新法算书

边丁甲两

角可得甲乙边或先得甲丙以丁为心作丁戊线与甲

丙平行戊为界作弧丁戊为全数以

乙丁戊甲丁戊两角之切线较求之

九法曰甲乙高人在戊次高求测之

先求甲丙因成戊乙甲形依地平作

戊丁线与甲丙等分乙戊甲为乙丁戊甲丁戊两直角形各有戊丁边有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用

第八题

因远测高

一法曰知甲丙之远乙上立象限作甲

乙丙形测之

二法曰不知甲丁之远山上求树求屋

作乙丙垂线各向丁立象限成乙丙丁

形意置甲丁地平平行线引乙丙垂线至甲正切线任用测之【亦重表法】

三法曰在山上知丙丁之远测乙甲高

乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂线

及甲丙地平平行线正切线任用

测之

四法曰丁高之上欲测乙戊先求甲

丙次作丁戊乙形测之

五法曰次高戊上测最高乙甲于丁

戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙两形测之

第九题

测井之深

深者立远也去人而近地心测深与测高通人在物底为量高在物顶为量深

一法曰测井从口一边垂线至底或

视口广狭从口边投之以石至底作

旋涡定其处如甲戊丙丁井甲戊口

丁丙底投石作旋涡得乙为视线之界戊立象限向乙

成甲戊乙直角形有甲戊边戊角得

甲乙之深

二法曰不知井口于口边立表表端

加象限作甲丁乙形测之

第十题

登山测谷之深

一法曰丁乙丙谷在于欲测甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙两形测之

二法曰丙可到丁于丁于丙立象限

成丁丙乙角形有丁丙两角有丁丙

边用切线较得之

新法算书卷八十八

钦定四库全书

新法算书卷八十九　　　明　徐光启等　撰测量全义卷三

取地平线法　増题一

凡测髙深广逺必用直角者以小句股求大句股也地平为句所测髙为股股者垂线也垂线之末加权焉以定地平有本器本论今用象限与矩度则于器心施权线平直相切于象限之边其表边所向之处别立他表则他表与器之心为平行线如

一图甲乙为物髙丙上加器表边在上旁以

权线凖之从丙直视至甲定甲为他表则

甲丙线为地靣上平行线何者垂线从天

顶向地心与地靣上平线为直角故也

若道里相距太逺难定其髙下之较何

者地靣为地球之一分分也逺则目

与物为背所隔不相及矣法以相距

之逺分为若干分每两分定其髙下之

较末以各较加减之得总髙下之较如

二图甲乙相距四里许乙上加器别

立丙表令乙与丙等髙丙上加器别

立丁表令丙与丁等髙丁上加器望

甲令甲与丁等髙次量各表距地各

几何加减之得甲乙之较

值两地之间为山城所隔如三图量

乙距丙几何令乙与丙平丙之表端

为丁距戊几何令丁与戊平戊下取

己与丙平戊己距庚辛表几何定己

与庚平戊与辛平庚辛距壬癸表几何令辛庚与壬癸平从壬癸望甲令癸与甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并两数相减余为两地髙下之较如近乙之丁丙与己戊并多于近甲之庚辛与壬癸并则乙下而甲髙深浅反之

