数学九章

幂以大斜为底寄之又以小斜幂与大斜幂相加内减中斜幂得一百九十八里半之得九十九里为小分底与底相乘长幂自之得九千八百零一里为小分底幂乘底幂之数又以小斜幂大斜幂相乘得三万八千零二十五里为小分底幂乘底幂中长幂乘底幂各一内减小分底幂乘底幂之数余二万八千二百二十四里为中长幂乘底幂之数与寄数等两边各以四约之得七千零五十六里与一平方等里数为实方数即从隅也从二题同此

斜荡求积

问有荡一所正北濶一十七里自南尖穿径中长二十四里东南斜二十里东北斜一十五里西斜二十六里欲知畆积几何

荅曰荡积一千九百一十一顷六十畆

术曰以少广求之置中长乘北濶半之为寄以中长幂减西斜幂余为实以一为隅开平方得数减北濶余自乘并中长幂共为内率以小斜幂并率减中斜

幂余半之自乘于上以

小斜幂乘率减上余四

约之为实以一为隅开

平方得数加寄共为荡

积

草曰以中长二十四里

乘北濶一十七里得四

百八乃半之得二百四里为寄以中长自乘得五百七十六为长幂以西斜二十六里自乘得六百七十六为大斜幂以减长幂余一百里为实开平方得一十里以减北濶数一十七里余七里自乘得四十九里并长幂五百七十六得六百二十五为内率次置东小斜一十五里自乘得二百二十五为小斜幂又置东南中斜二十里自乘得四百为中幂却以小斜幂并率得八百五十以减中幂四百余四百五十乃半之得二百二十五自乘得五万六百二十五里于上又以小斜幂二百二十五乘率六百二十五得一十四万六百二十五减上余九万里以四约得二万二千五百为实开平方得一百五十并寄二百四里得三百五十四里为泛以里法三百六十自乘得一十二万九千六百歩乘泛得四千五百八十七万八千四百歩以畆法二百四十歩约之得一千九百一十一顷六十畆为荡积

计地容民

问沙洲一叚形如棹力广一千九百二十歩从三十六百歩大斜二千五百歩小斜一千八百二十歩以安集民每户给一十五畆欲知地积容民几何

荅曰池积一百四十九顷九十五畆　容民九百

九十九戸　余地一十畆

术曰以少广求之置广乘长半之为寄以广幂并从幂为中幂【按实大斜幂】以小斜幂并中幂减大斜幂【按实中斜幂】余半之自乘于上以小斜幂弃中幂减上余以四约之为实以一为隅开平方得数加寄共为积以每户给数除积得容民戸数

草曰置广一千九百

二十歩乘从三千六

百歩得六百九十一

万二千歩乃半之得

三百四十五万六千

歩为寄以广自乘得三百六十八万六千四百歩为广幂又以从自乘得一千二百九十六万步为从幂并广幂得一千六百六十四万六千四百步为中幂次以小斜一千八百二十歩自乘得三百三十一万二千四百歩为小斜幂又以大斜二千五百歩自乘得六百二十五万歩为大斜幂却以小幂并中幂得一千九百九十五万八千八百歩以大斜幂减之余一千三百七十万八千八百歩乃半之得六百八十五万四千四百歩自乘得四十六万九千八百二十七亿九千九百三十六万歩于上次以小斜幂乘中幂得五十五万一千三百九十五亿三千五百三十六万歩减上余八万一千五百六十七亿三千六百万为实以四约之得二万三百九十一亿八千四百万为实以一为隅开平方得一十四万二千八百歩并寄三百四十五万六千歩共得三百五十九万八千八百歩以畆法二百四十歩除之得一万四千九百九十五畆次以顷法一百畆约之为一百四十九顷九十五畆为地积又为实以每户所给一十五畆为法除实得九百九十九户不尽一十畆不及一戸所给数以为余地一十畆

蕉田求积

问蕉叶田一叚中长五百七十六歩中广三十四歩不知其周求积畆合几何

荅曰田积四十五畆一角【按六十歩为一角葢四分畆之一也】十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三

