御制数理精蕴

为分子命为一十三两又三分两之一

解曰三分两之一即三钱三分三三不尽

二则

约分

设以九十八为法除实不尽者四十二求约若干法曰以子四十二减母九十八【余五十六】再减之余一十四复以母十四减子四十二【余二十八】再减之亦余一十四谓之子母相同即以十四为法除母九十八得七除子四十二得三即命为七分之三

解曰母数九十八是七个十四子数四十二是三个十四九十八之与四十二若七之与三也故命为七分之三遇不可约之数直以本数命之如母九十七子四十二此数之不可约者也直命为九十七之四十二

三则

乘分

设一十八人分银毎人分得三百七十六两又九分两之六求共银法曰置三百七十六两为实以母九因之【得三千三百八十四两】加入子六【共三千三百九十两】以人数乘之【得六万一千零二十两】再以母九归之得六千七百八十两即所求

解曰不以母因实则不能加入子数故因实以就子也

四则

课分

设有布二疋又九分疋之五用过一疋又六分疋之一求余布法曰置用过布一疋以母六因之【仍得六】加入子一【共七】又以原布母九因之【得六十三】另置原布二疋以母九因之【得一十八】加入子五【共二十三】又以用过布母六因之【得一百三十八】两数相减【余七十五】为实以两母【谓九与六】相乘【得五十四】为法除之得一疋零二十一以约分法约之得十八之七即命为余布一疋又十八分疋之七解曰两数各带子母不得不两因之两因之不得不两归之法以两母相乘除实者与两归得数同也五则

通分

设粟四十五石毎七分石之五值银八分两之六求共银法曰置粟为实以粟母七乘银子六【得四十二】为法乘实【得一千八百九十】另以银母八乘粟子五【得四十】为法除之得四十七两二钱五分即所求

解曰原当置粟为实以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以银子六乘之银母八除之即得银数然既以粟母七乘之又以银子六乘之不如以粟母七乘银子六以乘之也既以粟子五除之又以银母八除之不如以银母八乘粟子五以除之也

数学钥巻三附

<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>

钦定四库全书

数学钥巻四凡例

柘城杜知耕撰

凡例

一则

形为体之界在上之界曰靣在下之界曰底底与面有长广而无厚薄故底面之积曰平积

二则

体之纵者曰长衡者曰广立者曰髙

三则

底面长广及髙皆等者曰立方如第一图底面皆方而

髙不与长

广等者曰

方体如第

二图长广

及髙皆不

等而角方

者曰直体

亦曰直方体如第三图底或方或直而傍为勾股形曰堑堵如第四图底或方或直而傍为三角形曰刍荛如第五图底或方或圆或多边而上鋭至尽者曰锥体如第六图凡底面相等者即取底之形为体之名设底六边即为六边体如第七图浑然无界无棱者曰浑体浑圆如第八图浑撱圆如第九图面长杀于底长而无广者曰鋭脊如第十图面之长广各杀于底者曰鋭面如第十一图上下皆有长无广者曰鼈臑如第十二图

四则

锥及鋭面等体自傍科量之度非正髙五边七边等底中长折半之防非正心

五则

线之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分体之度尺容千寸寸容千分

六则

相似两形之比例为线与线再加之比例再加者谓两线各自乘以为比例也相似两体之比例为线与线三加之比例三加者谓两线各自乘再乘以为比例也两形有一度等者同两线之比例两体有一度等者同两形之比例两体有两度等者亦同两线之比例

