新法算书

后稍损于推步之加时也欲明其理姑以数事征之试用一平边尺切目窥月体则白月之光能侵入于尺尺之暗体当月之处似有阙焉此其一也生明之月其有光之半周大于无光之半周光之两端芒角犀鋭似欲包其魄体至日食时体入日日之光体不收光以让月反舒光以拒月故其两端不作鋭角而作钝角也此在晴明时气微薄犹不免尔况浓且厚乎此又其一也日轮西没将及地平适遇云气全轮若为停轨累测不移少迁则忽焉而入又其一也况日食时月之体月食时地景之角体全居气之中气所受日光尤盛四周皆能消景则日食时太隂居日目之间其视径岂能大于日之视径而全掩日体月食时地景之角体岂不能稍杀于推步之实景而损其初末之加时乎若论目力亦能变日月景之各视径者目力既衰大光损之每每易于见暗难于见明故月食时较少壮之目能先见月食侵周之景若日食时太阳光耀初亏不能遽见其阙也西史苐谷测月每夕用五六人皆利眼能手悉用大仪种种合法所测月径趋求画一乃经二十二测得其径为三十一分者二三十二分者六三十三分者七三十四分者六三十六分者一何故大光射目当之者利钝不齐径之小大随异也葢人目之难凭如此【月无大光不能入于窥表通光之窍须人日测有此不齐若日光透表其有不齐繇器防密矣】定视径分秒之数

古多禄某限日月地景三径之数定太阳为三十一分二十○秒不论最高最庳恒如是太阴最大者定为三十五分二十○秒最小者亦三十一分二十○秒地景小者四十○分四十○秒大者不过四十六分也然多禄某所当之时乃尔迨其后太阳本天之心与地之心渐次相就至于今最高之去地近于多禄某时其最庳乃去地稍逺而太阳视径遂不得过三十一分太阳稍缩则地景稍赢亦不若曩时之细且短也以故第谷所立新法定太阳之视径在最高为三十○分在最庳为三十二分若太隂则虽距地同所限朔望二时之视径犹不同也葢合朔时月会太阳四周环受其光则此时全魄小于望日之全光几及四分之一是以月在最高即望时得径三十二分朔时止二十五分三十六秒在最庳望时得三十六分朔时二十八分四十八秒也又第谷测之地其北极出地五十六度清之气甚厚故推步交食必依此径乃可得合何者月望时明光甚盛以厚气光乃加显径即似大月朔时遇日之大光自已失光而受光之气环围照映若或消减其魄径即似小也然此第谷所当之地乃尔用之他方未能必合何者此所限大小之径以步日食虽则食既犹显金环月不能全掩日体若他方食既则有昼晦星见虫飞鸟栖者故知一方所定未可槩诸防内以为公法也假如崇祯二年己巳五月朔日食依新厯先推食甚二分有竒至日实测得二分若以第谷所限径用之此日即见食分数仅得一分一十○秒谬于实测逺矣崇祯四年辛未十月朔日食新厯先推食甚二分一十二秒至日实测不及二分若用小月径推算即所得更少不及一分也视径因乎气而为小大如此岂可强执一率以槩诸方乎故欲定本地之日食分必先定本地之气差以限本地之视径又宜累验本地之食分加时然后酌量消息差视径可得而定也今所考求酌定者太阳最高得径三十○分在最庳径三十一分太阴不分朔望【气稍薄故也】在最高视径三十○分三十○秒在最庳视径三十四分四十○秒地景最小者四十三分最大者四十七分日月行最高最庳处之间视径亦渐次不一故列表左右并纪太阳及太隂自行宫度以考日月地景各相当之分数是为视半径表

太阴视径差

视半径表计太阴从其最高至最庳渐次加大也若论气则南北二方亦有差别西国之北地滨大海其气更厚故月朔应减月望应加以改表中之半径如北极高三十度其加减于半径一十○秒高四十度其加减三十○秒过五十至七十极高度即所加减更多至六分以上也

