数学九章

意求差以口底径相乗又各自乗并之为法除寄得深余分収弃之求囤米置各囤上径下径相乗又各自乗并之乗高又乗囤数所得之数为积【囤有大小以类】并之为共积如四而一为实以斛求之得米

草曰置出租斗口方九寸六分与底方七寸相乗得六十七寸二分于上又于口方九寸六分自乗之得九十二寸一分六厘加上又以底方七寸自乗得四十九寸又加上共得二百八寸三分六厘乗深四寸得八百三十三寸四分四厘又以五斗乗之得四千一百六十七寸二分为三叚斛积于上求方斛如意立一尺六寸为斛深又加意立一尺二寸为斛底以深一十六寸为从隅以底一十二寸乗隅得一百九十二寸为从方又以底一十二寸乗从方一百九十二寸得二千三百四寸为减率以减上积四千一百六十七寸二分余一千八百六十三寸二分为实开连枝平方得六寸三分五厘为基其积不及一寸一分六厘系有亏数其基数为米可用湏合损益基数今益作六寸四分为口方以原立一尺二寸为底方以口方乗底方得七十六寸八分以上又以口方六寸四分自乗得四十寸九分六厘又以底方十二寸自乗得一百四十四寸并以上共得二百六十一寸七分六厘为法以除前积四千一百六十七寸二分得一尺五寸九分二厘为方斛深其积不及一厘九毫二丝収为闰又累増至一十寸为口方仍以一十二寸为底方乃以口方一十寸乗底方一十二寸得一百二十寸于上又口方自乗得一百寸加上又以底方自乗得一百四十四寸又加上共得三百六十四寸为法亦除前实积四千一百六十七寸二分得一十一寸四分五厘为方斛深其积不及六分収为闰此是求出両等斛数在人择而用之求圆斛置四数以因前积四千一百六十七寸二分得一万六千六百六十八寸八分为寄如意立一尺二寸为圆斛深又如意立一尺为底径以三因深得三十六寸为从隅以底一十寸乗隅得三百六十寸为从方又以底一十寸乗从方得三千六百寸为减率以减寄一万六千六百六十八寸八分余一万三千六十八寸八分为实开连枝平方得一尺四寸七分为基其实不及二寸四分四厘収为闰次以原立底径一尺并基一尺四寸七分得二尺四寸七分只减七分为差以余三尺四寸以半之得一尺二寸为底径以差七分并底径得一尺二寸七分为口径始以口径一尺二寸七分乗底径一尺二寸得一百五十二寸四分于上次以口径自乗得一百六十一寸二分九厘加上又以底径自乗得一百四十四寸又加上共得四百五十七寸六分九厘以三因之得一千三百七十三寸七厘为法除前寄一万六千六百六十八寸八分得一尺二寸一分四厘为圆斛正深其实不及二毫六丝九忽八微収为闰又以基一尺四寸七分增三分得一尺五寸并底径一尺得二尺五寸减一寸为差余二尺四寸以半之得一尺二寸为底径以差一寸并底径一尺二寸得一尺三寸为口径始以口径一十三寸乗底径一尺二寸得一百五十六寸于上又以口径一十三寸自乗得一百六十九寸加上又以底径一十二寸自乗得一百四十四寸又加上共得四百六十九寸以三因之得一千四百七寸为法除前寄一万六千六百六十八寸八分得一尺一寸八分四厘七毫为圆斛深寄余七厘一毫却収深七毫作一厘通得一尺一寸八分五厘为圆斛深此是求出両等圆斛在人择而用之　求囤米置大囤上径一丈通为百寸乗下径九十寸得九千于上又以上径自乗得一万寸加上又以下径九十寸自乗得八千一百寸加上共得二万七千一百寸乗高一百二十寸得三百二十五万二千寸又乗大囤一十二个得三千九百二万四千寸为寄次置小囤上径九十寸下径八十寸相乗得七千二百寸于次又上径自乗得八千一百寸加次又下径自乗得六千四百寸加次共得二万一千七百寸又乗高一百寸得二百一十七万寸又乗小囤一十三个得二千八百二十一万寸并寄共得六千七百二十三万四千寸为实【按应四归为实草中遗漏故得数误】倍前斛积四千一百六十七寸二分为法除之得八千六十七石四升七合四勺一抄四撮

