新法算书

三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱仿此法

有多直角方形求并作一直角方形与之等章第七

如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线

旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线上所作直角方形即所求

有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设角等章第八

如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等

末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求

一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角又与所设角等章第九

设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚

平行方形与乙角形等而戊己庚角与

丙角等次于庚己线引长之作己辛线

次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引

长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作

对角线引出之又自丁庚引长之与对

角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求

设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等章第十

先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角

而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末

于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半

于直角己戊己丁两腰相遇于己而等

即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形等

两直线形不等求相等之较几何章第十一

甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁

丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊

己为相减之较矣

有圜求作一直角方形与之等章第十二

方圆圆方之法自古名贤究折而未准

吾师丁先生几何六卷之末设此神法

其法之用甚广今撮其要以推作方圆

圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次

以乙为心以甲为界作甲丁限象任分

为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁两线对望作平行线其与限象线交处俱作次从甲作曲线贯诸防贯诸防之线则甲戊线为方圆圆方之根线而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有

子丑圜或大或小其半径与乙辛等先

作一寅卯直线立一辰己垂线次从己

起取己午午未各与乙壬等次取己申

与乙辛等次两平分申未于酉以酉为

心以申或未为界作半圜切垂线于辰

末取己辰作直角方形之一边则此方

形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等

有直角方形求作一圜与之等章第十三

如有甲线为方之边先取一圜依前法

求其作方之线如前度得申己次作辰

申直线次截戊己如所设甲线等次自

戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为

半径之度作一圜即得所求

推用一法

依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等

新法算书卷八十六

钦定四库全书

新法算书卷八十七　　明　徐光启等　撰测量全义叙目

测量全义十卷前九卷属法原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然者昧昧不知所徃即使沿其流齐其末穷智极虑求法之确然不易弗可得已况天之髙星辰之逺厯数之且隠也而不究其原可乎旋观徃代如二十一史所载汉以后诸家之厯详矣大都专求法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫覩大全杂以易卦乐律益增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法之原有二其一则象纬之原也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七政本论防而通之聊足着明矣此书所论则推测之原也古今言推测者又有二其可以形察可以度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物以为数论其几何众曰算法也厯象之家兼用二法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之属有四曰防曰线曰靣曰体引为线线展为靣靣积为体究此四者诸有形有质之物细若纎芥钜若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不过曲成不遗也不可为度线不可为形必三线交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧厯无从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近逺者也三角形繇两视线一径线径线者所测物之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政为逺大之形形絶不等然其为三角等则比例必等因而用小推大用近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫学难者必自近也学微者必自显也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之百物次卷所测测地与物以此故也然而测一物之髙一山之髙与测日月星辰去地之髙也无以异则亦通大小通逺近者也其次进而测靣靣者平方平圆之类其变不可胜穷也然而测物之靣与测地景之靣测日月星之靣其理一也又进而测体体者立方立圆之类其变不可胜穷也然而测物之容与测地之容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者也既曰通焉而不言逺大先言近小者则所以习之也习之奈何习手与目以求其贯也习心与意以求其信也不习不贯未有能信者也习且贯未有不信者也故习小习近言逺大者之所求也夫论度数至于测体深矣微矣然而皆平靣直线也天则圆体其靣圆靣其线曲线也测圆靣之难十倍平靣测曲线之难十倍直线盖圆与曲谓之弧而测弧无法于无法中求有法其势不得不难世有传弧矢算术测圆术者皆非术也其本术稍见于大测其为数则割圆八线表而此书第七至第九则言其理与法也盖以弧背求矢用测曲线三角形展转推求展转变易凡周天众规相交相距所以经纬七政运行四时推迁运防者上下百千万年可知也诸天诸曜种种运行悉无一定之法其为纷莫可胜原此弧诸法则何以能追求至尽乎盖所论者非诸曜自行之度数而宗动天之度数也宗动者不依七政而能为七政之凖则厯家谓之天元道天元极天元分至终古无变易也因此推歩是以有恒御无恒厯家之立法最难在此其用法最易亦在此矣终之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不验教者非器无以措其辞学者非器莫能领其意巧者非器未繇见其长拙者非器有所匿其短是以唐虞钦若首在玑衡厯代以还屡更其制据今所有则浑天仪简仪立运仪浑天象四器也而年逾数百久阙缮治地址倾垫枢轴锈蚀浑天一仪不复运动简仪立运犹似堪用复少黄道规环且测多端止慿一器架柱森列多成映蔽均赋辰度尚未精宻刻定宿度则又元时所测非今测也此卷中分列诸器择其最急畧有五种曰测髙仪曰距度仪曰地平经纬仪曰赤道经纬仪曰黄道经纬仪有此诸仪相袭并用彼碍则此通可以无求不得矣更求宻测责以分秒无差则一式又湏三器三器俱列用相参较三测并合则制器精工安置如式测验得法灼然具见矣有不合者可以推究病源更求厘正厘正之后测复参差则择其同者用之若止据一器有得即真乌从知其然不然可不可乎且旧仪大环径止五尺二寸度止十分今拟新式用半径者六尺则三倍大也度得百分则十倍细也用全径亦六尺度可六十分亦六倍细也夫今之改宪欲求倍胜于古非倍胜之器谅无从得之矣或疑法器重大取数复多即用物必奢是又不然今之旧仪不能揣知轻重大都唐宋以来考诸史志约畧相等宋史言东都浑仪四座每座约铜二万余斤今拟诸式槩从轻省若得宋元一仪之费足以尽造诸器有余矣且每式三器诚不可少若宛转相就则经纬仪可以得距地平仪可以得髙一倍本数亦能通用或五大既全稍从狭小以为副贰兼用精铁以省铜材固无不可则所计一仪之费尚可损其半也惟是旧仪欲将脩改则一器止堪一用其脩改之费恐过于造作计不当为之耳惟浑天象止以测到度分量度经纬在于施用未为闗切今体制完美无烦再造矣

