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新法算书

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内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等】三率乙角【三十六】一度五十二分　　或用丙角五十三度

正内数五九九九五　　　　其正内数八○○○三

四率得一四九九约得一丈四尺　　四率得二丈

为甲丙邉外数　　　　　为甲乙邉外数

用加减法

凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数进为万加○若过万则退位两率各当正向各表上取其弧两弧幷而相减求总存两弧之各余若总数过九十者两余相加其半为第四率总数不过九十者两余相减所存半之为第四率

如全数与二十五若五九九九五与所求数法二十五作二万五千正表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分两弧幷得五十度二十分其余为六三八三三相减存二十二度二十四分其余九二四五五两余之较二八六二三半之得一四三一为第四率与三率乗除所得同

用切割两线

二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己

弧截乙丙于戊则乙甲邉全数也甲丙

乙角之切线也乙丙乙角之割线也有

乙设角即有其切线与割线而求甲乙邉则乙角之割线与乙丙【外】若乙甲全数与乙甲【外】又求甲丙邉则乙角之割线与乙角之切线若乙丙【外】与丙甲【外】

一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五二乙丙外邉二十五　　或二乙角之切线七四九九一

三全数十万　　　　　○三乙丙外邉二十五四得二十为外甲乙邉　　四得十五为外甲丙邉

三法曰设直角傍之一邉如乙丙甲角

五十三度八分用正则乙丙为全数

其法为丙角之正与乙甲外数若甲

直角之全数与乙丙底外数

丙角五十三度八分之正八○○○三

乙甲邉外数二十

乙丙全数十万　　　　乙角之正五九九九五得二十五强即乙丙底外数　　得一十五强乃甲丙邉外数

用割切二线

四法曰设乙甲邉与乙角则甲乙全【内数】与其外数若乙丙割线【内数】与其外数或

若甲丙切线【内数】与其外数底与邉俱得

乙甲全数十万

乙甲邉数二十

乙角割线内数一二四九九五　　乙角切线内数七四九九一得二十五强即乙丙外数　　得一十五强即甲丙外数

第十三题【三支】

有两邉求余邉又求其角

一支两邉在直角之傍

一法曰先求邉用勾股法两邉数自之幷

而开方得直角之对邉【一卷四十七】次以邉求其角因角与角之比例若邉与邉用正数为丙乙邉之外数与甲角之全数若丙甲邉外数与乙角之正亦若甲乙邉外数与丙角之正

丙乙外数五

全十万

甲乙外数三　　　　甲丙邉外数四

用剖切线

二法曰丙锐角为心丙甲为全数甲乙其切线丙乙割线也先求角则甲丙邉

外数与全数若甲乙邉外数与丙角之切线丙甲外数四

全十万

甲乙邉外数三

得七五○○○为丙角之切线查得三十六度五十二分

有丙角自有乙角而求丙乙邉则全数与甲丙外数若丙角之交线与丙乙外数

全十万

甲丙外数四

丙角交线一二五○二二

得五为丙乙邉外数

二支一邉为直角之对一邉在直角之傍

三法曰先用勾股法两设邉各自之相减余开方得所求邉有邉求角则角与角之比例若邉与邉

四法曰不用开方用第一支求角法有二邉即有对角之数次求邉则丙乙全数与丙乙外数若乙角之正与丙甲外数

全数十万

乙丙外数五

乙角之正八○○○三

得四为甲丙邉外数

用割切两线

五法曰求角用乙角之割线则乙甲外

数与全数若乙丙外数与乙丙内数内

乙丙者乙角之割线也

乙甲邉外数三

全数十万

乙丙外数五

得一六六六六六为乙角之割线查得五十三度五十二分【丙角三十六度○八分】

六法曰求邉用乙角之切线则乙甲内全数与乙甲外数若乙角之切线与甲丙外数

乙甲内全数十万　　或乙角之割线一六六六七九

甲乙外数三　　　　　乙角之切线一三三三四九乙角之切线一三三三四九　　　乙丙邉外数五得四为甲丙邉外数　　得四为甲丙邉外数

又问有一邉及两邉之比例余邉几何

法曰设一邉与第二邉有比例或大或小则以大比例为前数为第一率设邉数为二率

比例之后数为三率用三率法得四率为第三邉之数次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲与甲丙若二十与二十五得甲丙一丈二尺五寸次用开方求之又问设两邉总之较问各邉若干此测量不常用见勾股索隠

又增题　三邉直角形设两腰以求角法曰设甲乙七十五甲丙百则以乙丙底平分于丁作丁戊垂线交丙甲腰于戊从戊至乙角作戊乙线是与戊丙等【一卷十】次以戊为心乙为界作丙乙己半圏丙甲腰引长至己即乙甲为丙甲甲己之中比例线【六卷十三】是乙甲上方形与丙甲甲己矩内形等次以乙甲邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己径之