按求方斛积法以上下径相乗又各自乗并而以深再乗三除之得积求径深法三因积有二径以二径相乗各自乗数并而除之得深有一深一径以深除积得数内减径自来余为实径为纵开带纵平方得又一径或径自乗深再乗减积除为实以深为纵隅深径相乗为纵方开连枝平方得又一径草中求斗积不加三除为三倍斗积五因之为三倍斛积故设正深底径二数开连枝平方以求口径既得口径复设二径数以求正深也求圆斛径即如求圆外切方边当以方圆幂率变圆积为方积故四因前积而以三因正深代三除也求圆囤米尺积先用方斛求积法次变方为圆方斛法用三除变圆法用三因四除合之则三因四除合之则三除并可省惟以四除之卽得圆囤积术中详言之而草中歩算遗漏四除故得数误为四倍也

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数学九章卷九上

钦定四库全书

数学九章卷九下　　　　宋　秦九韶　撰市易

推求典本

问典库今年二月二十九日有人取觧一号主家听得当事共筭本息一百六十贯八百三十二文称系前嵗头腊月半觧去月息二分二厘欲知原本几何答曰本一百二十贯文

术曰以粟米求之置积日乘息分数增三百为法以三百乘共钱为寔寔如法而一得本

草曰置前年头腊月半系四十五日并去年三百六十又加今年五十九日共得四百六十四日为积日乘息二分二厘得一百二十文八厘增三百文得四百二文八厘为法以三百文乘共钱一百六十贯八百三十二文得四万八千二百四十九贯六百文为寔如法而一得一百二十贯文为原本

按题意谓前年十一月半典钱去年未取今年二月二十九日取去按日计利共合本息钱一十六千八百三十二文月息每千二十二文问本钱若干法当以积日乗息二十二文以三十日除之得一千文之共息加一千文为一千文之本息共数然后置今本息共数以一千乗之一千之本息共数除之即得今本钱数草中以十文为本以二分二厘为息不以三十除之为共息而以三十乗十文得三百为本其理一也

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推知籴数

问和籴三百万贯求石数闻每石牙钱三十文籴埸量米折支牙人所得毎石出牵钱八百牙人量米四石六斗八合折与牵头欲知米数石价牙钱米牵钱各几何

按题意买米共用钱三十亿每石牙钱三十文共牙钱折米给之共折米每石牵钱八百文共牵钱牙人又折米四石六斗零八合给之求各数

答曰籴到米一十二万石　石价二十五贯文牙钱三千六百贯文　折米一百四十四石牵钱一百一十五贯二百文

术曰以商功求之率变入之置籴本牙钱牵钱相乘为寔以牵米为隅开连枝立方得石价以价除本得籴到米以牙钱乘米得縂牙钱以价除之得牙米以牵钱乘牙米得共牵钱

草曰置籴本三百万贯乘牙钱三十文得九千万贯文乘牵钱八百文得七百二十亿万贯【按七百二十亿贯万字误后余寔内万字同此】为价寔置牵米四石六斗八合于寔数零文之下为立方从隅起歩歩法常超二位每超一度商进之今隅凡超四度当于寔上约定首商二十贯乃以商生隅超四石六斗八合得九十二贯一百六十文乃以为亷又以商生亷得一百八十四万三千二百贯为方乃以方命上商二十贯除寔讫寔余三百五十一亿三千六百万贯复以商生隅四石六斗八合入亷得一百八十四贯三百二十文又以商生亷加入方内得五百五十二万九千六百贯为方法复以商又生隅四石六斗八合加入亷得二百七十六贯四百八十文为亷法其方法一退亷法二退从隅三退乃于首商之次约寔续商五贯以续商生隅四石六斗八合入亷得二百九十九贯五百二十文又以续商生亷入方得七百二万七千二百贯乃命续商五贯除寔适尽所得二十五贯为毎石米价以为法以籴本三百万贯为寔寔如法而一得一十二万石为籴到米数以米数乘牙钱三十得三千六百贯为牙钱以石价二十五贯除牙钱三千六百贯文得一百四十四石为籴埸量米折牙钱以牵钱八百乘牙米一百四十四石得一百一十五贯二百文为牵头得牙人所与牵钱之数以石价二十五贯文约牵钱一百一十五贯二百文得四石六斗八合为牵米折钱合问

