度则视圜界与游表相交处如巳其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分其余巳丙弧五十度四十七分即辛角度而癸辛线原与子丑垂线平行为平行线故癸角必是直角而为九十度也

第十七

仿各种地形画图法如有甲乙丙丁地形欲画一图则选能见各地之二处立仪器为戊为巳将戊与巳对准定表先自戊以游表视庚辛壬癸等处得诸角之度皆细记之如庚戊巳角得八十一度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳角得四十五度八分癸戊巳角得三十三度二十分次自巳以游表照前视庚辛壬癸等处得诸角之度亦细记之如庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊角得四十度十分壬已戊角得四十七度二十五分癸巳戊角得七十度于是任意作一子丑线为戊己相当线于此子丑线之两末作诸角与所记诸角相等将所作诸角之各线俱引长使相交于寅卯辰巳等处乃以庚辛壬癸所有之诸地形并其余各处凡目之所见俱画于图之相当各界即成一午未申酉之图即甲乙丙丁地形之图也葢午未申酉图内所作寅子丑卯子丑类诸三角形之角度皆与甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳类诸三角形之角度相等而作故其相当各三角形俱为同式此所以全图与全地形为同式也

第十八

画地理图欲约为小图或欲广为大图法如有甲乙丙丁一地理图欲约为小图为原图四分之一则用甲乙丙丁形界之四分之一画一戊已庚辛形将甲乙丙丁原形任意分为数正方形而将小形亦分为数正方形视原图中所有山川城郭村墅林园函于大图之某正方分者约而画入小图某正方形内则此所画之戊巳庚辛小图即与原有甲乙丙丁大图为同式矣

第十九

作比例尺平分线法如此比例尺欲作平分线则自甲枢心至乙丙二末作甲乙甲丙二线用本卷第五节法分之各平分为二百分即为比例尺之平分线也以用法明之如有丁戊一直线欲平分为十分则将比例尺一百分之己庚二防照丁戊线度展开勿令移动次取比例尺之第十分之辛壬二防相离之度即是丁戊线之十分之一分也何则自乙至丙作一线自己至庚作一线自辛至壬复作一线其甲乙丙三角形与甲己庚三角形为同式而甲己庚三角形又与甲辛壬三角形为同式是以所分甲己线与甲乙线之比同于己庚线与乙丙线之比而甲辛线与甲己线之比亦同于辛壬线与己庚线之比也然则十分之甲辛线既为百分之甲己线之十分之一其辛壬线亦必为己庚线之十分之一矣丁戊线原与己庚线同度则辛壬线亦为丁戊线之十分之一可知矣

第二十

作比例尺分圜线法如于比例尺欲作分圜线则自甲枢心至乙丙二末作甲乙甲丙二线乃平分甲乙线于未以未为心以甲乙二末为界作一半圜于是分圜界为一百八十度复以甲为圜心至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等处作各线又将诸线度移于尺之甲乙甲丙二线则此二线即成一圜之诸之总线也以用法明之如寅卯寅辰二线所合寅角欲知其度则以寅为心作一辰卯弧将比例尺六十度之丁未两防相距之度照寅辰或寅卯度展开勿令移动次取卯辰相距之度于比例尺上寻至八十度之申酉处恰符即是寅角为八十度也何则若自丁至未自申至酉作二线成甲申酉甲丁未两同式三角形其相当各角各界俱为相当比例之率故甲未线与甲酉线之比同于丁未线与申酉线之比也夫甲未线既为比例尺所作甲庚六十度之线而甲酉线又为甲辛八十度之线其丁未线既与小圜寅卯辐线等而辐线原与六十度之线等然则丁未线即小圜六十度之线而申酉线亦为小圜八十度之线也以此得知寅角之卯辰度为八十度也