中国北极出地虽止四十二度半亦近海故用加减数如前所列然亦须测验数食审其果否乃可执为恒法耳地景视差

地景半径之最小者为四十三分今本表中太隂自行○宫○度与相当者是也继此渐大至太隂自行六宫初度其相当四十七分则为最大其求之有二法一以测候一以推步苐两法所得却又不同则气能变景故也以推步者用太阳在其最高时下照地球所生景长以为定率若太隂过景之处则依其逺近随时算之如第谷当太阳在最高时测其距地之逺得一千一百八十二地半径此所推全景之长得二百五十二地半径又六十分之二十三恒如是若太隂在其最高距地之逺得五十八地半径又八分欲求其所当地景者先于全景内减太隂距地之径数余者为过太隂以外之景角

【景角者景为角体也】得一百九

十四地半径又一十

五分如上图甲乙地

半径定为六十万甲丙为全景亦通为一五一四三分【临算末加五位】丁丙为过月以外之景角一一六五五分【临算末加五位】而求月食相当之处丁戊几何广则甲丙与甲乙若丁丙与丁戊也算得四五五一九三九又甲丁戊直角三角形内求丁甲戊角为所限目窥丁戊之大则甲丁为太隂距地逺通为分得三四八八分甲丁戊为直角丁戊依前算得四五五一九三九而甲丁与丁戊若全数与丁甲戊角之切线得一三○五查表得四十四分五十○秒为太隂在最高时所过地景之半径也若太隂在最庳求其食时过景之半径用全景长如前内减五十四地半径五十二分余一百九十七地半径又三十一分为丁丙直线依前法算得四六四二八○四为丁戊线求角以太隂距地之分三二九二为一率丁戊线为二率直角为三率算切线为一四一○查得四十八分二十八秒为太隂在最庳时所过地景之半径也今表中列地景半径小者四十三大者四十七皆少于推得者为月过地景不论高庳皆受外光围迫侵销其景故也论其实则推歩所得为真然不可得见耳若太隂在高庳之间求其过景者依此法随时求丁丙线推算也

以测者用前后两月食择食之法欲太阴去其最高最庳距度同则其入于地景之小大亦同但月距黄道不必同又不必全食因以两距度及两食分求得其所过之景径也多禄某引周襄王三十一年庚子三月其地距顺天府西八十一度卯初时得见食于是太隂交周得九度二十○分距黄道北四十八分三十○秒食全径一十二分之三又引周景王二十二年戊寅六月里差同上顺天府寅初时得见食于时太阴交周得○七度四十二分距黄道南四十○分四十○秒食十二分之六如图己乙戊丙圏为地景两食为太隂所过乙甲丙线为黄道

如前图第一食太阴在丁次食在戊各依食分入景为

己辛为戊庚其太阴之距度为甲丁四

十八分三十○秒甲戊四十○分四十

○秒而甲戊与甲己必相等【地景之两半径】则

甲丁减甲戊余己丁七分五十○秒【两距度之较】又己丁为月径四分之一而先得月径三十一分二十○秒四分之为己丁今去减己丁所余为甲己半景四十○分四十○秒或以距度与食分相较则食差三分与距度之差七分五十○秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒亦以距度之差推得其景也若后图两距

度一大于半景一小于半景亦用此比

例以求景假如初食三分得距度四十

七分五十四秒次食十分距度二十九

分三十七秒食分之差七分距度之差一十八分一十七秒则七分与一十八分一十七秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒今既食三分即全月径四分之一为七分五十○秒以减距度余四十○分○四秒为地半景又次食得一十分即月心至地景之周得四分亦全食三分之一也全以月全径三分之其一为一十分二十七秒以加距度二十九分三十七秒亦得半景四十○分○四秒

地景实差

表中记地景差不及半分恒减于地景葢前所论之景实无差或因气有差耳其有差者太隂以其自行高庳有距地之逺近入于最中时时不同也又太阳居其最

高所生之

景最大过

此渐向最

庳去地渐近即从地出景渐小渐短也故月食时先以太隂自行定地景之半径又以太阳自行求此实景差而减之乃正得太隂过景之处矣推算之法设太阳先在最高推所生景又设在最庳推所生景得二景之最长最短又设太阳先后距地同而以先过景之径比于后过景之径其二径差即表中之地景差