按此术之意以立天元一觧之法立天元一为米每石之价以折牵米四石六斗零八合乘之得四元【六○八】为共牵钱应以每石牵钱八百除之寄分母代除得八百分元之四分【六○八】为共折给牙人米数又以天元一乘之得八百分平方之四分【六○八】为共牙钱应以每石牙钱三十除之寄分母代除得三十分又八百分平方之四分【六○八】为共米数又以天元一乗之得三十分又八百分立方之四分【六○八】为共米价与三百万贯相等两邉各以三十乗之又以八百乗之得四立方【六○八】与七百二十亿贯等以立方数除两邉得一立方与一百五十六亿二千五百万贯等置贯数为寔开立方得二十五贯为米每石价数草中不除开连枝立方为除之不能尽者便于用也

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累收库本

问有库本钱五十万贯月息六厘半今令掌事每月带本约息共还一十万欲知几何月而纳足并末复畸钱多少

答曰本息纳足共七个月末后一月畸钱二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微七沙三莽一轻二清五烟

术曰以盈朏变法求之置原本以息数退位乗归本位每出共纳累得月数以末后不及数为足月钱数草曰置本五十万贯以六厘五毫乘之入共本内得五十三万二千五百贯文内减初月一十万余四十三万二千五百贯文又以六厘五毫乘之余本内得四十六万六百一十二贯五百文又减次月一十万贯余三十六万六百一十二贯五百文又以六厘五毫乘之入余本内得三十八万四千五十二贯三百一十二文五分又减第三月钱一十万贯文余二十八万四千五十二贯三百一十二文五分又以六厘五毫乘之得三十万二千五百一十五贯七百一十二文八分一厘二毫五丝内减第四月钱一十万贯余二十万二千五百一十五贯七百一十二文二分一厘二毫五丝又以六厘五毫乘之入余本内得二十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四厘五毫三丝一忽二微五尘内减第五月钱一十万贯余一十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四厘五毫三丝一忽二微五尘又以六厘五毫乘之入余本内得一十二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六厘四毫七丝五忽七微八尘一沙二五莾减第六月钱一十万贯余二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六厘四毫七丝五忽七微八尘一沙二五莾又以六厘五毫乘之入余本内得二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微无尘七沙无三莾一轻二清五烟为第七月纳足本息畸钱

均货推本

问海舶赴务抽毕除纳主家货物外有沉香五千八十八两胡椒一万四百三十包【包四十觔】象牙二百一十二合【以大小为合觔两俱等】系甲乙丙丁四人合本博到縁昨来凑本互有假借甲分到官供称甲本金二百两盐四袋钞一十道乙本银八百两盐三袋钞八十八道丙本银一千六百七十两度蝶一十五道丁本度蝶五十二道金五十八两八铢已上共估值四十二万四千贯甲借乙钞乙借丙银丙借丁度蝶丁借甲金今合拨各借物归原主名下为率均分上件货物欲知金银袋盐度牒原价及四人各合得香椒牙几何按题意谓甲金乙盐丙银丁牒原本不同互借为同本买得香椒牙三色今有互借各物及同本贯数求原本以分所买之物葢方程而亷衰分之法也甲乙二条内盐钞二色寔即一色先言盐袋数乃一钞之数以钞数乘之始为盐数是钞数既赘又不明言其故皆故为隠晦也

答曰甲金每两四百八十贯文本一十二万四十贯文　合得沉香一千四百八十八两胡椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七象牙六十二合

乙盐每袋二百五十贯文本七万六千贯文合得沉香九百一十二两胡椒一千八百

六十九包二十一觔二两五十三分两之六象牙三十八合

丙银每两五十贯文本一十二万三千五百贯文　合得沉香一千四百八十二两胡椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三象牙六十一合四分合之三丁度牒每道一千五百贯文本一十万五百贯文　合得沉香一千二百六两胡椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之十七象牙五十合分合之一