第二十一

作比例尺分面线法如此比例尺欲作分面线则以甲枢心处至乙丙二末作甲乙甲丙二线自甲截甲丙线于丁照所截甲丁度于甲心作一甲戊垂线自戊至丁作一戊丁线又照戊丁线度自甲截甲丙线于已自戊至已作一戊已线又照戊已线度自甲截甲丙线于庚自戊至庚作一戊庚线又照戊庚线度自甲截甲丙线于辛自戊至辛作一戊辛线又照戊辛线度自甲截甲丙线于壬自戊至壬作一戊壬线照此累累截之至丙末又将甲丙线所截各度移置甲乙线即成比例尺之分面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作卯丁辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二线因为相等度所作故卯丁辰戊二形必等再于戊甲丁直角相对之戊丁界所作之戊巳一方形亦必与直角两旁界所作卯丁辰戊二方形相等也【见九卷第四节】次于甲已界作未巳正方形甲己界原与戊丁等则甲已界所作未已方形即与戊丁界所作之戊巳方形相等矣未巳方形既与戊巳方形等则必与卯丁辰戊二形相等而亦与卯丁之倍数相等矣夫甲巳界即大于卯丁形一倍为未巳形之一界也仿此论之则甲庚界即为比卯丁形大二倍形之界而甲辛甲壬等界即为比卯丁形大三倍四倍形之界可知矣以用法明之如有一癸子正方形欲作大二倍之正方形则将比例尺展开使其丁丑相距之度与癸子界度等次取比例尺寅庚相距之度即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也何则自丁至丑自庚至寅作丁丑庚寅二线成甲丁丑甲庚寅同式两三角形则甲丁线与甲庚线之比即同于丁丑线与庚寅线之比也夫甲庚线所作方形原比甲丁线所作方形大二倍则庚寅线所作方形必比丁丑线所作方形亦大二倍矣丁丑之度原与子癸等则寅庚线岂非比子癸方形大二倍方形之一界乎

第二十二

作比例尺分体线法如于比例尺欲作分体线则以甲枢心之甲乙甲丙二线任作丁已一正方体取其戊己一界之度置于尺上自甲截甲乙线于庚次作比戊已界大一倍之辛壬线又于戊巳辛壬二线间照本卷第十节法作相连比例之癸子丑寅二率乃取癸子线度置于尺上仍自甲截甲乙线于辰则甲辰所作卯子正方体必比甲庚所作丁已正方体大一倍矣何则试将癸子线作卯子正方体则与丁己正方体为同式其二体相比之比例必同于戊已癸子二界所生连比例加二倍之比例今辛壬线既为戊巳相连比例之第四率则丁已卯子二体之比例必同于戊已辛壬二线之比例矣辛壬线既比戊己线大一倍则卯子体亦比丁已体大一倍可知矣又作比戊已界大二倍之己未线仍照本卷第十节法作戊已巳未二线间相连比例之申酉戌亥二率乃取申酉线度置于尺上自甲截甲乙线于干则甲干所作午酉正方体即比甲庚所作丁巳体大二倍矣照此屡倍戊己界求相连比例之四线取其第二线度置于尺之甲乙线上又按甲乙线所截各度移置甲丙线即成比例尺之分体线也以用法明之如有一坎庚正方体欲作大二倍之体则将比例尺展开使其庚与庚【第一次所截之防】相距之度与艮庚界度等次取比例尺干与干【第三次所截之防】相距之度即是比坎庚正方体大二倍之正方体之一界度也何则自比例尺之庚干二处作庚庚干干二线即成甲庚庚甲干干同式两三角形则甲庚线与甲干线之比同于庚庚线与干干线之比例矣夫甲干线所作方体原大于甲庚线所作正方体之二倍则干干线所作正方体必大于庚庚线所作正方体之二倍可知矣又防法设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之成二百万厘立方开之得界一百二十五厘又以三因之成三百万厘立方开之得界一百四十四厘照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线与前求连比例之法无异也

御制数理精蕴上编卷四

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴上编卷五

算法原本一

算法原本二

算法原本一

第一

一者数之原也众一相合而数繁焉不能无大小多寡之不齐而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其准若夫累积小数与大数等者此小数即度尽大数之准也【如大数有八小数有二四倍其二与八必等则二即为度尽八之准】苟累积小数不能与大数等者此小数即非度尽大数之准也【如大数有八小数有三二倍其三为六小于八矣二倍其三为九又大于八矣若此者即为非度尽大数之准】要之小数为大数之平分者即能度尽大数而小数非大数之平分者即不能度尽大数是故以小度大以寡御多求其恰符而毫无舛者惟在得其平分之法而已