假如丁己

为太阳半

径第谷所

测为甲庚地半径五又四十一分依戊庚平行线减丁戊地半径余戊己得地半径四又四十一分设戊庚为太阳在最高距地之逺一千一百八十二地半径则戊己与戊庚若甲庚与甲辛得甲辛地景于太阳在最高时其长二百五十二地半径又二十三分太隂在其最高最庳之间距地之逺得五十六地半径又四十三分为甲乙以减甲辛余乙辛一百九十五地半径四十○分以推月食之半景乙丙则乙辛与乙丙若甲辛与甲庚得乙丙四六五一六五四【算法以原数通为分又于每率后加五位乗除之】又求乙甲丙角所限目窥乙丙之大以太隂距地之逺依前法算得切线一三六四查八线表得四十六分五十二秒又依此法以太阳在最庳距地之逺一一四一地半径推算地景为二百四十三地半径又三十八分去减太隂在高庳之间距地之径余一百八十六地半径又四十五分依前算得四五九九一二四为乙丙线次以太隂距地之逺三四○三推得切线一三五一查得乙丙半景四十六分二十六秒比前所得差二十六秒为地景之最大实差其余者以太阳自行距最高逺【法算书卷六十六】

近依法次第求之新

钦定四库全书

新法算书巻六十七　　　明　徐光启等　撰交食厯指巻四

食限第一

食限者日月行两道各推其经度距交若干为有食之始也而日与月不同月食则太隂与地景相遇两周相切以其两视半径较白道距黄道度人以距度推交周度定食限若日食则太阳与太隂相遇虽两周相切其两视半径未可定两道之距度为有视差必以之相加而得距度故特论半径则日食之二径狭月食之二径广论日食之限反大于月食之限以视差也

太隂食限

表中地景半径最大者先定四十七分太隂半径最大者一十七分二十○秒并得一度○四分二十○秒日月两道之距在此数以内可有月食【可食者可不食也】以此距度推其相值之交常得一十二度二十八分为月食限推法最大距度【四度五十八分半】与象限九十度若距度与交常之弧也其最小者地半径定四十三分月半径一十五分一十五秒并得五十八分一十五秒若距度与之等者依前法推交常度得一十一度一十六分此限以内月过景必有食【必食者无不食也】也抑此两者皆论实望时之食限耳若论平望其限尤寛如圗甲乙为黄道甲丙当

白道乙为地景心丙为太阴心月切

景在丁其最大两半径为乙丙得一

度○四分二十○秒则相值之甲丙

得一十二度二十八分为定望食限

设平望尚在前为戊则戊平望距丙定望最逺者二度三十八分有奇为丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时以其心距两交之度西古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分中望之食限一十五度一十二分其所定视半径最小之食限一十○度五十○分

何谓平望距定望最逺得二度三十八分曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒太隂均度最大者四度五十八分二十七秒并得七度○一分四十二秒为两交时日月以实度相距极逺之弧也从此太阴逐及于日行讫七度○二分此时间太阳又自行三十二分二十八秒太隂又须逐及更行三十二分此时间太阳又行三分弱共为三十五分以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距其中望也如圗甲乙为地心所出

过本轮心直线至黄道乙指中会太隂

实行在丙太阳实行在丁总丙丁弧七

度○二分太隂行至丁太阳己过丁而

前又逐及之终合于己故丁己弧三十

五分加乙丁共得乙己中实两会相距二度三十八分太阳食限

表中太阳之最大半径一十五分三十○秒太隂之最大半径一十七分二十○秒并得三十二分五十○秒所谓二径折半也以此推相值之交常为六度四十○分是太阳不论视差不分南北正居实会之食限也苐日食不在天顶即有髙庳视差太隂每偏而在下交会时以此差故或就近于太阳或移逺随地随时各各不同安得以实度遽定日食之限乎测太隂交食时最大髙庳差得一度○四分【因距逺五十四地半径故】减太阳之最大髙庳差三分余一度○一分【此为太隂偏南之极多者凡日食时必有一方能见其然是为大地公共之最大差】以加二径折半得总视距度一度三十三分五十○秒外此即无日食在其内则可食依前法求食限得两交前后各一十八度五十○分为两大视径折半之限也若以小半径求食限与前差度并得一度三十一分有竒推相值之交周度一十七度四十八分为小视径折半之日食限若日月防入此限内者日必食但非总大地能见必有地能见耳若以中防论食限又须加入实防距中防之度其最大弧三度则中会有食之限二十余度如圗甲乙为黄道甲戊为白道太隂以实度在己