术曰以长并广再自乗又十乘之为实半广半长各自乘所得相减余为从方一为从隅开平方半之得积

草曰以长五百七十六歩并广三十四歩得六百一十两度自乘【按即自乘再乘】得二亿二千六百九十八万一千歩进一位即是以十乘之得二十二亿六千九百八十一万歩定得此数以为实置长五百七十六以半之得二百八十八自乘得八万二千九百四十四于上又置广三十四歩以半之得一十七自乘得二百八十九减上余八万二千六百五十五为从方以一为从隅开平方得二万一千七百四十二歩不尽一万四百二十六歩以商生隅入方又并隅算共得一十二万六千一百四十为母与不尽及开方田积数皆半之田积定得一万八百七十一步六万三千七十分歩之五千二百一十三以畆法二百四十约之得四十五畆一角一十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三

按此术以长与广相加自乘再乘又以十乘之为长方积以半长自乘半广自乘相减为长濶较求得阔折半为田积非法也此题中广甚小故得数较古法多七百余较密法少二千七百余若设长为七百零七广为二百九十三亦以此法求之长广相加自之再之又十乘之得一百亿为实半长半广各自之相减得十万零三千五百为长阔较求得阔折半得三万零四百二十六歩余为田积依宻法求之实十四万四千九百余歩所差甚逺其术之不合显然矣葢数必三乘而后可以平方求之今再乘之后仅以十进之宜其不可用也

漂田堆积

问三斜田被水冲去一隅而成四不等直田之状元中斜一十六步如多长水直五歩如少濶残小斜一十三歩如残大斜二十歩如元中斜之横量径一十二歩如残田之广又如元中斜之勾亦是水直之股欲求元积残积水积元大斜元中斜二水斜各几何

荅曰元积一百三十八歩一十一分歩之八水积一十二歩一十一分歩一八【按应一十三歩一十一分歩之七】

残积一百二十六歩

元大斜二十九歩一十一分歩之一

元小斜一十八歩一十一分歩之一【按应一十一分歩之十】水大斜九歩一十一分歩之一

水小斜五歩一十一分歩之一【按应一十一分歩之一】

术曰以少广求之连枝入之又勾股入之置水直减中斜余为法以中斜乘大残为大斜实以法除实得元大残以残大斜减之余为水大斜以法乘径又自之为小斜隅以水直幂并径幂为幂又乘径幂又乘中斜幂为小斜实与隅可约约之闭连枝平方得元小斜以残小斜减之余为水小斜以水直乘之为水实倍水小母为法除之得水积【按此处法踈】以水直并中斜乘径为实以二为法除之得残积以残积并水积共为元积分者通之重有者重通之

草曰以水直五减中

斜一十六余一十一

为法以中斜一十六

乘大残二十得三百

二十为大斜实以法

除之得二十九歩一

十一分歩之一为元大斜内减残大斜二十歩余九歩一十一分歩之一为水大斜以法一十一乘径一十二【按乘径可省】得一百三十二自之得一万七十四百二十四为小斜隅以水直五自乘得二十五为水直幂以径一十二自之得一百四十四为径幂并水直幂得一百六十九为幂以乘径幂【按此乘径幂亦可省葢以此乘复以此除徒为多筭耳】一百四十四得二万四千三百三十六于上又以中斜一十六自乘得二百五十六为中斜幂以乘上得六百二十三万一十六为小斜实开平方与隅求等得一百四十四俱约之实得四万三千二百六十四隅得一百二十一开方不尽以连枝术入之用隅一百二十一乘实四万三千二百六十四得五百二十三万四千九百四十四为定实以一为定隅开平方得二千二百八十八为实以约隅一百二十一除之得一十八歩不尽一百一十一【按一百一十整】与法一百二十一俱以一十一约之得一十一分歩之十为元小斜减残小斜一十三歩余五歩一十一分歩之一【按十讹一故下数误】为水小斜通歩内子得五十六以水直五歩乘之得二百八十为水实倍水小母一十一得二十二为法除之得一十二歩不尽一十六与法俱以二约之为一十二歩一十一分歩之八【按应一十二歩一十一分步之七】水积置中斜一十六并水直五得二十一乗径一十二得二百五十二以半之得一百二十六为残积以水并积共得一百三十八歩一十一分歩之八为元积【按应一百三十九步一十一分步之七】