七则

堆止一层曰平堆二层以上曰髙堆

数学钥巻四凡例

钦定四库全书

数学钥卷四目録

柘城杜知耕撰

少广

一则立方求积

二则直体求积

三则堑堵求积

四则刍荛求积

五则三角体求积

六则六边体求积【八边十二边附】

【増】七则五边体求积【九边附】

八则圆体求积

【増】九则撱圆体求积

【増】十则弧矢体求积

十一则锥体求积

十二则诸杂线体求积

【西法】十三则浑圆求积【二法】

【增】十四则浑撱圆求积

十五则鋭脊体求积

【増】十六则鼈臑求积

【増】十七则等广鋭面体求积

十八则鋭面方体求积

十九则鋭面直体求积【二法　后法増】

二十则鋭面圆体求积

【増】二十一则鋭面撱图体求积

【西法】二十二则诸鋭面体求积

二十三则求锥体之正髙

二十四则立方以积求边一法【即开立方法】二十五则立方以积求边二法

【増】二十六则方体以积求边一法【即带纵开立方法増】二十七则方体以积求边二法

二十八则直体以积求边一法

【増】二十九则直体以积求边二法

三十则浑圆以积求径

【増】三十一则浑撱圆以积求径

三十二则三乗还原【即开三乗方法　五乗七乗附】三十三则委粟求积

三十四则倚壁委粟求积

三十五则倚外角委粟求积

三十六则倚内角委粟求积

三十七则方平堆以周求积

三十八则方平堆以积求周

三十九则三角平堆以濶求积

四十则三角平堆以积求濶

四十一则梯形平堆以濶求积

四十二则六边平堆以边求积

四十三则六边平堆以积求边【求周附】

四十四则堑堵髙堆求积

四十五则方底髙堆求积

四十六则三角髙堆求积

四十七则直底髙堆求积

四十八则直底鋭面堆求积

四十九则三角鋭面堆求积

数学钥巻四目録

钦定四库全书

数学钥巻四

柘城杜知耕撰

少广

一则

立方求积

设立方方三尺求积法曰置三尺自乘【得九尺】再以三尺乘之得二十七尺即所求

解曰算体之法先求底积【即方圆等形求积详一二巻】以髙为底

积倍数如图长广各三尺相乘得九尺

为底积若髙二尺则二倍底积之数得

一十八尺髙三尺则三倍底积之数得

二十七尺

二则

直体求积

设直体长七尺广五尺髙一十二尺

求积法曰以广乘长【得三十五尺】以髙乘

之得四百二十尺即所求

解同前

三则

堑堵求积

设堑堵长一十二尺广五尺髙七尺求积法曰以广

乘长【得六十尺】以髙

乘之【得四百二十尺】折

半得二百一十

尺即所求

解曰甲乙丙丁直体与堑堵髙广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积

四则

刍荛求积

设刍荛长一十二尺广五尺髙七尺求积法同堑堵

解曰甲乙丙戊

刍荛依丙丁线

丙戊脊分之必

成二堑堵各为

相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也

五则

三角体求积

设三角体广六尺

中长五尺高一十

二尺求积法曰置

长广相乘【得三十尺】以

髙乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺即所求

解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同

六则

六边体求积【八边及十二边附】

设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分

有竒髙四十尺

求积法曰置广

三因之【得六十尺】以

长折半【得一十七尺三】

【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半【一巻五则】不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之【底之半长即三角之中长】即得六三角积【即全底积】犹平圆半径乘半周之义也【二巻三则】若无底长之度则取边广为【全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为即以丙乙为也】半广为勾【丁乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半【六巻二则】○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为【丙乙】各自乘

相减平方开之

得股【丙丁】即底长

之半按七六五

三六乃四十五

度弧之通四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线【丙乙】也【见大测及八线表】

七则

五边体求积

设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分

六厘六毫强高

四十尺求积法

曰置边广以边

数五因之【得一百尺】

折半【得五十尺】为实另置边广折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中长除之【得三尺二寸四分九厘一毫强】与中长相减【余二十七尺五寸二分七厘四毫强】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫强】为法乘实【得六百八十八尺一寸八分八厘】为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求

解曰五边底依各角分之成三

角形五欲求底积必先得三角

积欲求三角积必先得三角之

中长【丙丁】然上则六边边为偶数

角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长【己丁】小半为此三角之中线【丙丁】大半为彼三角之腰线【己丙】折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙【于己丁底长减去己丙余即丁丙】欲得己丙必先求外切圆形之己戊径【己戊折半即己丙】欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊【底长加丁戊即己戊】欲求丁戊则用弧矢以及余径求矢法【二巻二十二则】今边广甲戊乙弧矢形之甲乙也边广折半自乘丁乙半上方形也底长己丁余径也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所余者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾【丁乙】另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长【六巻二则】

一　一七五五八乃七十二度弧

之通七十二度为三百六十

度五之一故以之除五边之一

即得外切圆形之半径【丙乙】为三

角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为【丙乙】自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也

八则

圆体求积

设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘【得九

百尺】再以高乘之

【得三万六千尺】用圆法

十一乘十四除

【二巻四则】得二万八

千二百八十五尺七寸有竒即所求

解曰以径自乘再以髙乘之方体积也方体与圆体等髙则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也

九则

撱圆体求积

设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺髙四十尺求积法曰置两径相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二万三千零四十尺】用圆法十一乘十四除得一万八千一百零