以视度在丙太阳乙与太隂丙视相切

于丁则己丙为髙庳差己戊为东西差

而丙戊为南北差南北差之最大者一

度○一分以加乙丙为总距度乙戊若

乙丙为大折半【二径折半省曰折半】推得甲戊食限一十八度五十○分或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分设中会更在前为辛得食限甲辛更多于甲戊求北中界日食限

北中界者地居赤道之北南不至赤道北不至北极也今依南方极出地十八度北方极出地四十二度定日食之限则最广者太隂距南其交常度七度三十一分太隂距北其交常度一十七度三十五分为可食之限最狭者太隂距南交常七度距北交常一十六度五十三分为必食之限其所繇广狭者因二径折半有大有小即相会时所当距度不同故所限交周度亦异也太隂分南北而定最大日食之限有二义其一论地总本界中有一方焉距北之最大者以十七度为限又有一方焉距南之最大者以七度为限非谓一方所见距北可得十七距南又可得七也其一论黄道度谓本界中有地有时太隂或南或北距天顶最逺则其视距度最大以加于太隂实距度得其最大限在北可至十七度在南可得七度亦非谓诸宫交防皆可得七度十七度之限也今试于本界中论地先论其极髙四十度者又于本地论时先论其不甚逺于天顶者如日月交防在夏至鹑首宫初度设当时不防于正午其髙庳差变为南北差者必少而所增视距度亦少即所得者不为其最大限必设实防正午月距黄道北得其髙弧七十三度二十八分以推髙庳差一十八分○八秒全变为太隂南北差依法加于二径折半得五十○分五十八秒为黄白两道之视距度则所值交周度得一十○度为顺天府北极同髙地黄道本度月距北日食之最大限可食也设月距南则二径折半共三十二分五十○秒反减太隂南北差一十八分○八秒得两道视距一十四分四十二秒所值交周止二度五十○分为本地本度月距南日食之大限可食也次论其甚逺于天顶者设日月在冬至星纪宫初度防亦正午其髙弧二十六度三十○分推得髙庳差即南北差五十六分二十四秒加二径折半得黄北两道总距一度二十九分一十四秒为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分所以然者人目所见日月以两心合会必在太隂所离视道交黄道之处距其两道实交尚一十一度又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒相当者得四度三十二分为太隂尚不及实交未过黄道南而以视差故人目所见则已过交出日食限之外矣如圗丙为太隂丁为太阳甲为黄白两道之实交论实距度则日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太隂之视行循丙乙视道尚在己距甲逺即己切太阳周入日食之限后太阳丁行黄道至乙与太隂视道相遇是为视交即二曜以两心合防

能全食若更前至辛日月亦未及实交甲太隂实未过黄道南而视行则己过太阳之南即丙不能掩日亦不能切日不食矣可见太隂实距北在己为顺天府同纬地最大食限得一十七度有竒至辛遂出食限之外况过甲而后实距南其视度距太阳甚逺安得尚有食乎再于本界中论地论其极髙一十八度者先设日月在冬至星纪宫初度实防在正午得髙弧四十八度三十○分髙庳差全变为南北差四十一分五十八秒加二径折半总得两道相距一度一十四分四十八秒外此无日食在其内可食相值之食限一十四度三十二分其食甚亦未至实交也若行至实交则太隂以视度过交而南四十一分五十八秒矣以较二径折半则视距为大不已出两食限之外乎安得有食设日月会于夏至鹑首宫初度此在天顶北五度三十○分得髙弧八十四度三十○分推南北差得六分○八秒以加二径折半得三十八分五十八秒为太隂入阳厯两道相距度二曜至此即以周相切推得日食限七度三十一分若月距北则两半径减南北差余二十六分五十二秒仅得五度一十○分为日食限也如圗地居夏至之南目视丙月则偏北故太隂之实度在黄道南为

本道上之乙与太阳之实度丁甚相逺却以南北视差移而就近及以甲乙为食限二曜相掩必未至甲也若其过实交甲至己在黄道北则因南北差见月更在北与太阳相距更逺不复能相掩矣

太阳太隂越六月皆能再食

越六月者如寅月食申月得再食也如圗甲丙乙丁为太

隂离道交黄道于甲于乙甲丙乙为

其距北半圏余乙丁甲为距南半圈

己庚戊辛皆为食限依多禄某随迤

北诸方所定中会时甲己及乙戊入隂厯为日食限二十○度四十一分【地愈向北食限愈大故也】甲庚及乙辛入阳厯得一十一度二十二分则限外弧己丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中积交周一百八十四度有奇【先去全周】则大于己丙戊及庚丁辛两弧故初月在食限内与正交相近者六月后则近中交亦在食限内而日能再食若月食不论隂阳厯其限皆一十五度一十二分则己丙戊弧庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分皆小于中积交周度故初月交周度入己甲庚食限内后六月又在戊乙辛食限内而月能再食