界说二十三则

第一界

正弧全圏四分之一或大焉或小焉

如图甲乙丁为全圈之半乙丙丁为四分之一是名一象限九十度正弧之大无过于此若甲乙丙则大于象限丙丁则小于象限但

小者皆名正弧而大者则名过弧

第二界

余弧正弧之剰分

如庚己正弧庚乙为余弧是正小于己

乙也如庚丁过弧则大于丁乙而庚乙

为过弧之余弧也

第三界

通者通弧之相当线分圏为两分【相当线亦名对线】

如庚丙线与庚乙丙弧相当又与庚己子丙弧相当第四界

圏内线极大过心者为圏径

如己戊丁是

第五界

正之半

如丙甲庚半之为丙甲正当丙乙弧又丙辛子半之为丙辛正当丙丁弧或曰正者从圏上一防作垂线至己丁径上则丙辛为丙丁弧相当之正第六界

余余弧之正

如丁丙正弧则丙乙其余弧丙甲为丙乙之正丙丁之余

第七界

倒者余与半径之较亦名矢

如丙甲余与辛戊线等以辛戊减丁

戊半径存辛丁为丙丁弧之倒亦为

丙丁弧之矢

第八界

全径之半象限弧之正

第九界

直线角在圏心或大或小皆居对弧两腰间【相当弧亦曰对弧】如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧则角生于丙戊丁戊两腰间

第十界

余角者余弧之正角【对角亦名正角亦名相当角】

如丙戊乙角为丙丁正弧之余角即丙乙余弧之正角第十一界

切线者圏径界之垂线亦名切圈线在圏外【如下界之丙甲线】第十二界

割线者直角之对线亦名交线亦名截线在圏之内外如甲戊丙形甲直角【凡言甲角当九十度弧之直角】戊为心丙戊交圏于乙割线也此线限心上角

限甲乙弧则角与弧胥生于甲戊戊丙两腰间又曰正割线者正弧之割线如甲乙正弧则戊丙正割线也第十三界

余切线者余弧之切线

第十四界

余割线者余弧之割线

如戊丁余弧乙己为割线是甲戊弧之余割线

第十五界

全圏三百六十度半径之全数十万平分【或用一万或用百万千万皆可】第十六界

设弧者任取全圏之一分【凡言设者先有定数也或称有或称得】

如甲戊丙角形戊为心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度则甲乙为设弧也

第十七界

设角者设弧之角

如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙角言角之度分即对弧之度分

第十八界

设正

如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所设丙丁弧之正

第十九界

设切线

如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线

第二十界

设割线

如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线

第二十一界

设邉线

如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所设邉线

第二十二界

方数者方形邉自乗之数

如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等

方形根者开方所得方形一邉之数

第二十三界

平形有方有矩【方者直角方形矩者矩内直角形】

矩形邉两两自相等有一邉有实用算得所求他邉开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得省布算焉简法见筹算

测量全义卷一

第一题

通与通弧正与正弧比例等【比例等后省曰若】

解曰有己庚乙丙丁圏其通径己戊丁戊上作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则庚甲丙为庚乙丙通弧之对题言

庚甲丙通与庚乙丙通弧之比例若丙甲正与乙丙正弧

论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两旁直角等甲戊同邉则两形必等两角之对弧亦等【几何三卷二十六】故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙两半比例等

第二题

圏内正弧等正亦等反之正等正弧亦等

解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂线截径于辛于壬作直角平分两

【三卷第三】亦平分丙丁戊乙寅己两弧【三卷三十】是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等则其丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既等则丙辛乙壬两正必等

论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等【三卷二十七】丙辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三角形必等故丙辛乙壬两正必等反之丙辛与乙壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙庚辛乙庚壬两角亦等【一卷第八】而丙丁乙寅两对弧必等【三卷第二十六】

第三题

圏之内大弧大小弧小反之大大弧小小弧各相对

解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧题言己卯大于庚寅

论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛各

作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅辛壬两半等【本卷二】即庚丑辛子两全亦等【三卷第三】己癸近心大于辛子【三卷十五】是全大于其全也【五卷十五】己卯视辛壬半不大于其半乎次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等【皆在两平行线内】甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己卯大必大于辛壬小是大对大弧小对小弧也第四题

