新法算书

文算法类,推步之属,新法算书,卷八十一>

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新法算书卷八十一

钦定四库全书

新法算书卷八十二　　明　徐光启等　撰八线表卷下

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增　凡所设之弧过象限而求其正等线者即以半周

内减之用其较查表即得所求如设一百

三十度之弧求其正即以一百八十度

减之余五十度查五十度之正切割等

线图説见前

论乙丁为一百三十度之弧其正为丁

己其余丁庚则丁己线为乙丙丁弧及丁

戊两弧之正他线类如此则查表用五十度之弧亦得一百三十度之等线数

八线表代句股开方法

一设股求句　用正余代　【直角傍两腰各能当句股两名互用之同理】

法以【外数】为一率　全数【十万】为二率股【外数】为三率　如法求得第四率【即正内数】查八线表正相近而略少者取【其余以设】

乗之得数右减五位即所求勾数

如为五十八股为二十五以全乗股得二五○○○○○以五十八除之得正四三一○三查表正弦与此数相近而略少之余九○二三三以设五十八乗之得五二又三三五一四为所求句外数

一　五十八【外数设数】　　　一　十万【内数　即全】

二　十万【全数】　　　　　　　二　五十八【外数】三　二五○○○○○【股外数】　三　九○二三三【勾内数即余】四　四三一○三【正内数】　　四　五二又三三五一四【勾外数】

二设勾求股【亦用正余代】

法以外数为一率　全数十万为二率勾外数为三率　如法求得第四率【即勾内数正】查八线表正相近而略少者取其余以

设乗之得数即所求股数

如为一万二千九百四十五勾为七千七百六十七以全乗勾得七七六七○○○○○以一万二千九百五十四除之得正六○○○○查表正与此数相近而略少之余八○○○三【去三作○】以设一万二千九百四十五乗之得一○三五六为所求股外数

一　一二九四五【外数】　一　十万【全数外数】

二　十万【全数】　　　　二　一二九四五【外数】三　七七六七○○○○○　　三　八○○○○

四　六○○○○　　　　四　一○三五六

三设勾股求用割切线代

法以勾外数为一率全数为二率股外数为三率如法求得第四率【即切线内数】查八线表切线与此数相近者取其割线以句外数乗之

得数右减五位即所求数

如句设一百五十六股设四十七以全乗股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八【即切线内数】查表切线与此数相近者之割线得一○四四四○以句一百五十六乗之得一六二九二六四【即所求○】一　一百五十六【句外数】　　　一　十万【全数】

二　十万【全数】　　　　　　　二　一百五十六【设句】

三　四七○○○○○　　　　三　一○四四四○【割线内数】

四　三○一二八　　　　　　四　一六二九二六四○

新法算书卷八十二

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钦定四库全书

新法算书卷八十三　　明　徐光启等　撰防何要法

防何总论

防何家者脱物体而空穷度数数其截者度其完者度有三曰线曰面曰体线以度长短面以度广狭体以度厚薄线自始引为线线展为面面运为体者无长线者无广面者无厚为线之界线为面之界面为体之界体不可为界线面体防何之论起焉

界说章第一【十六则】

界者一物之始终解篇中所用名目作界说

第一界

防何者度与数之府也

第二界

者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲真圆□一真平相遇处止一防毕世积防不能结线【凡图十干为识干尽用十二支等字】

第三界

线止有长无广厚如一平面光照之有光无光之间不容一物是线也如上甲乙图毕世积线不能结面

第四界

面者有长有广无厚一体所见为面凡体之影极似于面无厚之极也如上甲乙丙丁图毕世积面不能结体

第五界

体有长有广有厚如上甲乙丙丁戊己庚图

第六界

分者防何之防何也小能度大而尽之无赢不足者以小为大之分若小不能尽度大当称防分防何之防如上甲乙四与丙丁八戊己十二等数皆能尽分者则甲乙四为丙丁八戊己十二之分

若庚辛四与壬癸六一即赢二即不足不能尽度者不得正名为分则称之为三分六之二【他数仿此】

第七界

者非防何故不能为线及诸防何之分

第八界

线非广狭之防何故不能为面之分

第九界

面非厚薄之防何故不能为体之分

第十界

线有曲直线之一能遮两界是直线如上图甲乙不遮则不直如下图丙丁

第十一界

面之中间线能遮两界不碍不空是平面如上图甲乙

丙丁不遮则不平如下图戊己庚

第十二界

直线垂于横线之上为横线之垂线如上图丁乙为甲

丙之垂线

第十三界

两直线于同面行至无穷不相离亦不相逺终不得相

遇者为平行线如上甲乙丙丁两线

第十四界

两防何以防何相比之理为比例两防何者或两数或两线或两面或两体各以同类大小相比谓之比例若线与面或数与线此异类不为比例若同类相比而不以防何亦不为比例也如白线与黑线或有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例有穷之线毕世倍之不能及无穷之线故也

凡比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本卷论量法之比例

第十五界

比例相续不断为连比例其中率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如上图甲二与乙四比乙四又与丙八比是也第十六界

