益古演段

段至步幂为实十二之至步身外加四为从一步八分八厘为常法义曰三个九分六厘计二步八分八厘其四个圆田内有四个方水池除从步合占三个外犹剰一个水

池却于数内取了一步余一步八分八厘故以之为常法也其从步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能见方靣而但得方斜也

旧术曰四因积步为头位又倍去角步自乗三之减头位余折半为实又倍去角步三因加四为从法廉常置九分四厘

第十四问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云从田外楞通内池斜三十五步半问外圆内方各多少

答曰外圆径三十六步　内方靣二十五步

法曰立天元一为内方靣加四得【元□】为方斜以减倍通步得【太□】□为外圆径以自増乗得□□□为外田

径幂也以三之得□□□为四

段圆田积于头再立天元内方

靣以自之又就分四之得【元○】□

为四段方池以减头位得□□

□为四段如积寄左然后列四之见积一千三百八十八步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也方靣加四减于倍通步得圆径也

依条段求之十二段通步幂内减四之田积为实十二之通步加四为益从一步八分八厘常法

义曰此式元系虚从今以虚隅命之四段圆田减积时剰下四段方池于从步内用讫三个外犹剰一个却于二步八分八厘虚数内补了一歩外虚一步八分八厘故以之为法【从负隅正或从正隅负其实皆同故因此廉从以别之】旧术曰倍通步自乗三之为头位四因田积减头位余为实又十二通步加四为从法廉常置一步八分八厘减从开方【新旧廉从不同开时则同故两存之】

第十五问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内方周不及外圆周一百五十二步问外圆内方各多少

答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步

法曰立天元一为内方靣以四

之为内方周加不及一百五十

二步得□□为外圆周以自増

乗得□□□为十二段圆田积

于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□为十二段方池积以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积八千○九十六步又就分十二之得九万七千一百五十二步与左相消得□□□平方开得五十二步为内池方靣也以四之为内方周加不及步为圆周也

依条段求之十二段积步内减不及步幂为实八之不及步为从四步为常法也

义曰十二段圆积该九段圆径

幂九段圆径幂便是九个圆周

幂也据十二段圆积内元少十

二个方池今于周幂内除折筭

外剰四个池积故以四步为常法也

旧术曰十二之积步为头位以不及步自乗减头位余八而一为实以不及步为从法廉常置半步开平方【新旧二术不同者旧术从简耳算术本贵简易而犹立新术者縁旧术难画条段也余仿此】第十六问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三千五百六十四步只云内方周与外圆径等问等数各若干答曰内方周外圆径各七十二步

法曰立天元一为等数便以为

方周以自之为十六个方池于

头【元○】丨再立天元等数便以为

圆径以自之又十二之得【元○】□

为十六段圆田积内减头位余【元○】□为十六段如积寄左然后列真积三千五百六十四步又就分十六之得五万七千○二十四步与左相消得□○□平方开得七十二步即等数也

按法后落条段一条依前例补之

依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法

义曰十六个圆积

乃十二段圆径幂

也其十六个圆积

内有十六个方池恰是一个方也此一个方便是等数幂也

旧术曰列田积从十一段平方开之得内方靣四之即等数也乂法以十六乗田积如十一而一所得开方即等数

第十七问

今有圆田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圆径不及内方周四十二步问方圆各若干

答曰外圆径五十四步　内方周九十六步

法曰立天元一为外圆径加不及四十二步得

为内方周以自増乗得下式□

□丨为十六段池积于头再立

天元外圆径以自之又十二之

得【元○】□为十六段田积也内减

头位余□□□为十六段如积寄左然后列真积一千六百一十一步就分母十六之得二万五千七百七十六步与左相消得□□□平方开得五十四步为外圆径也加不及步为内方周也

依条段求之置十六之积加不及步幂为实倍不及步为虚从一十一步为常

义曰十二个圆径

幂该十六个圆田

积十六个圆田积

内有十六个方池其十六个方池于实积内侵过所加一角并二段虚从之数也

第十八问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云外圆周内方周共得二百八步问内外周各多少

答曰外圆周一百八步　内方周一百步

法曰立天元一为内方靣以四

之为内方周减于相和二百八

步得□□为外圆周以自增乗

得□□□为圆周幂便为十二

段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□为十二段方池积也以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也四之为内方周减于相和步为圆周也

依条段求之以十二之积步减和步幂为实八之和步为虚从四常法

义曰十二段圆田内有十二个

方池于方周幂内补了十二池

外犹欠四个故以四为隅法此

式元系虚从今却为虚隅命之

故以四为虚常法

旧术曰相和步自乗于头位以十二之积步减头位余八而一为实相和步为从法廉常置半步减从第十九问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内外周与实径共相和得六百二步问三事各多少

答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步

实径三十四步

法曰立天元一为内方靣以减一百七十二得□丨为外田径也【倍云数得一千二百四步别得是六个圆径八个方靣两个实径今将一个方靣两个实径合成一个圆俓并前数而计是七个方靣七个圆径也今置一千二百四步在地以七约之

得一百七十二步为径靣共也便是一个方靣一个圆径更无

实径也】以自增乘得□□丨为圆

径幂也以三之得□□□为四

段圆田积于头再立天元内池

靣以自之又就分四之得【元○】□为四池积以减头位得□□丨为四段如积寄左然后列见积八千九十六步又就分四之得三万二千三百八十四步与左相消得□□丨开平方得五十二步为内方靣也以七之方靣减于倍和步余以七而一即圆径也圆径内减方靣余者又半之即实径也