若山城中穷于用器则于山腰用之又别有简法曰山顶戊用器求甲与乙之深两数之较则髙下之较【四图】

如在乙欲测甲髙乙上用器令乙与丁平则量丁乙之逺而求甲丁之深【五图】

矩尺测量法　増题二

法曰如一图欲于丁测甲乙之髙丁上立表表端为山

口矩尺之直角加焉以己戊

尺向髙际乙稍移就之令己

戊乙为直线次从戊己尺上

依直线向地平得丙成丁戊

丙甲乙丙相似两形则丙丁与丁戊若丙甲与乙甲以髙求逺则戊丁与丁丙若乙甲与甲丙

若据髙求逺如二图丁丙与戊丁若戊

丁与丁乙若因逺求髙则戊丁与丁丙

若乙丁与戊丁　论曰戊丁乙戊丁丙

两形有丁直角丁丙戊丙戊丁并为一

直角丙戊乙亦为直角两角内减丁戊

丙角余戊丙丁丁戊乙两角等夫直角形有两角等即形相似则丙角之对边戊丁也乙戊丁角之对边丁乙也其比例必等

求井之深则于井口边甲上

立表向井底乙向地平之丁

成甲丁丙丙戊乙两形相似

是丙甲当广甲丁当深也

测极逺别法　増题三

两郡邑相距太逺以髙求逺表法为

穷则用四表遇地靣不平四表法又

穷别法每邑取一髙若山巅若楼防

若林木俱可或并为诸物又地平为

他物所碍则又穷当于气清日朗风恬时烧狼烟直上作两处之表次于近山之顶取甲取乙甲山上加象限

向所测之丁与丙又向乙山定丙甲

丁乙甲丁两角乙山上加象限向甲

向丁向丙定丁乙丙甲乙丙两角夫

甲乙丙形有甲乙边乙甲两角可求

甲丙边甲乙丁形有甲乙边甲乙两

角可求甲丁边未甲丁丙形有甲丙

甲丁两边可求丁丙相距之逺若一次不能测则分测之如以甲乙测丁丙以乙辛测丙戊以辛庚测戊己

量髙逺深　増题四

用方木表承以鼎足之跗垂权取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔长寸许广三分贯以横表游移无定亦以十或百平分之纵横作直角

解曰如一图欲测甲乙之髙丙上立

表横表游移令丁戊乙为直线成丁

戊己丁乙庚两相似形即丁己若干

分与己戊一百分若丁庚与乙庚加甲庚得全髙

以髙求逺则戊己一百分与丁己若

干分若乙庚与庚丁减丁己得甲丙

逺物在下目在上如二图令戊丁丙

作直线则戊己与己丁若戊甲与甲

丙

若无髙求逺则用重表如三图以丑

壬两测之较当庚癸相距之逺

髙上测髙用重表再测但须定表横

用游表直用在丙得己丙在丁得丁

戊其较庚己以当丙丁横表己辛

以当甲乙

在一髙测两下在丁向乙向丙定

横表之两数则丁戊当丁甲戊辛

当甲丙己辛当乙丙己戊当甲乙

用五图以逺求髙其理亦同以逺

求深或井口上立柱用四图以井

口之度求深用二图

造象限仪法【篇中或省曰象限或曰仪】

用铜或木板作圏四分之一去板边三分作甲乙直线平靣中任取丙为心甲为界作甲丁虚圏交甲乙线于戊从戊过丙作直线交甲丁圏于丁从甲至丁作直线

成丁甲乙直角【几何用法】次以甲为心去

版边一二分取乙为界作乙庚圏即

四分全圏之一象限也圏限外余版

剡去之次离乙庚弧以内约二分作

相似弧两弧间平分各度分又同前作相似弧两弧间识其十度或五度从庚从乙皆可起算互用之庚后作小孔贯以权线至甲【若作两指尺可不用权线】

窥衡一名指尺铜为之首为小圜径

三四分从心出直线名指线以定度

分所至也广三分厚一分长与象限

之半径等上设二表一近心一近秒秒以钩钩象限边令游移而不脱表形方髙广约四三分中作直线鑢通之下为小孔表之下端为半枘入尺中令两表之前后两缝两孔皆相对不爽毫发于指线为垂线象限边上亦设二表如上法葢测量法每用两指线以定两测所

在也或作两指尺同心同线可定可

移尤便

如图以木为架上为半圏两端开山

口深三四寸以受象限

用象限法

架口受象限之甲乙边以庚甲线取

平焉仪靣正对所测物从窥衡觑物

与指线相参直得指线如弧所当度

分则从乙至指线者地平上之髙也从指线至庚距天

顶之髙也

次法以架口受象限之弧

甲心上别用权线下垂过

弧甲庚边上立表游移觑

表与物参直审权线之度

定物之髙从乙角起者地

平上之髙也从庚角起者

距天顶之髙也

三法若地或平或欹则别作圆转之架上端为球空大半作实球与空球等入空中鐡枘指外径二分长寸许

旋转廻斡不出大球之口空球旁加螺

旋三具俟实球之体定而固之　仪后

靣中心作孔受实球之枘用时以枘入

孔转仪得其靣与所测物为直线以螺

旋固之

象限之用有二一定仪如首图其一边与地平为平行线以窥衡定地平上之度一游仪如二图用权线其理同也何者游表边与定衡同向一物作平行线定仪之立边与游仪之权线作平行线则窥衡与立边所作角表边与权线所作角等弧亦等

造矩度法

用铜木板作正方直角形如象限法任用一角为心两

旁作直角两线如甲乙甲丙次用元

度乙丙各为心各作小弧交于丁次

作丙丁乙丁两线成甲乙丙丁正方

形各边作一百分毎对边分以直线

相聮成网目形器小每五分十分作

直线器大更细分之

角止作心加窥衡加权线任用架具于前

定仪于立边书髙深平边书逺游仪于表旁边书逺对

边书髙深以便别识

约法象限弧之内空作矩度其窥衡

指线上分即矩度边之分是指线当

权线也为用殊大若欲取最小之分

则加两窥衡两指线相合为一线用时分指焉安衡法管端之小圜心开圆孔象限心则方孔为螺柱当圆为圆当方为方末圆而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙两角各为心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙为三分而等各又三分之为九分又各半之为十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界为心左右参差定防毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同【论见几何用法】分矩度法先平分之又平分之又各五分之为二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分

