新法算书

法筭书卷八十三

钦定四库全书

新法筭书卷八十四　　明　徐光启等　撰防何要法

总説

圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论圜形

界说章第一【十二则】

第一界

圆形于平地居一界之间为圜

第二界

外圆线为圜之界

第三界

圜之中处为圜心

第四界

自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲

丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径

第五界

凡直线切圜界过之而不与界交者为切线如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之入圜内则谓之交线如丁戊是也

第六界

凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相入者为交圜加上图

第七界

凡直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形如上图丁戊己为甲乙丙形内切形

第八界

凡直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其余各形仿此二例

第九界

直线形之各角切圜之界为圜内切形如上图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也圜之界切直线形之各角为形外切

圜同上图

第十界

直线形之各邉切圜之界为圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜于丁于己于戊是也

第十一界

一圜之界切直线形之各邉为形内切圜如前图

第十二界

一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图之甲乙线

造规章第二【法有四】

圜形以至圆为凖至圆必出于规规必欲极凖极顺其用甚活乃堪造厯凡造规之法有四详列于后

第一法

先以铜或鐡范成二股上濶下窄至末而鋭近头小半截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵寛得宜任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷第三章法以适用凡欲造厯象必须备规其造式见后规图

第二法

凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚其中横开小路上套小铜圜可上下松以出入铅条末畧奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可画线而一规可具三用矣此为第二法如下图

第三法

造厯恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜或鐡畧如剪形上下作四规髀上短下长令上凖下度或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度愈大上愈短则度愈促

第四法

前三种规长不逾尺止堪小用如欲造玑衡大噐则当

更变其式如下图其规以铜范为极方条上下如一任作防尺于条左末作锥垂下二三寸以纯钢为之更造一锥与前锥等上方寸许仍凿方孔令透可受方条任逺近可推移方孔旁更凿圆孔仍前法作旋螺贯定方条使两锥坚定不爽分毫可画大圜如下图

有圜求两平分之章第三【一法】

如有甲乙丙圜求两平分用尺任以圜一处为界正过心画一直线则圜体两平分矣

有圜之分求两平分之章第四【一法】

如有甲乙丙圜分求两平分之先于圜分两界作甲乙线次两平分之于丁从丁作丙丁为甲乙之垂线【一卷第八章】即丙丁分甲乙圜分

为两平分若有圜不露其心又求两平分之亦如此法有圜求四平分之章第五【一法】

凡立天象多用四分圜为周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙线过戊心两平分之次依作垂线法于戊心上自丙至丁作垂线得所求

有圜求六平分之章第六【一法】

凡厯家分周天度多用六数或十二或二十四今详其法如有一圜求作六分不用他法惟以画圜之元规周圜界六歩则自然分为

甲乙丙丁戊己六平分矣

有圜求十二平分之章第七【一法】

先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁次以画圜元规从甲从乙上下各指一防又从丙从丁左右各指一则得所求若欲二十四分毎分为两则得所求矣

有圜求三百六十平分之章第八【一法】

凡厯家所用细分周天度以三百六十为率今详其法

如有甲乙丙圜先依前法四平分之为四象限次以规

元度依前法十二平分为十二宫

就以所分十二宫各三分之各包

十度次毎十两平分之各包五次

毎宫又五平分之各包六今用六

度之规至终不改从子宫初一度歩

起完一周又次从初五度初十度

十五度二十度二十五度各歩完一周则平分三百六十分矣

有圜之分任截防度章第九【一法】

如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必须先求圜分之心依后十一章法成圜后均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法颇繁今有简妙法先备一铜板分一子丑寅象限为九十分合极凖设有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先从甲至圜心作甲丙半径线如与子丑寅象限半径合

则移彼度子卯至甲乙线上至庚即得所求如大小不合则以规取子丑寅半径以丙为心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外则当引长甲丙线至丁取子丑寅限三十五度以丁为始移于丁戊圜上至己从丙心过己作一直线截甲乙于庚则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也若所范铜板欲其用广当从寅心重重作圜与子丑平行又自子丑外圜逐度引直线至寅心后所欲取圜分之度若其半径与子寅不等或同于他子丑内圜之半径则可径移其度于所分圜上不尔仍用前法