第二

数之目虽广总不出奇偶二端何谓偶两整平分数是也何谓奇不能两整平分数是也如二四六八十之类平分之俱为整数斯谓之偶数矣若三五七九十一之类平分之俱不能为整数斯谓之奇数矣又如小偶数分大偶数得偶分则谓之偶分之偶数【如小偶数四分大偶数三十二得八平分是为偶分其三十二即为偶分之偶数】小偶数分大偶数得奇分则谓之奇分之偶数【如小偶数六分大偶数三十得五平分是为奇分其三十即为奇分之偶数】又如小奇数分大奇数得奇分则谓之奇分之奇数矣【如小奇数五分大奇数十五得三平分是为奇分其十五即为奇分之奇数】

第三

乘者两数相因而成也葢有两数视此一数有几何彼一数有几何将此一数照彼一数加几倍则两数积而复成一数故谓之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏层累而得乘则一因即得此立法之精而理则实相通也如有六与十两数以十为主而加六次得六十以六为主而加十次亦得六十今以十为主而以六乘之或以六为主而以十乘之皆得六十其数无异而比加捷矣

第四

凡两数相乘为平方数如四与六相乘得二十四是也试将四六两数作防排之纵立四防为甲乙横列六防为甲丁将此六防累四次即成甲乙丙丁平方数矣又若相等两数相乘得数则为正方数如五与五乘得二十五是也苟将五数纵横各列五防或依纵数或依横数累五次即成戊已庚辛正方数矣第五

凡数之相乘可用线以表之然线虽无广分如依一线之长分广为小方面看此线所有方面若干将彼线所有方面加作几倍或看彼线所有方面若干将此线所有方面加作几倍则二线相积而成面矣设如有甲乙二线甲线之分为三乙线之分为四将此二线相乘则依甲线三分之一分作广分为甲丙依乙线四分之一分作广分为乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之数将乙丁加为三倍或依乙丁所有之数将甲丙加为四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面为线之积以一线为横一线为纵纵横相因而成故测面者必于线知线即可以知面也

第六

凡二线彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也设有甲乙二线甲线为三分今将甲线依三分之一分作广分为三小方形并无余积而乙线照甲线分则为四分有零亦将乙线依甲线一分作广分则为四小方形而余戊一小形以所作甲丙为横乙丁为纵则成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附于十二方形乃为二线相乘之总积也又如此类一线有零分者其余分在一边若二线俱有零分者则其余分亦在二边矣

第七

凡三数递乘为立方数如二与三相乘得六又以四乘之得二十四是也试将二三四之三数作防排之纵列二防为甲丁横列三防为甲乙将此三防累二次成丁乙平方数又直立四防为丙丁依丙丁数将丁乙平方数累四次即成丙乙立方数矣又若相等三数递乘得数则为正立方数如三与三乘得九再以三乘得二十七是也试将三数纵横各排三防平列三次成庚已平方数又直立三防将庚己平方数累三次即成戊已正立方数矣

第八

凡数之递乘为体可用面以表之葢面虽无厚分如依一面之积分广爲小方体看面所有积分得线之长分若干将面所有小方体加作几倍则线面因之而成体矣设如有甲乙面之分为四丙丁线之分为三将此面线相乘则依甲乙面四分之一作厚分为四小方体乃依丙丁线分数将甲乙加为三倍即成函十二小方体之丙乙直角立方体矣葢体为面之积而面为线之积故线可以测面并可以测体也

第九

除者两数相较而分也葢视大数内有小数之几倍将大数照小数减几次则大数分而复为一小数故谓之相较而分然不用减而用除者何也葢减必递消其分除则一归而即得除之与减即犹乘之与加正相对待者也如有大数十二小数四若用十二以四减之三次而尽即知十二为四之三倍若用除法则三倍其四与十二较其数适等即知十二为四之三倍矣此除之与减理相通而用较捷也