数即知丙戊及戊乙半径之数用三率法外戊乙与全数若外乙甲与乙戊甲角之正夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半于心角则因乙【戊甲】角得丙角【三卷二十题】

甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一与丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半径

戊丙七八又八之一

全十万

甲乙七五

乙己弧正九六○○○

查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切线甲丙全数也丙甲为丙乙甲角之切线则甲丙一率也全数二率也甲乙三率也所得丙角之切线也

第十四题【论杂角三邉形】

有三角及一邉求第二第三邉

解曰依前论邉与邉若角与角如设乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○歩

法曰所有邉其对角之正为第一率邉数

为二率所求邉对角之正为三率得四率即所求邉数

丁角之正五八七七九

乙丙邉数一十

丙角之正九九四五二　　乙角之正八六六○○一得十七为丁乙邉　　得十五为丙丁邉

若三角形有钝角当借用其余角之正

第十五题【三支】

有角及其旁两腰求余邉余角

一支不论角之体势　如丁乙丙角形乙丁邉一十二歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙邉乙角丙角先以丙丁邉引长之丁为心乙为界作乙壬辛戊弧截引长邉于戊次作戊乙通从丁作丁庚辛线与丙乙平行末平分戊乙作丁甲壬线

解曰乙丁丙角二十四度半强则乙丁戊角

必一百五十五度半弱庚丁戊角与丙角等【在平行线内】庚丁乙角亦与丁乙丙角等盖丁乙线交两平行线故其相对两内角等则乙丁邉与丙角之正或庚丁戊角之正若丁丙与乙角之正或庚丁乙角之正依显戊庚与庚乙若庚丁戊角之正与乙丁庚角之正亦若乙丁【一十二】与丁丙【一十五】也【本卷四题】次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半为外一率甲丁戊角之切线为内二率甲戊内减比例之小数戊庚存甲庚一有半为外三率求得甲丁庚角之切线为内四率查得本角之度知甲丁戊角则亦知甲戊切线知甲庚庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线甲庚也甲丁庚为乙丙两角之较以加减得各角之数

乙丁邉十二丁丙邉十五总二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小数即十二余一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙两角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也

法曰乙丁丁丙两邉数幷半之为第一率乙丁戊角之数半之为甲丁戊其切线为二率甲戊内减去比例之小数十二所存甲庚为三率得甲丁庚角之切线查度以减甲丁戊外角所存为庚丁戊角之度即丙角之度既得角则用前法求邉【或两腰总数作第一率两腰较作第三率】

甲戊十三有半

甲丁戊角之切线四五八○○一

甲庚有一半

得五○八一五为甲丁庚角之切线查得二十六度五十六分

甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分余五十度四十五分为丙角则乙丁邉与丁丙邉若丙角与乙角

二支所设为钝角解曰如丁乙丙角形丙钝角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙邉一十五歩用设邉如乙丙引长之从丁作垂线至引长邉得甲在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙钝

角则丙丁乙丙乙丁两角小于甲丁乙丁乙甲两角盖每角形之三角幷等两直角钝大于直则所余两角幷必小于直角之两余幷矣故丁甲线在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其余角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正用开方丁角为心丁乙邉为界作戊乙辛圏分又丁丙为界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙两邉其法全数与丁丙若甲丙丁角之正与甲丁甲丙亦如之既得两邉开方求丁乙邉【甲丙丙乙幷之得勾丁甲为股故也】

全数十万

丁丙邉外数十二

甲丙丁五十度角之正七六六○四　甲丁丙四十度角之正六四二七九得九又一百之十九为甲丁邉外数　得七又一百之七十一为甲丙邉外数【甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十】自之幷得一万之六○○二四三五开方得一百之二四四九即丁乙邉约之得二十五不足有三邉以求角则丁乙邉与全数若丁丙邉与乙角之正查得二十二度有竒

用割切两线丁为心作甲己象限圏即丙丁为丙丁甲角之割线甲丙其切线也乙丁为乙丁甲角之割线甲乙其切线也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙两锐角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙两腰得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩又一百之七十一以丙乙丙甲幷为甲乙邉二十二歩有竒则甲丁乙三角形有甲丁甲乙两邉开方求丁乙底得二十四歩