有圜求防其心章第十【一法】

如有甲乙丙丁圜欲求其心先于圜之两界任作一戊己直线次以平分线法作丙丁垂线两平分之于庚则庚为圜心

有圜之分求成圜章第十一【一法】

如有甲乙丙圜分求成圜先于圜分任取三于甲于乙于丙从甲至丙丙至乙各作一直线各两平分于丁于戊次于丁戊上各作垂线相交处为己末以己为心以圜为界旋转即得所

求

任设三防不在一直线求作一过三之圜章第十二【法有二】

第一法

如有甲乙丙三防求作一圜贯之先以甲为心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙为心向甲仍用元度上下各作小圜分相交处为丁为戊次又以甲为心向丙上下作小圜分如前

次以丙为心亦如之相交处为己为庚次从丁至戊从己至庚各作直线相交处为辛末以辛为心任取一防为界旋规成圜即得所求

第二法

先以三防作三直线相聨成甲乙丙三角形次平分两线于丁于戊次于丁戊上各作垂线合相遇于己末以己为心甲为界作圜即得所求

有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线章第十三【一法】

如有甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线径为圜内之最大线更大不可合先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取

乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等

三角形求作形外切圜章第十四【一法】

甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己末以己为心甲为界作圜必切甲乙丙而为三角形之形外切圜

三角形求作形内切圜章第十五【一法】

甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊末以丁为心戊为界作圜即过庚己

为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚此为形内切圜

有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第十六

甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角

有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第十七

甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己邉各引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙而相遇于子于丑于癸【若作甲丙线即癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余仿此】此癸子

丑三角与所设丁戊己三角各等

有圜求作内切圜直角方形章第十八

有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形

有圜求作外切圜直角方形章第十九【法有二】第一法

甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径末界之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬

辛为外形

第二法

以戊甲为度依平行线法作己庚辛壬上下两线与乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右两线与甲丙平行即得所求同前图

有直角方形求作形内切圜章第二十

甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线相交于壬末以壬为心戊为界作圜必过戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是为

形内切圜

有直角方形求作形外切圜章第二十一

甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊末以戊为心甲为界作圜必过乙丙丁甲而为形外切圜

有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十二

如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分作丙戊丁乙两线末作甲乙

乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聨即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等

有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三

如有甲乙丙圜心为丁先作甲丙过心线次作乙丁垂线次平分丁丙线于戊作乙戊线次取戊乙度移于径线为戊己次作乙己直线盖乙己为甲乙丙圜五分之一以此为度可作内切

圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形

有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四

甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子

庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子五垂线既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角

五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己自己作己丙己丁己

戊三线次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂线末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子庚而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜

五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六

甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己次从己作己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末以己为心甲为界作圜

必过乙丙丁戊甲即得所求

求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七

如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等邉等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙

乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相联即得所求

求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十八

如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉当圜十五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角各邉当圜十五分之三而戊乙得

十五分之二次以戊乙圜分取乙己度两平分于壬则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线即得所求【以此为例推用逓分可作无量数形】

圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等章第二十九

如有甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多边切形不至戊丁小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊也次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也次以甲丙两平分于乙

乙丙两平分于壬以壬丙两平分于癸则丙癸圜分必小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次以癸丙为度递分一圜各作合圜线得所求形

新法算书卷八十四

钦定四库全书

新法算书卷八十五　　明　徐光启等　撰几何要法

界説章第一【凡十则】

第一界

角者两线纵横相遇所作线有曲直两

直相遇为直线角两曲相遇为曲线角

一直一曲相遇为杂线角曲杂两线角

更有别论今先明直线角

第二界

凡直线正垂于横直线之上必成两直

角相等如上图甲乙为垂线丙丁为横

线而乙之左右两角相等为两直角若

反以甲乙为横线则丙丁为甲乙垂线也【如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线】

第三界

垂线斜交于横直线之上必成两不等角两不等角一大

于直角一小于直角大为钝角小为鋭角如上图戊己庚为钝角戊己辛为鋭角故直角惟一而鋭钝两角其大小不

等乃至无数

第四界

凡二直线不能为有界之形故直线之形有界者至少有三角有三直线为边名曰三边形亦曰三角形如上图三边

形止有三种

第五界

三边线相等为等边三角形亦为平边三角形如上甲乙丙图

第六界

两边线相等为一不等三角形如上丁戊己图

第七界

三边线俱不等为不等边三角形如上庚辛壬图

第八界

三边形有一直角为三边直角形有一钝角为三边钝角形有三鋭角为三边各鋭角形如上三图

第九界

凡三边形恒以在下者为底在上边为腰如上图甲乙甲丙为腰乙丙为底

第十界

凡言角者俱用三字为识其第二字即所指角也如甲乙

丙角其乙字指角

三髀规章第二

规以二髀为常法或倍之于两端为四髀前卷己详之矣兹有三髀规新式造法两髀如常如前二卷中所设是也旁一髀即附于二髀之枢稍引长之出头其头端上有眼衔旁一髀令其圆活可上下左右如下图用法见后