二尺八寸有竒

即所求

解同前则及二

巻十六则

十则

弧矢体求积

设弧矢体矢濶八尺六寸六分零二毫长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零

九壹强】为余径余

径加矢折半【得一

十七尺三寸二分零五毫五丝】为法乘背【得六百二】

【十八尺五寸六分九厘】另以余径减矢折半【得八尺六寸六分零四毫弱】为法乘【得二百五十九尺八寸一分二厘】两数相减【余三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求【二卷十七则】

十一则

锥体求积

设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自

乘【得四百尺】为底积

再以高乘之【得一

万六千尺】以锥法三

归之得五千三

百三十三尺三寸三分有奇即所求

解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试

作立方如甲乙

自心至各棱分

之必成锥体六

俱以方靣为底

方边之半为高

更作一方体与

锥体同底等高

如丙丁丙丁方

体既与锥体同

底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一

十二则

诸杂线体求积

凡体先求底积底属直线依一巻九则例属曲线及杂线依二巻四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积

十三则

浑圆求积

设浑圆径十尺求积法曰置径自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】为靣积再以半径乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三归之得五百二十三

尺八寸一分即所求

解曰置径自乘再以十一乘十

十四除者浑圆中丙子乙丑平

圆积也以四因之者浑圆面积

当平圆积四也何也浑圆面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度【甲戊线】为半径作平圆【如辛癸平圆辛壬与甲戊等】其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚

与甲庚等乙庚甲庚

两线偕甲乙线则成

一勾股形甲乙为

乙庚甲庚一为勾一

为股也以为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形【二巻四则】故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之

锥体以高乘底以三归之者

锥体求积之法也【本巻十一则】○

又尝借西洋割圆八线表考

之如前径十尺之浑圆自顶

中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求积法【一巻七则】并两数折半得四尺九寸二分四厘零五丝再求二十八度通得四尺六寸九分四厘七毫与二十九度通并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝用圆径求周法【二巻一则】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【为球分面上三十段梯形两濶折半之数】为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七厘三毫有竒【取浑圆全周以三十六归之即得】为

梯长乘实得割　　　　　　　　　　　【即】球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数

合又法置径自乘再以径乘【得一千尺】之以十一乘二十一除得数

同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之

容必等于以平圆为底以浑圆

半径为【浑圆半径即固体高度之半也】高之锥

体【本巻十一则】六浑圆之面既四倍

于中心平圆而浑圆求积之法

又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则

浑撱圆求积

设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小

径自乘【得四百尺】再

以大径乘之【得一

万六千尺】以十一乘

二十一除得八

千三百八十尺零九寸五分即所求

解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积

十五则

鋭脊体求积

设鋭脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长【得三十八尺】以广乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六归之得三百八十尺即

所求

解曰依甲丙乙丁两线

分之成刍荛一斜锥二

【斜锥与正锥同论】刍荛以高乘

底积之半得积【本巻四则】锥以高乘底积三之一得积【本巻十一则】夫刍荛之底长即鋭脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即鋭脊之脊长与底长之较也【即戊庚己辛两线并之度】若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也

十六则

鼈臑求积

设鼈臑上长二

尺下长四尺高

九尺求积法曰

置两长相乘【得八】

【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六归之得一十二尺即所求

解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一【本巻四则】依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鼈臑锥体原为等高同底方体三之一【本巻十一则】必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所余三之一则两鼈臑也两鼈臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鼈臑等高倍底者也两鼈臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也

十七则

等广鋭面体求积

设等广鋭靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广

五尺高一十二

尺求积法曰并

两长折半【得八尺】以广乘之【得四十尺】

再以高乘之得四百八十尺即所求

解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积【本巻二则】堑堵以高乘半底得积【本巻三则】今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘防靣相并折半之数得全积十八则

鋭靣方体求积

设鋭靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积

法曰置上方自

乘【得三十六尺】下方

自乘【得六十四尺】上

下两方相乘【得四】

【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之得五百九十二尺即所求

解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积【本巻二则】堑堵以高乘底二之一得积【本巻三则】方锥以高乘底三之一得积【本巻十一则】若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积【余同本巻十五则】

十九则

鋭靣直体求积

设鋭靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高

一十二尺求积

法曰倍上长加

下长【共二十二尺】以

上广乘之【得一百一】

【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之得六百三十六尺即所求