数学九章卷三上

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷三下　　　　宋　秦九韶　撰田域

环田三积

问环田大小圆田共三段环田外周三十步虗径八步大圆田径一十步小圆田周三十步欲知三田积及环田周通实径大圆周小圆径各防何

答曰环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五通径九步一十九分步之九　实径一步一十九分步之九　内周二十五步一十七分步之五

大圆田积七十九步五十三分步之三　周三十一步二十一分步之十三

小圆田积七十一步二百八十六分步之四十三　径九步一十九分步之九

术曰以方田及少广率变求之各置圆环径自乗为幂进位为实以一为隅开平方得周各置环圆周自乗为幂退位为实以一为隅开平方得径以周幂或径幂乗各实以一十六约之为实以一为隅开平方得圆积置环周幂乘径实十六约之为大率置虚径幂乗内周实十六约之为小率以二率相减之余以自乗为实并二率倍之为从上亷一为益隅开三乗方得环积置环周自乗退位为实一为隅开平方得通径以虚径减通径余为实径其有开不尽者约而命之

草曰置大圆径一十步自乗得一百为径幂进位得一千为实以一为隅开平方得三十一步不尽三十九为分子乃以隅生方又益隅共得六十三为分母以分子与母求等得三俱以三约之母子得二十一分步之一十三为大圆周三十一步二十一分步之一十三次以径幂一百乗前实一千得一十万以十六约之得六千二百五十为实以一为隅开平方得七十九步不尽九为分子乃以隅生方又增隅得一百五十九为分母以分子母求等得三俱以三约母子得五十三分步之三为大圆积七十九步五十三分步之三次置小圆田周三十步自乗得九百为周幂退位得九十为径实以一为隅开平方得九步不尽九以隅生方又益隅得一十九步之九为小圆径九步一十九分步之九次以周幂九百乗前实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为实以一为隅开平方得七十一步有不尽数二十一步五分为子以隅生方又益隅得一百四十三为分母以分子母求等得五分俱约之得二百八十六分步之四十三为积次置环田周三十步自乗得九百为周幂退位得九十为实以一为隅开平方得九步不尽九为分子以隅生方并隅得一十九为分母直命之为环田通径九步一十九分步之九次以环周幂九百乗环实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为大率次置环田虗径八步自乗得六十四为虗幂进位得六百四十为实以一为隅开平方得二十五步不尽一十五为分子以隅生方又并隅得五十一为分母与子求等得三俱约之得一十七分步之五为环田内周二十五步一十七分步之五次以虗幂六十四乗周实六百四十得四万九百六十以十六约之得二千五百六十为小率以小率减大率余二千五百二步五分自乗得六百二十六万二千五百六步二分五厘为实以大小二率并之得七千六百二十二步五分倍之得一万五千二百四十五为从上亷以一为益隅开玲珑三乗方得二十步不尽三十二万四千五百六步二分五厘为分子续啇无数乃以益隅一益下亷八十并之得八十一为减母次以从上亷一万二千八百四十五并从方五十七万七千八百得五十九万六百四十五以母八十一减之余五十九万五百六十四为分母以分子求等得二分五厘俱约之得二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五为环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五次置环田通径九步一十九分步之九以虚径八步减之余一步一十九分步之九为环田实径合问

按周径相求以进位退位为实者盖以径一周三有竒径一自之仍得一周自之略与十等故径幂升一位为周幂周幂降一位为径幂以省算亦法之巧者其径求周较宻率约大一百五十七分之一周求径约小一百五十九分之一然较古率则已宻矣其周幂径幂相乗十六约之开平方得圆积者盖周径相乗四归得圆积径自乗为方积故四归亦展为自乗十六之数约之得四分径之幂乗周幂之数故开方得圆积至求环积与前求尖田积同但彼立天元一为两积之和此立天元一为两积之较耳其式如左