半有竒

甲丁丙角割线一三○五四

丁丙邉外数十二

全数十万　　　　　　甲丁邉角切线八三九一○得九又一百之十九为甲丁邉外数

有三邉以求角则甲丁邉外数与全数若甲乙邉外数与乙丁甲角之切线

甲丁邉数九歩一十九分

全数十万

甲乙邉之数二十二歩七十一分

得二四七一一六为乙甲丁角之切线查得六十度五十分

三支所设为锐角解曰如丁乙丙角形乙锐角二十四度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五之十一一法用正数亦用开方从乙丙底之对角丁作垂线分元形为甲乙丁甲丙丁两形次以丁为心丙为界作寅丙壬弧又以乙为界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙为全数设乙角则甲丁为正甲乙又丁角之正用法求甲丁为一十五歩求甲乙为二十二歩又一十五之一十一则以甲乙减丙乙存甲

丙线二十歩依显丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙二十歩用开方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁角得三十六度五十○分

全数十万

丁乙邉外数三十六

乙角之正四六六七　乙角之余九○九○六得十五为丁甲邉外数　得二十三又十五之十一为乙甲邉外数丁丙邉二十五

甲丁邉十五

全十万

得六○○○○为丙角之正查得三十六度五十五分

用割切两线丁为心丁甲垂线为界作己甲午半圏丁

甲乙角形丁甲为全数丁乙邉为乙丁

甲角之割线甲乙其切线也又丁甲丙

角形丁甲为全数丁丙邉为丙丁甲角

之割线甲丙其切线也丁乙甲角形有

丁乙邉三十六歩有丁角为乙之余角

六十五度二十二分用法求丁甲甲乙两邉于丙乙减甲乙存二十为甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲丙两邉用法求丙角亦求丁丙邉

乙丁甲角之割线二三九九九九

丁乙外邉三十六

全数十万　　　　　乙丁甲角之切线二一八一七三得十五为所求外丁甲　得三十二又十五之十一为外甲乙求角甲丁邉十五

全数十万

甲丙邉二十

得一三三三三三为甲乙丙角之切线查得五十三度○七分求邉全数十万

甲丁丙角之割线一六六六六五

丁丙邉十五

得二十五弱为丁丙邉

甲丙甲丁两邉之正方实幷而开方得丁丙二十五弱第十六题【四支】

杂角形设两邉及一邉之对角求余邉余角

一支不论角之体势依邉与邉若角与角比例之法

先求乙角则丁乙为外一率其对角【即丙角】之

正为二率丁丙为外三率所得为乙角之正以丁二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列数得之丁乙邉二十五歩弱

丙一百三十度用五十度角之正七六六○四【为一当大小两弧】

丁丙邉十二

得三七五○○为乙角之正查得二十二度○二分

幷乙丙两角之度以减一百八十余二十七度五十八分得丁角

次有角求丙乙邉则乙角之正与外丁丙若丁角之正与外丙乙

乙角之正三七五○○

丁丙邉十二

丁角之正四七○○○

得十五为丙乙邉

二支所设为钝角【数如前】用所设两腰间之丁角为心以丙以乙为界各作弧用正数如十四题第一图丁丙乙钝角一百三十度则甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度【甲直角故】求甲丁邉用前法【如一图】又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角【如二图】　又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙

角依前法求丙乙邉【如三图】

全数十万

丁丙邉十二

甲丙丁五十度角之正七六六○四

得九又一百之十九为甲丁邉数

丁乙邉二十四歩半　乙角之正三七五○

全十万　　　　　　丁丙邉十二

甲丁邉九歩又一百之十九　丙甲乙角之正四六八九六得三七五一为甲乙丁角之正　得十五为乙丙邉

用割切两线甲丁为全数丁丙为甲丁丙角之割线甲

丙其切线也丁乙为甲丁乙角之割线

甲乙其切线也今有丁丙乙角一百三

十度余角甲丙丁必五十度则甲丁丙

直角形有两角有丁丙对直角之邉而

求甲丁邉

一图

甲丁丙四十度之割线一三○五四一

丁丙邉十二

全数十万

得九又一百之十九为甲丁邉外数

二图

或甲丁丙角之切线八三九一○为三率

得七又半不尽为甲丙邉外数

三图

甲丁邉九有竒

丁乙二四半

全数

得二六六五九四为甲丁乙割线查得六十七度二十三分【乙角之度二十二度○十○分】四图

全数

甲丁邉九有竒

丙切线之较一六一三五

得十五为丙乙邉

又甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线丙乙为两切线之较则全数与甲丁邉若切线之较与丙乙【如四图】

三支三角形有两邉及锐角其二亦锐角如丁乙丙形有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁乙丙锐角二十四度三十七分丁丙为其对邉法用所设两腰间之丁角作甲丁垂线至丙乙邉用正数丁为心丙为界作

戊丙弧乙为界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有乙角可求甲【丁甲乙两】邉【如一二图】甲丁丙角形有甲丁丁丙两邉可求丙角【如三图】可求丙甲邉【如四图】