太隂越五月能再食越七月不再食

以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比若度赢者则此食限内能起彼食限内能止即两皆有食若度缩者则一起一止或在两食限之外不再食矣如五平月交周得一百五十三度二十一分【去全周己】月食于髙庳中处其实限一十一度三十○分南北同得限外无食之弧一百五十七度亦南北同是皆大于交周弧则五平月中不可得两食矣亦有可两食者则大月也太阳躔赤道南在其最庳左右必速行同时太隂去全周在其最髙迟行必得定朔策少月大交周弧亦大夫五月之平朔策去太隂全周得一百四十五度三十二分中分之左右并得太阳均度四度三十八分又太隂五月自行一百二十九度○五分中分之以最大加减得其并均度八度四十○分太阳均度应加【实度距最庳左右比平度逺故】太隂均度应减【设月逐日实未追及故】得日月以实行相距总弧一十三度一十八分为月逐日未及之弧如圗太阳从

秋向春行本天小半周以当黄道

正半周必速行以甲乙直线中分

其平行左右各得丙丁均度太隂

在本轮自戊过最髙辛至己迟行

以甲辛平分其迟行弧左右得壬

辛及庚辛均度日月两均度不同类一加一减并之得一十三度一十八分为太阳以实行在前太隂以实行在后之弧而太隂逐太阳行一十三度此时间太阳更行一度○六分以并于太阳均度总得五度四十四分为五大月过五平月之度亦为实交周过平交周之度

以加平交周一百五十三度二十一

分得一百五十九度○五分较食限

外之弧羸二度○五分则月食于甲

乙限内为壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月复可食于庚然食之分数少矣

又证太隂越七月不能复食者则小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食今太阳在其最髙左右迟行太隂在其本轮最庳左右速行因而成小月

夫七月之平朔策得二百○三度

四十五分同时太隂自行一百八

十○度四十三分如圗甲乙分日

月平行甲辛分太隂自行太阳左

右各得最大均度丙丁并为四度四十二分应减【实度距最高左右此平度近故】太隂均度壬辛及庚辛并为九度五十八分应加【设月以实行过太阳故】一加一减并两均度得一十四度四十○分为太隂过太阳之弧此时间太阳亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是为七小月间实

行不及其平行之度又为七月间交周

平行之弧所减以成七小月实行之度

今以平行二百一十四度四十二分去

减五度五十五分得二百○八度四十七分以加于食限外之弧【此第论太隂在其髙庳中处甲丙左右四食限】为戊乙壬或己庚丁仅得二百○三度小于七小月之实交周二百○八度有奇则月初食在戊丁限内后七月不能于己壬限内再食也

太阳越五月或七月皆能再食

此越五月能再食者必大月也其间交周实行可得一百五十九度○五分设日月在髙庳中处得二径折半三十二分二十○秒设太隂距度亦正得三十二分二十

○秒则以前法求得距交六度一十二

分当在乙或在丁而乙丙丁弧乃得一

百六十七度三十六分若太隂絶无视

差者即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十一分日月合会先在甲乙弧内有食越五大月复防必不能及丁戊为再食矣然太隂既有南北视差则以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之两加于食限得甲己及戊辛各一十○度二十八分而太隂在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒减二径折半余视差二十二分三十○秒倍之得己及辛两视差共四十五分则诸方能得南北差及此分者所见太隂必偏南下掩太阳得有食也今所论五大月太阳速行先于太隂一十三度一十八分又于太隂逐及时间行一度○六分总得一十四度二十四分太隂行尽此度乃及日须一日○九刻是为五大月过五平月时刻则五大月得一百四十八日一十八小时故先定朔在酉正后必在午正若先在午则后在卯又太阳五大月行一百五十一度以最庳平分左右得先定朔在寿星宫二十一度次定朔在娵訾宫二十一度诸方地面得极髙