于有界直线上求立等边三角形章第三

如甲乙直线上求立等边三角形先以甲为心乙为界或上或下作一短界线次以乙为心甲为界亦如之两短界线

交处为丙末自甲至丙丙至乙各作直线即所求于有界直线上求立一不等三角形章第四

如甲乙直线以甲为心任取一度或长或短于甲乙线上用前法作一短界线次以乙为心用前度亦如之两短界线

交处为丙从丙至甲至乙各作直线即所求

于有界直线上求立三不等角形章第五

如甲乙直线以甲为心或长或短用一度如前作短界线次以乙为心甲度长今用短度甲度短今用长度于甲乙不

等作短界线交处为丙从丙至甲至乙作两直线即所求

有直线角求两平分之章第六

如乙甲丙角求两平分之先于甲乙线

任截一分为甲丁次于甲丙线截甲戊

与甲丁等次或用元度或任取一度以

丁为心向乙丙间作一短界线次以戊

为心亦如之两线交处为己从甲至己

作直线即所求若向乙丙无地可作短

界线则宜仍以丁以戊为心向甲上作短界线为己从己至甲作直线即所求【如上图】

有直角求三平分之章第七

如甲乙丙直角求三平分之先任于一

边立平边角形为甲乙丁次分对直角

一边为两平分丁戊从此边对角作垂

线至乙即所求

有角任分为若干分章第八

如乙甲丙角欲分为四为八为十六等分则先分两分又各两分之得四又各两分之得八又各两分之得十六愈分愈倍如任欲分为几分如三五七九之类则先以甲为心向乙作一圜分次以规分圜分任作几何分末从所分度

至甲作直线即所求如上图

有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九

如甲乙丙三线毎两线并大于一线任以一线为底以底之甲为心第【二三】线为度向上作短界线两界线交处为丙次

向下作丙甲丙乙两腰即所求

设一三角形求别作一形与之等章第十

以所设三角形之三边当甲乙丙三线以前法作之即所求或又用前所备三髀规以规形所设三角形度移于别处

即所求

一直线任于一防上求作一角如所设角等章第十一

如甲乙线上有丙防求作一角如所设丁戊己角等先于戊丁线任取一防为庚于戊己线任取一防为辛

自庚至辛作直线次以前法于甲乙线

上作丙壬癸角形与戊庚辛角等即所

求

有三角形求两平分之章第十二

如有甲乙丙三角形求两平分之任于

一边两平分之于丁向角作直线即所

求

凡角形任于一边任作一防求从分两形为两平分章第十三

有甲乙丙角形从丁防求两平分之先自丁至相对甲角

作甲丁直线次平分乙丙线于戊作戊

己线与甲丁平行末作己丁直线即分

本形为两平分

有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四

如甲乙丙三角形甲边直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上

所作两直角方形并旣与乙丙上所作

直角方形等【原本卷四十七】则甲乙之羃【自乗之数

曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之

得百而乙丙之羃亦百百开方得十即

乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲

乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲

丙上两直角方形并旣与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此

新法算书卷八十五

钦定四库全书

新法算书卷八十六　　明　徐光启等　撰几何要法

界説章第一【凡八则】

第一界

方形者四直线两纵两横相遇所成亦谓之四边形如上甲图

第二界

四边形之四线等而四直角者为直角方形如上甲图

第三界

四边两两相等而俱直角者为长直方形如上乙图

第四界

四边等但非直角者为斜方形如上丙图

第五界

四边两两相等但非直角者为长斜方形

如上丁图

第六界

已上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形如上

戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也

第七界

凡形毎两边有平行线为平行线方形如上已图

第八界

凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊巳线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛

乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形

审矩章第二

凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之法矩以两尺纵横而成然必成直角方准若稍出入必为鋭钝两角而不成矩今欲审直角先审两尺之棱如首卷第

一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽则至准矣

一直线上求立直角方形章第三

如甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等次作丁丙线相联即得所求

有直线形求作直角方形与之等章第四

甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等【本卷第五第六章】而直角次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防或在丙防或在丙防之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为

心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛壬癸

有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设角等章第五

设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊次作丙戊己角与丁角等次自甲作直线与乙丙平行而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为

丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角

有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又与所设角等章第六

设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三【三角】形次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与

乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱仿此法