御制数理精蕴

得六百三十六尺即所求

解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按鋭靣直体亦有可用三归

者如后图面长五尺广三尺底

长七尺广四尺二寸高一十二

尺用前法得积二百六十一尺

六寸今以面广乘靣长得一十

五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃鋭脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成鋭脊终不成锥体是以谓之鋭脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也鋭靣直体有此二等不可不知也

二十则

鋭靣圆体求积

设鋭靣圆体靣径六尺底径八

尺高一十二尺求积法曰置靣

径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四

尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】

【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求

解曰此与鋭靣方体法同元当用三归得鋭靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也

二十一则

鋭面撱圆体求积

设鋭面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺

小径六尺高一十二尺求积法

曰倍靣大径加底大径以靣小

径乘之【得三十二尺】另倍底大径加

靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】

两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求

解曰此与鋭靣直体法同元当用六归得鋭靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则

诸鋭靣体求积

设鋭靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同】底每边广二尺

中长三尺四寸

六分四厘高四

尺求积法曰置

高以底长折半

乘之【得六尺九寸二分八厘】以两长相减折半【得八寸六分六厘】除之得八尺为锥高另三因底边二尺【得六尺】以底长之半乘之【得十尺零三寸九分二厘】以锥高八尺乘之三归之【得二十七尺七寸一分强】为锥积另三因靣边一尺【得三尺】以靣长之半乘之【得二尺五寸九分八厘】以原高减锥高余四尺乘之三归之【得三尺四寸六分四厘】为虚积以虚积减锥积余二十四尺二寸四分八厘即所求

解曰凡鋭靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之余即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例【己戊即甲丁】因甲乙以求甲丙也凡鋭靣体俱同此法

二十三则

求锥体之正高

设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘【得一百六十九尺】另以底方折半自乘【得二十五尺】两数相

减【余一百四十四尺】平方开之得一十

二尺即所求

解曰此勾求股法也【六巻二则】凡

求诸锥体之积须得诸锥正高

自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇竒边则求底中心至边之度为勾【本巻七则】

二十四则

立方以积求边一法【即开立方】

设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘【得一千尺】除实【余二千三百七十五尺】三因下法十尺【得三十尺】为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次【共一十五尺】以次商五尺徧乘之【得七十五尺】为廉法再以方法乘廉法【得二千二百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求

解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十

尺得五十尺即

方廉甲乙丙丁

一侧面之平积

也【丁乙五尺丁丙十尺相乘

得五十尺】以初商乘

之必得一方廉

之积【每一方廉积五百尺】若以方法三十

尺乘之则得三

方廉之积【三方廉皆等】又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也【戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺】以初商乘之必得一长亷之积【每一长廉积二百五十尺】若以方法三十尺乘之则得三长廉之积【三长廉皆等】今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长亷之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣

二十五则

立方以积求边二法

设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘【得一百万尺】除实【余二百六十五万二千二百六十四尺】三因下法一百尺【得三百尺】为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次【共一百五十尺】次商五十尺徧乘之【得七千五百尺】为廉法以方法乘廉法【得二百二十五万尺】除实【余四十万零二千二百六十四尺】又以次商自乘再乘【得一十二万五千尺】为隅法除实【余二十七万七千二百六十四尺】复三因下法一百五十尺【得四百五十尺】为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次【共一百五十四尺】以三商四尺徧乘之【得六百一十六尺】又为廉法以方法乘廉法【得二十七万七千二百尺】除实【余六十四尺】又以三商四尺自乘再乘【得六十四尺】为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求

解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之仿此

二十六则

方体以积求边一法【即带纵开立方】

设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺余八尺乘之【得　百尺】除实【余二千一百二十五尺】倍八尺加初商十尺【共二十六尺】为方廉法又倍初商十尺加八尺【共二十八尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得二百六十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百四十尺】两数并【共四百尺】以次商五尺乘之【得二千尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺余一十三尺即高度

解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之

长皆十尺也倍

十尺加八尺为

长廉法者以长

廉长八尺者一

长十尺者二也

又以次商五尺

乘之者三长廉

之广皆五尺也

又并六廉以五

尺乘之者六廉之厚皆五尺也余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍余积三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺减初次两商十五尺余十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实余一寸二分五厘陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘陞二位何也葢体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆陞二位二十七则

方体以积求边二法

设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之【得一千四百尺】除实【余二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】为方廉法倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百七十尺】两数并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前

二十八则

直体以积求边一法

设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置广朒于长十尺自乘【得一百尺】两数并平方开之【得五十尺】减广朒于长十尺【余四十尺】折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长