圏径截亦截弧任分之两分与两弧之正各相似解曰有圏径乙辛截丙丁通于己截丙乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各正为丙甲戊丁题言丙己己丁两分

与甲丙戊丁两正比例等

论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等【一卷三十二】是形与形邉与邉俱相似而丙己己丁两分之比例与丙甲丁戊两正自相似

第五题【三支】

三不等角形作垂线任分底为二其大分依大邉大邉上方大于小邉上方其较为底全线偕分余线矩内形先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁丙次之乙丙大为底【凡邉大者为底】从丁角作垂线至底题言分底为二者谓垂线之甲在形内盖乙丙邉大即对角之乙丁丙角

亦大乙丙两角必小如谓在形外即以乙丙邉引长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙己钝角【甲乙丁为锐角故也】又有己直角是两角大于两直角也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大分依丁丙大邉

论曰丁丙邉既大于丁乙邉即其上方形亦大而丁丙上方与甲丁甲丙上两方幷等【一卷四十七】则甲丁甲丙两邉幷亦大于甲丁甲乙两邉幷试减同用之甲丁则所存

甲丙亦大于甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内形论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等【二卷第六】次各加一甲丁上方形则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲【即甲戊也】甲丁上两方形或丁乙上方形【乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七】与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形

第六题【四支】

三不等角形从角作垂线任分底为二知其邉数即知各分数

解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较法曰丁乙丁丙上两方之实相减余者以底数而一得戊丙以减底数余者半之得乙甲

小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形幷为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之数约之为五又三十六之十九者二

三解曰以丁大角为心丁乙小邉为界作全圏截丁丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等【三卷三十六】乙甲甲戊又等【三卷三】丙乙大邉有戊丙分在圏外

法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二十以己丙五乗辛丙得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六又十八之

十七为戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角为心丁丙大邉为界作全圈乙丙底引长于戊丁乙邉引长于庚于己即庚乙乙己矩内形与丙乙乙戊矩内形等【三卷三十五】丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙两邉幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五

与庚乙相乗得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六有竒为戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七题

断比例之四率以三推一名三率法

解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率相乗与首尾两率相乗得数等故二三相乗为实第一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称为全法焉【同类异类反理转理俱见几何四卷】

第八题

三邉直角形锐角为心底为界作象限圏半径为全数在心角对邉为其弧之正其旁为正弧之余余弧之正解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙丙底为界作丁己象限圏引乙甲邉于丁从心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对邉作全数【本界说八】丙甲邉为在心角之对邉即丁丙弧

之正【本界说五】而甲乙邉为丁丙正弧之余为丙己余弧之正所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等【一卷三十四】丙己弧为丁丙正弧之余弧丙戊为丙己余弧之正为丁丙正弧之余【甲乙同】

又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲

为丙角之对邉为乙丁正弧之正甲丙其余【乙戊同】第九题

三角形邉与邉之比例若各对角之正

解曰题一言直角形依前论各邉为对角之正在心角与正弧与正俱同理则弧与弧与角与角其比例俱等二言三邉等即三角俱等【一卷五】角之正亦等则邉与邉皆若角与角三言己乙丙杂角

形三邉形不等则以己乙小邉引长于丁为乙丁与己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底

论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各邉俱相似【六卷四】则乙丁与乙辛若乙己与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己邉与丁辛若己乙邉与甲己也夫丁辛为乙角之正甲己为丙角之正更之则丙己邉与己乙邉若乙角正之丁辛与丙角正之甲己也

第十题

有三角即有三邉之比例

解曰直角形设一锐角自有其二【一卷三十二】三邉等形设一邉自有其三两邉等形有腰间角以减两直角平分其较自得底上角杂角形有两角幷以减两直角其较为第三角【杂角者总直钝锐也下文以直角为例】如乙角四十二度查正得六六九一三丙角四十八度得七四三一四则丙甲邉与乙甲邉若六六九一三与七四三一四约之为三十三与三十

七有竒也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正六六九一三也钝角同理

第十一题

三角形有设角之比例即有各角之几何

解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙角若四与六题言可得各角之几何

论曰三几何分之有比例幷之亦有比例【五卷十八】乙丙丁三角幷得十三其与丙若十三与六与丁若十三与三与乙若十三与

四

如求每角几度则用三率法三角幷为第一两直角幷一百八十为第二每角之分数为第三推之得第四

或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以第一第三相乗所得为第一率以第二第三相乗所得为第二以第三第四相乗所得为第三【再用前法】又如乙与丙若三与四丙与丁若五与六列数如图

第十二题　论直角三邉　【四支】

三角形有锐角及直角之对邉求余邉

一法曰置【三角形之直角之对邉也】如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲邉以乙角为心作

丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲邉乙角之正也一率甲直角之全数十万

二率丙乙邉外数二十五尺【言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等】三率乙角【三十六】一度五十二分　　或用丙角五十三度