造小象限法

正方版一角为心作象限之弧弧外

两边二平分之又三平分之至四至

五六七八九十各平分用界尺从心

至各分为界弧上作踈宻线线以内

书各分其弧外余板去之加权线与矩度同用

用法　以表向物如前遇权线截弧表之旁则髙多逺少截表之对边则髙少逺多如截表旁为二分则逺一髙二截五分则逺一髙五反之则髙一逺二逺一髙五说见二卷矩度法中

又法以甲乙边当一百依前法分乙戊弧为一百不平分若权线至己则股一百句五十也至辛则股一百句一十也转用之权线至庚则甲丁股一百句五十也

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十九>

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法用平版如几案置仪其一端仪之心以当两测之初所定仪用防表左右迁移令二表与次所相叅直即于两表间作一线名曰主线主线之左右视所绘之物令与两表相叅直即如前作线虚记本物之名号次用指南针定其方向又各两线中间书其度分之数画讫至次所置仪于版之他端以仪心加主线之上主线与初所相叅直令初测之仪心在两所之间也定仪如前用两表视所绘之物各作线审方注度即每物各有两线在图版之上必相遇相遇之防乃实注本物之名号末去各线成所求作图

若欲知此物之距测所远近多寡先定两测之所相距若干为主线之里数或歩数或丈尺数依三角形法主线为底向一物之两线为两腰是有底及底上之两角求两腰为本物距两测防若干

又两物之两交作一线相聮与一测防成三角形从测所至两防之线为两腰聮线为底如前先得腰再用其角可得底为两物相距之数

如一图甲为两测之初所加仪向次所乙先作主线次向午己戊癸等物作各线后至乙亦如之即得各两线之交为午己戊癸各物之定所

若物在中不可得至欲绘其形即用仪几次周遭测之如二图

新法算书卷八十九

钦定四库全书

新法算书卷九十　　　　明　徐光启等　撰测量全义

界説

第一界

面者有长有广

第二界

平面者一面平

第三界

曲面者一面曲

无界者如球卵之面有界者如窑桥之面

第四界

一界之面

一曲线内之形如圆形在圏界之内凡有三一平圆从心

至界各线俱等一撱圆如

圆柱而斜剡之得两面焉

一无法曲线如桃棃之面

第五界

二界之面

如两弧或无法之曲线或一直

线一曲线而形之有法与否则

视曲线

第六界

三界之面

三边或直或曲以曲线为边者先定曲线之有法与否面因之量与二界同法以直线为本

如丙丁戊曲边形从丙角至丁作丙丁直线成丙乙丁两角襍形从丙至戊从戊至丁亦如之细分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三边形或俱等或

俱不等或两边等或有直角或无直角皆有法之形也第七界

四界之面

方面有五边角俱等者正方也角等边不等者长方也边等角不等者斜方也各对角对边等者长斜方也边角俱不等者无法之方也首两种之外皆属无法葢有设边

无设角或大或小容积

因之异焉欲求其容须

定角之度或中长线也

第八界

五以上多界之面

邉角俱等者有法之形也或邉或

角不等者皆无法之形也

第九界

定度者求两物之比例

凡量度万形先定一有几何之度如三丈之物以一丈之度量之谓之某物与定度为三倍大则一丈之度名曰公度因其能量之势定各所量之物也凡量髙长广逺皆属线类则以线为公度葢比例之两率为同类也故量线者先具一定线或一丈或一尺以为公度量面者先具一定面或方歩或方丈邉等角直以为公度量线用直线以直线在万线中为最短故量面用平面用正方以平面在万面中为最短正方之理视万形之理为最凖故【量体亦定一度如一石斗为六面体各面等各角及邉等】第十界

量算

丈尺寸分满十进位畆法歩法则否二百四十方歩为畆二十五方尺为歩一百方寸复为尺也凡若干歩之积歩约为畆以二百四十方歩而一若干尺之积约为歩以二十五方尺而一若干寸之积约为尺以一百方寸而一约歩约畆则逓以歩法畆法除之

第十一界

中垂线

从形心至邉作直角者为中垂线有法形之各中垂线必等无法形各邉不等中垂线亦不等

第十二界

中长线

从形之一邉或一角至对边作垂线是各邉上极逺之线以得本形中之直角三边形

第十三界

直线为有法形之径

直线形本无径聊借圆形之径名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各邉切圏周在内者各用切圏周故圏之径亦可谓容形之径