解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也

二十九则

直体以积求边二法

设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺余六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之【得八百四十尺】除实【余二千二百九十五尺】列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘长廉法【得一百五十尺】两数并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】　为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺余一十一尺即广

解曰初商十尺为大方之长减四尺余六尺为广増

四尺共一十四尺为高故两乘

得大方积大方三面之平积即

三方廉之底积也而大方之三

面各不等以广六尺乘长十尺

得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长

廉法也余同前解

三十则

浑圆以积求径

设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有竒求圆径法曰置积二十一乘十一除【得三千三百七十五尺】立方开之得一十五尺即所求

解曰十一与二十一浑圆立方之比例也【本巻十三则】二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也

三十一则

浑撱圆以积求径

设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有竒大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除【得四千二百七十五尺】以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径

解曰浑防圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也

三十二则

三乘还原【即开三乘方】

设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之【得二十五尺】再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方

三十三则

委粟求积

设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求

解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与

八十八【二巻五则】凡两体等高者体与

体之比例若底与底圆体与周上

等高方体之比例必亦若七与八

十八今圆锥居圆体三之一以三

乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣

二十四则

倚壁委粟求积

设倚壁委粟周四十

四尺高八尺八寸求

积法曰置周自乘【得一

千九百三十六尺】以高乘之

【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求

解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也

三十五则

倚外角委粟求积

设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰

置周自乘【得四千三百五十六

尺】以高乘之【得三万八千三

百三十二尺八寸】再七乘一

百九十八除得一千

三百五十五尺二寸即所求

解曰此圆锥四之三也与全周上方体【与圆锥等高下同】之

钦定四库全书

数学钥巻五凡例

柘城杜知耕撰

凡例

一则

以此防分之防为彼几分之几之倍数即以彼防分之防为此防分之防之倍数两数必相等设甲数十二乙为甲四分之三数九丙为甲三分之二数八以丙乗乙得七十二以乙乗丙亦得七十二更设丁数四十八戊为丁四分之三数三十六己为丁三分之二数三十二以己乗乙得二百八十八以戊乗丙亦得二百八十八故曰两数必相等

二则

设乙四倍之多于甲数为三七倍之多于甲数为十五以倍数四互乗十五得六十为二十八倍乙多于四倍甲之数以倍数七互乗三得二十一为二十八倍乙多于七倍甲之数两数对减所余必七倍甲多于四倍甲之数七倍甲多于四倍甲之数则三甲之数也

三则

同名相减犹异名相加故异名相加者必同名相减同名相加犹异名相减故异名相减者必同名相加四则

正与正负与负为同名正与负为异名

五则

有一数为法中之闗键而乗除加减反不用者曰暗用数

数学钥巻五凡例

钦定四库全书

数学钥巻五上之上目録

柘城杜知耕撰

商功

一则修筑计积

二则以积计工

三则以工计日一法

四则以工计日二法

五则坚土壤土之较

六则迟疾求齐一法

七则迟疾求齐二法

八则迟疾求齐三法

巻五上之下

均输

一则田地之多寡

二则方物之贵贱

三则道里之逺近一法

四则道里之逺近二法

五则任载之重轻一法

六则任载之重轻二法

七则合均田地多寡方物贵贱道里逺近

卷五下之上

盈朒

一则盈适足

二则朒适足

三则两盈

四则两朒

五则一盈一朒

六则带分子母盈适足【朒适足同】

七则带分子母两盈【两朒同】

八则带分子母一盈一朒【二法】

卷五下之下

方程

一则二色方程

二则三色方程一法

三则三色方程二法

四则正负同异加减一法

五则正负同异加减二法

六则正负同异加减三法

七则正负同异加减四法

八则正负同异加减五法

九则四色方程

数学钥巻五目録

钦定四库全书

数学钥卷五上之上

柘城杜知耕撰

商功

一则

修筑计积

设修堤七千二百尺上濶八尺下濶三十尺髙四十尺求积法曰并两濶折半【得一十九尺】为实以髙乗之【得七百六十尺】再以长【七千二百尺】乗之得五百四十七万二千尺即所求

解曰此等广锐靣体求积法也【详四巻十七则】

二则

以积计工

设筑堤一座积五百四十七万二千尺每夫日筑八尺求用夫数法曰置积为实以八尺除之得六十八万四千名即所求

解曰此求一日筑完

三则

以工计日一法

设修堤同前欲一年筑完求用夫数法曰置积为实以每夫日筑八尺乗三百六十日【得二千八百八十尺】为法除之得一千九百名即所求

解曰二千八百八十尺乃一夫一年所筑者故以之除实得夫数

四则

以工计日二法

设原议用夫一千九百名一年筑完今欲速成增夫九百五十名求用日数法曰以一千九百名乗三百六十日【得六十八万四千日】为实并原夫增夫【共二千八百五十名】为法除之得二百四十日即所求