一图

全数十万

丁乙邉三十六

乙角之正四六六七

得十五为甲丁邉外数

二图

或乙丁甲角之正九○九○六为三率

得三十二又十五之十一为甲乙邉外数

三图

丁丙邉二十五

全数十万

甲丁邉十五

得六○○○○为甲丙丁角之正查得三十六度五十○分四图

全数十万

丁丙邉二十五○○○○

甲丁丙角正八○○○○

得十五为甲丙邉外数

用割切两线丁乙为乙丁甲角之割线甲乙其切线也即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙两邉【如一二图】又甲丙丁角形有甲丁丁丙两邉可求

甲丁丙角甲丙邉【如三四图】

一图

乙丁甲角之割线二三九九九九

全数十万

丁乙邉三十六

得十五为甲丁邉外数

二图

或乙丁甲角之切线二一八二五一

得三十二又十五之十一为乙甲邉外数

三图

甲丁邉十五

全数十万

丙丁邉二十五

得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分四图

全数十万

甲丁丙角之切线一三三四九

甲丁邉十五

得二十七又十五之四为甲丙邉外数

四支所设为锐角有两邉其旁为钝角

一法用正数如丁乙邉二十四歩半丁丙邉一十二歩乙锐角二十二度○二分丙为钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲

乙两邉【如一二图】甲丁丙直角形有甲丁丁丙两邉可求甲丁丙角【如三图】甲丙邉【如四图】

一图

全数十万

乙丁邉二十四歩半

乙角之正三七五一五

得九歩又一百之十九为甲丁邉

二图

或甲丁乙角之正九二六九七为三率

得二十二又一百之七十一为甲乙邉

三图

丁丙邉十二

全数

甲丁邉九又一百之十九

得七六六○一为甲丁丙角之正查得五十度四图

全数

丙丁甲角之正六四三○一

丁丙邉十二

得七又一百之七十五为甲丙邉外数

用割切两线法与前同

第十七题

三角形有三邉求三角

三邉等则三角亦等各角皆六十度于一百八十度为三分之一或两邉等如丁乙丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本

形为甲丁乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰则两形必等【一卷八】即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角与角若邉与邉用三率法求之先置各腰五歩乙丙六半之为乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角余为乙丙两角幷之数半之得两角数为两角等故

丁乙邉五

全数

乙丙邉三

得六○○○○为乙丁甲之正查得三十六度五十二分

甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数

或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五歩丙乙一十八歩用丁角为心【此角在两小腰间】丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引长至戊依五题求甲乙得五歩半甲丙得一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲

丙两邉求得丙丁甲角【如一图】因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角【如二图】因得甲乙角又幷两角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之余故

一图

丁丙邉十五

甲丙邉十二半

全数

得八三三三三为丙丁甲角之正查得五十六度二十六分二图

丁乙邉十

乙甲五半

全数

得五五○○○为甲丁乙角之正查得三十三度二十二分即丙角

新法算书卷八十七

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

钦定四库全书

新法算书卷八十八　　　明　徐光启等　撰测量全义二

第一题

平靣测远【三支】

一支测两物之能到者　一法曰甲乙

为地平靣上江河之广或土田道里之

远欲从甲测去乙几何于甲角上平安

象限仪之心【后言象限或言仪平安言安省文】两边向

乙向丙作直角次从甲向丙行任取一十二步为丙防丙上再安象限边向甲窥衡望乙交象限之周线于丁定丙角为四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙边丙角而求甲乙边法为全数与甲丙边外数若丙角之切线与甲乙边外数也算得一十三步又三之一为甲与乙平靣相距之远【象限仪法见本篇第三卷窥衡或作指尺义同】二法曰丁乙为两所不能作直角或不欲或地非平靣【山水林木屋舍所隔】则丁安象限边向乙窥衡向丙定丁角为六十二度向丙行

任取一十二歩丙上再加象限边向丁窥衡望乙定丙角爲八十度成丁乙丙角形此形有丁丙边丁丙两角自有乙角而求乙丁边法乙角之正与丁丙边外数若丙角

之正与丁乙边外数算得一十九

歩又五之一爲乙与丁相距之逺丁

爲钝角亦如之　三法曰或从丁向

丙线持象限前却取得甲直角是乙

丁为直角之对边也法全数与外甲

丁若丁角之交线与外乙丁

四法曰若丁爲钝角上安象限面移丁丙线外边向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角爲五十度以并戊丁乙直角得钝角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁边一丈二尺丙角二十四度法乙

角之正与外丁丙若丙角之正

与外乙丁得一丈七尺七寸

五法曰丁安象限边向乙衡向任取

之丙表得二丈从丁直视过丙至己