中率一取不再用为断比例如上图甲四自与乙八比丙六自与丁十二比是也

备噐章第二

防何在厯家则多用图画图必先备噐噐有三曰尺曰规曰矩尺以画线而贵直规以画圜而贵调矩以画方而贵凖噐凖矣不识用法则茫无措手今以用法着于篇

审尺章第三

画图首画线线贵直线界于尺故先求尺直

如甲乙为尺面丙丁为尺侧一棱先以丙丁画一戊己线丙合戊丁合己次转丙丁棱画一己

戊线丙合己丁合戊不出不入则尺直矣不直再当琢削画线章第四

尺既直矣线可无曲然画时又有法须以鐡或铜铸笔上长其柄令可把手下截濶出复渐窄而下其正面削

极平背令稍圆去末寸许作一小

窝窝下渐细至末用时以墨汁入

小窝以平面倚尺作线则墨汁自就下或恐墨污其地将尺削去丙丁侧一棱则墨线莹细如丝即作于规末亦得

审平面章第五

平面者诸方皆作直线

法曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是平面也

引线章第六

有一短直线求平引长之

法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则得所求若欲

更引长仍依此法

平分直线章第七【法有二】

有有界之线求两平分之

第一法

如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半愈长愈凖向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有

界之线两平分于戊矣

第二法

若所分之线下面无地可作短界线即于甲乙线上先画两短界线于丙次或开或收规度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁规度愈相逺画线愈凖末以丙丁二交用尺

如前画线则得所求

作垂线章第八【法有四】

有一直线任于一上求作垂线

第一法

甲乙直线任指一防于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度愈逺愈凖各截一界为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于

丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求

第二法

于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得所求若丙防在

甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得

第三法

若直线甲端上求立垂线又甲防外无地可暗引线则先以甲乙原线上方任取一防为

丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求

第四法

若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次

以甲丙丁角两平分之【分法在后三卷第四章】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求立垂线章第九【法有四】

有无界直线线外有一求自彼作垂线至直线上

第一法

如有甲乙无界直线直线外有丙防求自丙防作垂线至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以甲为心向丙防相望处作短界线

又以乙为心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲乙线于戊则丙戊为垂线

第二法

于甲乙线上近甲或乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一为心以丙为界作一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得丙戊垂线

第三法

若丙防垂于甲乙线之界不能于丙左右画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则当以甲为心于丙及相望处各作短界线于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界线末从丙丁二交处作直线则得

所求

第四法

若甲乙线在面之邉且下无地可措规如前四图则当用前章第三法或以丙为心任指甲乙线上两为丁为戊次任取一度以丁为心向丙上作短界线次用元度以戊为心仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中

作平行线章第十【法有三】

一求作直线与原设直线平行

第一法

于甲求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线即所求

第二法

先以甲为心于乙丙线近乙处任指一作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁

元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己作直线即所求

注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘法

注曰以上二法以甲防定逺近若无甲防任指所欲逺近为界可当甲防

第三法

此法比前法更简易即西本防何亦未载乃敝师伯先生所授如有甲乙线任逺近求作平行线近甲取心向上以所求逺近为度作小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺依半圜为界作直线即所求

注曰以上平行数法可推用作沿邉直线之垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先以乙为心向甲任取一防为丙又用元度以丙为心向甲指一防为丁又以乙为心任取一度向上方作一短界线愈逺愈凖又以丁为心用元

度仍向上方作一短界线与前界线相交于戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用一法以丙乙为度作平行线正垂在乙防上即得所求

求分一直线任为若干平分章第十一【法有四】

凡造厯象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力抑且不凖宜熟后法以便用

第一法

如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分

第二法

如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为丙乙甲角次于乙丙任取一防为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于

甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分

第三法

如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于卯于寅为五平分

第四法

此法极简极神可分百千不等之线与百千不等之分

先作一噐如丙丁戊己为平

行线任平分为若干格噐愈

大格愈宻其用愈广格毎分

作平行线相聨今欲分甲乙

为五平分即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止既至壬即戊壬之分为甲乙之分

又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一

规髀抵戊丙

线一处以一

规髀抵此噐

庚辛第十七

格为壬次从

戊至壬画一直线次取所过两格相距之度以此为凖分甲乙直线则得十七分矣或图小而所分者大欲广其用则逓倍之如图一尺欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前法为十九分后以尺逓十倍之则一丈己分为一百九十分矣毎十分作识如所求余以此推之

一直线求截所取之分章第十二【法有二】

第一法

如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即

甲庚为甲乙三分之一也

第二法

如甲乙直线求截取七分之三先以前章法分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之数亦如之

有一直线求截各分如所设之分章第十三【一法】

法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聨于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙分于丁戊焉

有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例章第十四【一法】

法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚

乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁

有两直线求别作一线相与为连比例章第十五【法有二】

第一法

有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作乙丙线相聨次从丁作

丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线【若以甲丙为前率仿此】

第二法

以甲乙乙丙两线聨作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求

线

三直线求别作一线相与为断比例章第十六

法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线

两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平

分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率

新法筭书卷八十三