解曰六十八万四千日乃一夫筑完所用之日数故并原夫增夫除之得二千八百五十名所用之日数五则

坚土壤土之较

设凿池土筑堤堤积五百四十七万二千尺池长七千五百尺濶三十五尺求池深法曰置堤积四因三归【得七百二十九万六千尺】为实以池濶乗长【得二十六万二千五百尺】为法除之得二十七尺七寸九分四厘有竒即所求解曰凡阙地四尺为壤五尺筑坚三尺故于堤积四因三归为池积以濶乗长池靣平积也以平积除池积所得非池深而何

六则

迟疾求齐一法

设甲日筑九尺乙日筑六尺乙先筑十日方令甲筑求防日工齐法曰以乙日筑六尺乗先筑十日【得六十尺】为实以甲日筑九尺乙日筑六尺相减【余三尺】为法除之得二十日即所求

解曰乙先筑十日必多甲六十尺甲日筑多乙三尺二十日必亦多六十尺故同筑二十日而齐

七则

迟疾求齐二法

设一台甲约五日筑完乙约七日筑完丙约九日筑完令甲乙丙同筑求防日完法曰以七乗五【得三十五日】再以九乗之【得三百一十五日】为实另以七乗五【得三十五】以五

乗九【得四十五】以九乗七【得六十三】三

数并【共一百四十三】为法除之得二

日又一百四十三分日之二

十九即所求

解曰以乙乗甲又以丙乗之

者求三率之齐数也【三百一十五日是六十三个五日四十五个七日三十五个九日也】甲五日筑一台则三百一十五日必能筑六十三台乙七日筑一台则三百一十五日必能筑四十五台丙九日筑一台则三百一十五日必能筑三十五台是三人三百一十五日共筑一百四十三台也故以一百四十三台除三百一十五日得三人共筑一台之日数

八则

迟疾求齐三法

设一夫一日阙土可成五十尺一日运土可成三十尺一日筑土可成二十尺令一夫自阙自运自筑求日成防何法曰以二十尺乗三十尺【得六百尺】再以五十尺乗之【得三万只】为实另以二十尺乗三十尺【得六百日】五十

尺乗二十尺【得一千日】三十尺乗

五十尺【得一千五百日】三数并【共三千一

百日】为法除之得九尺又三十

一分尺之二十一即所求

解曰以二十尺乗三十尺再

以五十尺乗之亦取三率之齐数也【三万尺是一千五百个二十尺一千个三十尺六百个五十尺也】一日阙土成五十尺必六百日成三万尺一日运土成三十尺必一千日成三万尺一日筑土成二十尺必一千五百日成三万尺是一夫六百日阙土一千日运土一千五百日筑土共计三千一百日乃成三万尺也故以三千一百日除三万尺得一日所成之数

数学钥巻五上之上

钦定四库全书

数学钥巻五上之下

柘城杜知耕撰

均输

一则

田地之多寡

设甲乙丙三人以田地多寡应一年差役甲田八十畆乙田六十畆丙田四十畆求各值日数法曰分置三人田数各以三百六十日乗之【甲得二万八千八百乙得二万一千六百丙得一万四千四百】并三人田数【共一百八十畆】为法除甲得一百六十日除乙得一百二十日除丙得八十日即所求二则

方物之贵贱

设米九百石令甲乙二处以米价之贵贱均纳之甲处米价每石五钱乙处米价毎石七钱求各应纳米数法曰置米为实并两价【共一两二钱】除之得七十五以七钱乗七十五得五百二十五石价二百六十二两五钱为甲数以五钱乗七十五得三百七十五石价亦二百六十二两五钱为乙数

解曰甲乙米价既为五与七则甲乙纳数必若七与五矣甲纳数与共米必若乙价七钱与两价并之一两二钱也此借五钱与一两二钱之比例因元米以求甲数也乙同此论

三则

道里之逺近一法

设牛车已行七日马车方行六日行齐其程五百八十五里求各日行里数法曰置五百八十五里为实以六日除之得九十七里半为马车日行里数以七日六日相并【共一十三日】除实得四十五里为牛车日行里数

四则

道里之逺近二法

设自甲至乙八百五十五里牛车自甲反乙日行四十五里马车自乙往甲日行九十七里半同日行求防日相遇法曰置八百五十五里为实并牛马车日行里数【共一百四十二里半】除之得六日即所求