法立天元一为环田积即内外两圆积之较自之得一平方为较自乗以大小率【即二圆积各自乗】并而倍之得一万五千二百四十五步内减较自乗得一万五千二百四十五步少一平方为和自乗与较自乗再相乗得一万五千二百四十五平方少一三乗方寄之次以大小率相减余二千五百零二步五分为和较相乗再自之得六百二十六万二千五百零六步二分五厘与寄数等即为实寄数内平方数即从上亷三乗方数即益隅

此圗照问列位以后照草运算

乃先置次大径以上副自乗得中以中进位为次实以一为下隅

凡九变至此得大圆径次求大圆积

上副自乗得中以次约之得下为实

凡十一变至此得大圆积次求小圆径

一十一变得小圆积次求环田通径当求环田通径盖环田之外周三十步与小圆田外周同则不遇与前七变诸圗一理兹不复繁乃求实径

凡九变得环田内周次求环积

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>

开三乗方凡二十变至此得环田积数

求实径但以虚径减通径余一步一十九分步之九为环田实径

均分梯田

问户业田一段若梯之状南广小三十四步北广大五十二步正长一百五十步合系兄弟三人均分其田邉道各欲出入其地形难分经官乞分南甲乙北内欲知其田共积各人合得田数及各段正长大小广防何

答曰田共积二十六畆二百一十步

甲得八畆三角五十步　小广三十四步系元南广　大广四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四大约百分步之八十九　正长五十七步二千四十五分步之　百五十三大约一百分步之四十一分乙得八畆三角五十步　小广同甲大广大广四十六步八万四千八百二十六亿

八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三计大率约百分步之七十七分半强　正长四十九步四亿一千二百四十万六千二百九分步之二千二十七万六千三百一十九大约百分步之四分九厘

丙得八畆三角五十步　小广同乙大广大广五十二步系元北广　正长四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六大约百分步之五十三分强

术曰以少广及从法求之并两广乗长得数以分田人数约之为通率半之为各积以长乗各积为共实以长乗南广为甲从方二广差半之为共隅开连枝平方得甲截长以甲长除通率得数减小广余为甲广即为乙小广以元长乗乙小广为乙从方置共隅共实开连枝平方得乙截长以乙长除通率得数减乙小广余为乙大广即为丙小广倂甲乙长减元长余为丙长以元大广为丙大广各有分者通之

草曰置小广三十四并大广五十二得八十六乗长一百五十得一万二千九百为实以兄弟三人约之得四千三百为通率半之得二十一百五十为各积以　法二百四十步约之得八畆不尽二百三十步以角法六十步约之得三角五十步是三人各得八畆三角五十步以元长一百五十步乗各积二千一百五十得三十二万二千五百为共实以长一百五乗小广三十四得五千一百为甲从方以小广大广余一十八乃半之得九为共隅开连枝平方【开方革更不繁具】得五十七步不尽三约为二千四十五分步之八百五十三为甲截长乃以分母二千四十五通全步内子共得一十一万七千四百一十八为法又以分母乗通率四千三百得八百七十九万三千五百为实以法除之得七十四步不尽一十万四千五百六十八与法求等得二俱约之为五万八千七百九分步之五万二千二百八十四乃以小广三十四步于所得全步七十四步内减之余四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四为甲大广即为乙小广今次求乙长乃以分母五万八千七百九通乙小广四十步得二百三十四万八千三百六十内子五万二千二百八十四得二百四十万六百四十四又元长一百五十乗之得三亿六千九万六千六百为乙从方又以分母五万八千七百九通共实三十二万二千五百得一百八十九亿三千三百六十五万二千五百为乙实又以分母通共隅九得五十二万八千三百八十一为乙从隅开连枝平方【更不立草】得四十九步不尽二千二十七万六千三百十九隅并方共得四亿一千二百四十万六千三百九为母与不尽求等单一不可约乃定为四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九为乙截长以乙长母通全步内子得二百二亿二千八百一十八万五千四百六十为法以乙长七千七百三十三亿四千七百一十二万八千七百为实以法除之得八十七步不尽一百三十四亿九千四百九十九万三千六百八十与法求等得一百四十俱约之为八十七步一亿四千四百四十八万七千三十九分步之九千六百三十九万二千八百一十二为得数乃以乙小广母五万八千七百九乗得数子九千六百三十九万二千八百一十二得五万六千五百九十一亿二千五百五十九万九千七百八为泛却以得数母一亿四千四百四十八万七千三十九分乗乙小广子五万二千二百八十四得七万五千五百四十三亿六千三十四万七千七十六为寄数于上乃以小广母五万八千七百九乗得数母一亿四千四百四十八万七千三十九得八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一以寄减泛今不及减乃破全步一为分并泛得八十六步十四万一千四百一十八亿一千五百一十七万二千三百五十九减去小广四十步及分余四十六步八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三为乙大广亦丙小广求丙长置甲长五十七步二千四十五分步之八百五十六乙长四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九以甲乙分母互乗子甲乙分母相乗得甲正长五十七步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之三千五百三十亿一千九百八十万五百四亿乙正长四十九步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四百一十四亿六千五百七万二千三百五十五并甲乙长及分共长一百六步三千九百四十四亿八千四百八十七万二千八百五十九分用减元长一百五十步先破一步通分母作八千四百三十三亿七千九十万一千九百五减去甲乙长长余四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六为丙正长