第十

凡两数相乗之平方数以一数除之必得其又一数也设如甲乙五乙丙六两数相乘之甲乙丙丁平方数三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作防排之五防为横则纵排六次六防为横则纵排五次皆成方数故两数不等平方面知其一数或知两数相差之较始能得其两边线也又若正方数则其纵横皆同如戊己庚辛之正方数二十五其纵横皆五是巳故凡正方面有积数即可得其每边者葢因其纵横两边皆等故也

第十一

凡以线乘线即成面而以线除面亦复得线故数之乘者可用线以表之而除者亦可用线以表之也设如有甲乙丙丁一方面积一十二以甲乙线四分除之得乙丙线之三分或以乙丙线三分除之亦得甲乙线之四分试将甲乙乙丙二线作广分则甲乙线成四小方形乙丙线成三小方形若依甲乙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙线依乙丙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙线葢除之与乘犹分合之相对以线合者仍以线而分返本还原之义有不爽矣

第十二

凡有零分不均二线相乘之方面以整分线除之必得零分线以零分线除之必得整分线也设如甲线三分乙线四分有零相乘成丁甲面若以甲线三分除之即得乙线四分有零或以乙线四分有零除之亦得甲线三分试将甲线作广分成三小方形为甲丙乙线作广分则成四小方形为乙丁余戊一小形若依甲丙线所有数以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁线或依乙丁线所有数以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙线矣此为二线一整一零相乘之总积故以整线除之得零以零线除之得整若二线俱有零分者彼此除之必俱得零分也

第十三

凡三数递乘之立方数以两数递除之始得其又一数也设如甲乙四乙丙二丙丁三递乘得甲丁立方数二十四若以甲乙四除之得乙丁平方数六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作防排之二防为纵横排三次直累四次即成方体故三数不等立方体知其两数或知其三数相差之较始能得各边也又若正立方体其纵横厚度皆为一数即以一数递除二次则其原数自得如戊己正立方数二十七其纵横厚皆三是巳故凡正立方体有积数即可得其每边者正为其纵横厚度皆等故也

第十四

凡以线除体即得面而以面除体亦复得线故线可以除面而面亦可以除体也设如有丙乙体积一十二以丙丁线三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁线之三分试将甲乙面作厚分则成四小方体若依丙丁线所有数以分丙乙体即每分得四小方体如甲乙面依甲乙面所有数以分丙乙体即每分得三分如丙丁线葢体本以线面相乗而得故可以线面相除也

第十五

凡大数用小数可以度尽者此大数必为此小数之所积也然所谓小数可以度尽大数者复有几种有大数惟一数可以度尽者如四九二十五四十九之类惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大数用两数三数俱可以度尽者如八与十二之两数用二用四俱可以度尽八用二用三用四俱可以度尽十二是也有两大数或三大数用一小数俱可以度尽者如十二十六之两数或一十十五二十之三数用四可以度尽十二十六之两数用五可以度尽一十十五二十之三数是也又有一小数可以度尽几大数将此几大数相加为一总数此小数亦可以度尽此总数如四可以度尽十二十六两数若将十二十六相加为二十八则此四亦可以度尽此二十八也又或一小数可以度尽几大数将此大数不拘几分分之此小数可以度尽一分亦必可以度尽其余几分也如三可以度尽十五将十五分为六九两数此三可以度尽六亦必可以度尽九也又如六与九两数用三俱可以度尽若将六与九相乘得五十四此小数三仍可以度尽此五十四也凡此类者皆为彼此有度尽之数也