术曰以方程求之衰分入之正负入之置共钱以人数约之得数列入人数各为行积次置诸色各物数为叚子对本色有分者通之可约者约之为定率以第一行为右以第二行为副以第三行为次第四行为左每以下位互遍乘之每騐其积以少减多如同名相减异名相加正无人负之负无人正之如同名相加异名相减正无人正之负无人负之得一叚为法以余积为寔除之各得诸价以诸价列右行以各物数列左行以两行对乘各得本率以诸色求等约之得列衰并诸衰为总法以列衰遍乘各物诸数各为寔诸寔并如总法而一各得其物除不尽者以觔两通而除之或又分母命之

草曰置估值四十二万四千贯以四人约之得一十万六千贯为各积以人数列四位次置甲金二百两于右上以四袋乘钞一十道得四十袋【按此条以四袋为一钞相乘为塩数是二色止为一色不如即用塩为正】　于右副为右行次置乙钞八十八道以三袋乘之得盐二百六十四袋【按此条以三袋为一钞】及银八百两为副行次置丙银一千六百七十两度牒一十五道为次行次置丁度牒五十二道金五十八两八铢为左行验得首图左行上叚金带八铢是三分两之一乃以分母遍乘左行诸数只以分子一内入左上金内其左积得三十一万八千贯左金得一百七十五两左度牒得一百五十六道为次图验次图四行皆可求等右行求得四十约之副行求得八约之次行求得五约之左行求得一约之各得数为定

率图

定率图右积得二千六百五十贯金五两盐一袋副积得一万三千二百五十贯盐三十三袋银一百两次积得二万一千二百贯银三百三十四两度牒三道左积得三十一万八千贯金一百七十五两度牒一百五十六道乃以定图次行度牒三因左行左积得九十五万四千贯金五百二十五两度牒四百六十八道次以定图左下度牒一百五十六乗次行积得三百三十万七千二百贯银五万二千一百四两【按此下落度牒四百六十八道八字】

定率图　　　　　　维图

乃验维图左及次行之下度牒等当相减之以积为端当以左之少积减次之多积按术曰同名相减其次行之金空而左行之金五百二十五两有为正次空为无按术曰正无人负之即以左行之金正加入次行金位为负名成音图仍置定图左行诸数乃验音图次行积得二百三十五万三千二百贯正金五百二十五两负银五万二千一百四两为正余三行皆正

音图　　　　　　　　　驳图

今验音次行之负金当以右行之正金补之而其数不等先以右金五约次金五百二十五得一百五以乗音图右行毕其右积得二十七万八千二百五十贯金二百五十五两正盐一百五袋正其副次左三行如音图故乃成爻图今视爻图右行之金正与次行之金负适等即用右行直加次行按术以同名相加乃以右之金正减其次之金负为空按术以异名相减之其次盐空为无人按术以正无人正之乃以爻图右积二十七万八千二百五十贯加次积二百三十五万三千二百贯内得二百六十三万一千四百五十贯其次金空次盐一百五袋正次银五万二千一百四两正仍置定图右行数而成政图

政图　　　　　　　　卜图

今视政图从者乃择其诸行本色可求等首金可盐亦可盖金多盐少乃以政图副次两行盐数三十三与一百五求等得三故以三约三十三得一十一以乗次行又以三约一百五得三十五以乗副行毕其副积得四十六万三千七百五十贯盐一千一百五十五袋银三千五百两次积二千八百九十四万五千九百五十贯盐一千一百五十五袋银五十七万三千一百四十四两皆正列成卜图

宫图

及视上图副行积少次行积多即以副行求减次行皆是同名相减之既毕仍置定图副行数其次行乃得积二千八百四十八万二千二百贯银得五十六万九千六百四十四两列为宫图验宫图次行下只有银五十六万九千六百四十四两独一数以为法以次积二千八百四十八万二千二百贯为寔寔如法而一得五十贯为银一两价而成千图