按此术以立天元一法明之法立天元一为甲正长南北广差折半得九以乗天元得九元以共正长除之得一百五十分天元之九为甲之半广差与小广相加得三十四步多一百五十分元之九再以天元乗之得三十四元多一百五十分平方之九即与每人分田二千一百五十步等两数各以分母一百五十乗之得三十二万二千五百步与九平方多五千一百元等步数为实元数为从方平方数为隅得甲正长求乙丙长广同此但多一带分故其数较繁

数学九章卷三下

钦定四库全书

数学九章卷四上　　　　宋　秦九韶　撰测望

按测望之法见于晋刘徽海岛算经原名重差其书一卷九题法简数宻此卷本其法而扩充之于古人之意实多所发明然其中譌舛之处较他卷尤甚今悉为正之至术有未合者更设法以附其后焉

望山高逺

问名山去城不知高逺城外平地有木一株高二丈三尺假为前表乃立后表与木齐高相去一百六十四歩先退前表三丈九寸次退后表三丈一尺三寸斜望山峯各与其表之端参合人目高五尺里法三百六十歩歩法五尺欲知山高及逺各防何

答曰髙二十里半零三歩五分歩之三　逺二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七

按术数误后入目距山系三十五里二百三十九歩一尺三寸其故详后

术曰以勾股求之重差入之置二退表相减余为高法通表间并法于上以目高减表高余乗上为寔寔如法而一得山高以法乗表高为逺法【按此条法误应以法乗表高与人目去地之较】以退后表乗髙寔为逺寔寔如法而一得山逺

望山髙逺图【按旧图画山木在术前今山改移于此】

草曰置后退表三丈一尺三

寸减前退表三丈九寸余

四寸为高法置表去木一百

六十四歩以歩法五十寸

通得八千二百寸为表间

并法四寸得八千二百四

寸于上以目髙五尺

减表高二丈三尺余通之为一百八十寸乗上得一百四十七万六千七百二十寸为髙实实如髙法四寸而一得三十六万九千一百八十寸为积寸次以歩法五十寸约之得七千三百八十三寸五分歩之三次以里法三百六十歩约之得二十里一百八十三歩五分歩之三为山髙【按此所得系人目上之山高若加人目高则多一歩】次以法四寸乘表高二丈三尺得九百二十为逺法【按误同前】以退后表三丈一尺三寸乗髙实一百四十七万六千七百二十寸得四亿六千二百二十一万三千三百六十寸为逺实实如逺法九百二十寸而一得五十万二千四百五寸二十三分寸之一十九为积寸乃以歩法五十寸乗逺法九百二十得四万六千寸为法亦除逺实得一万四十八歩不尽五千三百六十与法求等得八十俱以约之得五百七十五分歩之六十七又以里法三百六十歩约得二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七为山去后表入立望处等图如后