第一题

量四邉形【其法有三】

形之类有二有直线有曲线兹先解直线形若曲线形

后方详之

公量为方有法之方形二有正方四邉四

角俱等【直角也】以所设一邉自之得面之容

如正方田一叚各邉四歩自之其容为十六方歩有长方以所设两邉相乗得面之容如长方田一叚纵五横六相乗其容为三十方歩若斜方具邉无角亦无法之类也有中长线之数则以底数乘之得斜方之容若无中长线之数而知一角之数则先以角求中长线如乙丁斜方形有长濶若干有丁角之数即从丙钝角作丙甲垂线【即中长线】则丙丁甲直角形有丙丁边丁角依法求甲得数以乗乙丙得元形之容若等边斜方形作两对角线分元形为四

句股形两对角线之交为直

法法以两对角线相乗二而

一

四邉形有上下不等而在平行线内者名梯田旧法并两广半之以中长线乗之　论曰戊己丁丙形从上广之两界己戊作己甲戊乙两垂线【即中长线】中成长方形旁有两句股形次引戊己广至庚得庚己与乙丙等成己庚丁句股形与丙乙戊形等则庚乙方形与梯田形等丙乙甲丁为两广之较半之者损下广以益上广也兹旧法所自出也

凡斜田箕田诸法俱同前两腰之等与不等角之等与不等俱以平行线为本若不知中长线而知斜边或一角者如下文

知斜邉如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁为两广之半较有己丁法以两

数自之相减开方得己甲中长线

知角者如己甲丁形有甲丁邉有丁角或己角求己甲即全数与丁角之切线若丁甲边与己甲边

旧法曰一面长乗中濶得形之容驳曰中广必垂线乃

准垂线而外皆斜线必长于

中长线况斜邉乎今设两形

之同边异积如上图其理易

见

二不等田东长三十六西长三十北广二十五无南广

问田旧法并两长折半乗北广

驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否则从何定南广之度乎

旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五十八并东西两邉半之并南北两邉亦半之两半相乗得二九八九歩为其容驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成甲乙丁句股形有句股以求为七十六

又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形之三邉求其容得一五三七【此法见后第三题】并两形积得二八七一知法为未合也

论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有余补不足改为方形也以中长线乗之则得其容若四不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中长线何縁得合乎

第二题

量三邉形

乙丙丁三边形有邉数无角数求实其法并三邉数半之为实以每边之数为法各减之三较连乗得数以半总数乗之为实

平方开之得实

如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十四减七较七减十二较二减九较五三较连乗得七十以半总十四乘之得九百八十○开方得三十一又六十二之一十九不尽

又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为二十六减十三较十三减十八较八减二十一较五三较连乘得五百二十○以半总数二十六乘之得一万三千六百二十○

开方得一百一十六又二三

二七之一六四不尽

解曰如图乙丙丁斜角形先

平分丙丁二角作丙戊丁戊

二线遇于戊从戊向各边作

垂线为戊壬戊己戊庚三线

皆等【戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙邉两丙角

亦等形必等则戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚两直角

形同用戊丁边两丁角亦等形必等则壬戊戊庚亦等】次从乙作乙戊平分乙角乙

戊己乙戊庚两直角形有己

戊戊庚两邉等同用乙戊邉

形必等则两乙角亦等依三角形推壬丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三等次于三相等邉各取一邉如乙己己丙壬丁合之为元形三邉并之半【或丁庚庚乙壬丙或每相等两形邉减一边得三较亦元形三邉并之半】次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子【乙癸子乙辛子两直角形之乙癸乙辛两邉等两乙角亦等即乙子必等而辛子子癸亦等】次截丙午与壬丁等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子与丁子必等【癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与辛子等则其丁子丑子必等】又午丁子辛丑子两形亦等【丁子与丑子等丁午与辛丑等则午子与辛子必等】则午为直角【相似之辛角先已为直角】而丙辛子丙

午子两直角形亦等又此两

形并成一斜方形而丙辛子

午四角内减午辛两直角余

子丙两角并为两直角【凡四邉形

之四角并为四直角】又□　丙壬壬丙辛

两角并亦等两直角而减共

用之壬丙辛余午子辛壬丙己两角等其各半角亦等【即丙子辛己丙戊两角】即己丙戊辛子丙两直角形相似【己辛等为直角己丙戊辛子丙两角又等即其对邉相似】而戊己【小句一率】与己丙【小股二率】若丙辛【大句三率】与辛子【大股四率】次以线变为数【乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今约用成数令直截易算也】则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也

又以第一率乘第四以

第二率乘第三得数必

等则戊己辛子之矩内

实己丙丙辛之矩内实

【各五七六】通用可也又戊己

【小句一率】与辛子【大句二率】若乙

己【小股三率】与乙辛【大股四率】而以第一自乘又以