千图

乃以千图副行银一百两乗两价五十贯得五千贯以减千图副行之积一万三千二百五十贯讫副积余八千二百五十贯其下盐得三十三袋银空而成曜图

曜图　　　　　　　　支图

乃以曜图副行之积八千二百五十贯为盐寔以其下盐三十三袋为法除之得二百五十贯为盐一袋价而成支图乃以支图右行盐一袋徧乗副行毕其副积只得二百五十贯次以副行直减右行毕右积余二千四百贯金五两盐空而成闰图　乃以闰图右积二千四百贯为寔金五两为法除之得四百八十贯为金一两价成定图次以左金一百七十五两徧乗右行直减左行讫左积得二十三万四千贯度牒一百五十六道左金空而成定图

闰图　　　　　　　　定图

今验定图左积二十三万四十贯为寔以左下度牒一百五十六道为法除之得一千五百贯为度牒一道价而成终图既得金银每两钞盐每袋度牒每各色之价次列甲乙丙丁四人乗之

终图

后以首图右金二百两并左金五十八两八铢得二百五十八两以八铢为三分两之一通分内子得七百七十五于左甲其右价四百八十贯乃以左甲母三约之为一百六十贯于左甲次以右盐四千袋并副盐二百六十四袋得三百四袋于左乙以盐价二百五十贯于右乙次以副银八百两并银一千六百七十两得二千四百七十两于左丙以银价五十贯于右丙又以次行度牒一十五道并左度牒五十二道得六十七道于左丁以度牒价一千五百贯于右丁两行对乗之

以右甲一百六十乗左甲七百七十五两得一十二万四千贯为甲原本以右乙二百五十贯乗左乙三百四袋得七万六千贯为乙原本以右丙五十贯乗左丙二千四百七十两得一十二万三千五百贯为丙原本以右丁一千五百贯乗左丁六十七道得一十万五百贯为丁原本列四人各得原本求等得五百贯皆以五百贯为法除之甲行二百四十八乙得一百五十二丙得二百四十七丁得二百一各为列衰于右行并右行列衰得八百四十八为总法次置到沉香五千八十八两遍乗列衰各为沉香寔次置胡椒一万四百三十包亦遍乗列衰为椒寔次置象牙四百二十四条以大小各半之得二百一十二合亦遍乗列衰为牙寔

甲得一百二十六万一千八百二十四乙得七十七万三千三百七十六丙得一百二十五万六千七百二十六丁得一百二万三千六百八十八各为沉香寔以总法八百四十八除之甲得沉香一千四百八十八两乙得沉香九百一十二两丙得沉香一千四百八十二两丁得沉香一千二百六两

甲得二百五十八万六千六百四十乙得一百五十八万五千三百六十丙得二百五十七万六千二百一十丁得二百九万六千四百三十各为椒寔以总法八百四十八除之甲得三千五十包不尽二百四十包以包率四十觔乘之得九千六百觔又以法除之得一十一觔不尽二百七十二觔以十六两通之得四千三百五十二两又以法除之得五两不尽一百一十二求等得一十六约之得五十三分两之七约甲得椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七乙得一千八百六十九包不尽四百四十八包以四十觔乘之得一万七千九百二十又以法除之得二十一觔不尽一百一十二觔以十六两通之得一千七百九十二两又以法除得二两不尽九十六两求等得十六约之得五十三分两之六为乙合得椒一千八百六十九包二十一觔二两五十三分两之六丙得三千三十七包不尽八百三十四以四十觔通之得三万三千三百六十觔又以法除之得三十九觔不尽二百八十八以十六两通之得四千六百八两又以法除之得五两不尽三百六十八两求等得十六约之得五十三分两之二十三为丙合得椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三丁得二千四百七十二包不尽一百七十四以四十觔通之得六千九百六十觔又以法除之得八觔不尽一百七十六以十六两通之得二千八百一十六又以法除之得三两不尽二百七十二求等得十六约之得五十三分两之一十七为丁合得椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之一十七

甲得五万二千五百七十六合乙得三万二千二百二十四合丙得五万二千三百六十四合丁得四万二千六百一十二合各为牙寔皆以总法八百四十八除之甲合得牙六十二合乙合得牙三十八合丙合得牙六十一合不尽六百三十六求等得二百一十二约之得四分合之三丁合得牙五十合不尽二百十二求等得二百一十二约之得四分合之一按此条于方程正负之用通分乗除之变多所发明歩筭虽繁寔有条而不紊也