第十六

凡大数用小数不可以度尽者此大数必非此小数之所积也然用一以度之无不可以度尽者葢一为数之根诸数皆自一而积之故也所谓度不尽者亦复有几种有大数无小数可以度尽者如五七十一十三之类任用二用三用四俱不能度尽也有两大数或三大数用小数彼此不可以度尽者如十五与八之两数用二用四可以度尽八而不能度尽十五用三用五可以度尽十五而不能度尽八又如四六九之三数用二可以度尽四六而不能度尽九用三可以度尽六九而不能度尽四也又有彼此不能度尽之数或将一数自乘或将两数俱自乘彼此仍俱不可以度尽也如五与六之两数彼此不能度尽亦无一小数可以度尽此两数即将五自乘为二十五或将六自乘为三十六则六仍不能度尽二十五而五仍不能度尽三十六即二十五亦不能度尽三十六也又如三七两数与二五两数俱为彼此不能度尽之数或将三与七相乘得二十一将二与五相乘得一十此一十与二十一之两数仍为彼此不能度尽之数也凡此类者皆为彼此无度尽之数也

第十七

凡两数互转相减未至于一而即可以减尽者此减尽之最小数即可以度尽此两数也设如有甲乙十六丙丁六之两数将丙丁六与甲乙十六减二次余戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减余己丁二又将此已丁二转与戊乙四相减二次即无余则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二与十六等三倍其二与六等也又如十六与十二与八此三数亦为彼此有度尽之数何也葢十六与十二相减余四以四转与十二相减三次而尽则四可以度尽十六与十二矣又二倍其四即与八等则四又可以度尽八然则十六十二与八之三数为彼此有度尽之数可知矣

第十八

凡两数互转相减至于一始可以减尽者一之外别无他小数可以度尽此两数也设如有甲乙十二丙丁七之两数将丙丁七与甲乙十二相减余戊乙五将此戊乙五转与丙丁七相减余已丁二将此已丁二又转与戊乙五相减余庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减余辛乙一既至于一始可以度尽甲乙丙丁两数而一之外如二三四虽可以度尽十二而不能度尽七也又如九与十三及二十之三数亦为彼此无度尽之数何也葢将九与十三互转相减必至于一即用十三与二十转减或用九与二十转减亦皆至于一则除此一之外皆无可以彼此度尽此三数之小数矣

第十九

凡有大数约为相当比例之最小数以从简易则为约分法也然数有可约不可约之分可约者度尽之数不可约者度不尽之数也设如有九与十二之两数欲约为相当比例之最小数乃用求小数度尽大数法以九与十二互转相减得减尽之数为三则三为度尽九与十二之数矣以三除九得三以三除十二得四此三四两数即为九与十二相当比例之最小数也又如有六四八之三数欲约为相当比例之最小数乃以六与四互转相减得减尽之数为二又以二与八相减四次而尽则二为度尽六四八之小数矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三数即六四八相当比例之最小数也此皆数之可约者也若夫数之不可约者互转相减必至于一而不可以度尽也如有五七两数以五减七余二复以二减五二次余一既余一则自一之外必无可以度尽之数而不可约矣

第二十

凡有大分以分母乘之通为小分则为通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘则积少成多其得数溢于原数之外通则变大为小其得数仍函于原数之中也如有大分十二其分母为四欲得其小分则以分母四乘大分十二得小分四十八是已试作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分为四小方则十二方形共分为四十八小方形矣其数虽比原大数加四倍然其每分之分只得原数之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未尝溢出原数之外也又如有大分九其分母为九欲得其小分则以分母九乘大分九得小分八十一是已试作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分为九小方则九方形共分为八十一小方形矣其数虽比原大数加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分只得原数之九分之一也由此推之其每分之母或为八或为十二或为数十亦皆仿此通之其所通之数虽至千万而要皆未有溢于所通原分之外者矣

第二十一

凡有几小数欲求俱可以度尽之大数则以此几小数连乘之得数始为此几小数度尽之一大数也设如有四五两小数欲求用四用五俱可以度尽之一数则以四与五相乘得二十即为四五两数俱可度尽之一大数矣又如有三四五之三小数欲求用三用四用五俱可以度尽之一数则以三与四相乘得十二又以五乘十二得六十即为三四五俱可度尽之一大数矣葢小数为大数之根始能度尽大数如四五可以度尽二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度尽六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二