依条段求之径靣共一百七十二也自之为幂又三之于头位内减四之见积余为实六之径靣共步为从一常法

义曰四之真积内有四个方池于从法内叠周了三个外剰一个故以一步为常法

旧术曰倍相和步自乗三之为头位以一百九十六步【按此即四与四十九相乗之数】之田积减头位余以十四而一为实又六之相和步为从法廉常置三步半开平方见内方靣

第二十问

今有圆田一段内有方池水占之外计地二千四百七十五步只云内外周与斜径相和得二百五十九步半问三事各多少

答曰外圆周一百八十步　内方周六十步　斜

十九步半

法曰立天元一为内方靣以三

十三之减于十之云数二千五

百九十五步得□□为三十五

个圆田径【十之云数内有外圆径三十个内方靣四】

【十个角斜十个今将七个方靣并入十个角斜为五个圆径也总别得十之云数是方靣三十三个圆径三十五个外更无斜径角也】乃以三十五之圆径自増乗得下式□□□为一千二百二十五段圆径幂也以三因之得□□□合以四除之今不除便为四千九百段圆田积于头再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□为四千九百段方池积以减头位得□□□为四千九百段如积数寄左然后列真积二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二万七千五百步与左相消得□□□平方开得一十五步为内方靣方【三十三之方靣以减于十之相和二千五百九十五步余三十五而一即圆径以方靣加四减圆径余半之即斜径也】

依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之相和步为从一千六百三十三为常法

义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从

内叠用了三千二

百六十七个方池

外犹剰一千六百

三十三个方靣幂故以之为常法也其从法元有一百九十八个方靣合用一百九十八之相和步为从今用一千九百八十个相和步者縁为相和步先进了一位也

第二十一问

今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相较等三方靣共并得一百八步问三方多少

答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小

方靣一十五步

法曰立天元一为方差以减中方靣

【置并数三而一即得中方靣】得□丨为小方靣也

以自之得□□丨为小方积于头再

立天元方差加入中方靣得□丨为

大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也【置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也】

依条段求之列并数以三约之所得即中方靣也以自之为幂又三之以减积为实无从二步常法义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步

常法旧术又折半止得一个

方也

第二十二问

今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十五步半问田方靣多少

答曰田方靣三十五步

法曰立天元一为水占斜加入

云数四十五步半得□【元丨】为田

斜以自増乗得□步□丨为田

斜幂于头再立天元一水占斜

以自之为水占得小方积就分以一步九分六厘乗

之得【元○】□　　　　　　　　　【步】为所展得水占积也以减头位得□□

□　　　　　　【步】为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘与左相消得□□□开平方得三步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方靣也

依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从九分六厘虚常法开平方得三步半即水占斜也义曰今将水占斜直命为小方池靣也

旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以

自乗减头位余为实二之直至

为从以九分六厘为廉从开平

方得二步半加直至步三十二

步半得三十五步即田方靣也

此图即旧术条段也旧术减云

步为直至步入法而求得二步

半为直至不及方靣步新术展

积入法而求得三步半为水占

斜

益古演段卷上

钦定四库全书

益古演段卷中　　　　　　元　李冶　撰第二十三问

今有圆方田各为叚共计积一千三百七步半只云方面大如圆径一十步圆依密率问面径各多少答曰方面三十一步　圆径二十一步

法曰立天元一为圆径加一十步得□丨为方面以自之得□【○二】丨为方田积以十四之得下式□□□

为十四叚方田积于头又立天元

圆径以自乗为幂又以十一之得

【太○】□便为十四叚圆田积【依密率合以径

自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就为十四分母】

【也】以并入头位得□□□为十四叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分十四之得一万八千三百五步与左相消得□□□开平方除之得二十一步为密率径也加不及步为方田也

依条叚求之十四之积步于上内减十四叚不及步幂为实二十八之不及步为从二十五步常法

义曰将此十四个方幂之式

只作一个方幂求之自见隅

从也

第二十四问

今有方圆田合一叚共计积一千四百六十七步只云方面与圆径相穿得五十四步问面径各多少答曰方面一十二步　圆径四十二步

法曰立天元一为圆径减穿步五十

四步得□丨为方田面以自増乗得

下式□□丨为方田积于头位再立

天元圆径以自之又三之四而一得

【元○】□为圆田积也并入头位得□□□为一叚如积寄左然后列真积一千四百六十七步与左相消得□□□倒积倒从开平方得四十二步为圆田径也以减穿步即方面

按法内所言倒积倒从即飜积法也盖初商积常减原积此独以原积减初商积倍防常减従步此独以従步减倍防乃平方中之一变也古法多用之今依数布算于后以存其式

法列积一千四百四十九步为实以一百零八步为

长与一濶又七分半之和即从数求

濶初商四十步以一濶七分半乗之

得七十步以减和数余三十八步以

初商乗之得一千五百二十步为初

商积大扵原积反减之余实七十一

步乃二因一濶七分半所乗初商之

数得一百四十步大扵和数反减之

余三十二步为次商防次商二步以

一濶七分半乗之得三步半为次商

隅凡和数防隅相减此反相加得三

十五步半以次商乗之得七十一步为次商积与余积相减恰尽开得濶四十二步

依条叚求之穿步幂内减田积为实倍穿步为従一步七分半虚常法

义曰二之従步内元减了七分半

又叠了一步计虚却一步七分半

也

第二十五问

今有方圆田各一叚共计积一千三百七步半只云方周大如圆周五十八步问方圆各多少【圆依密率】

答曰方周一百二十四步　圆周六十六步

法曰立天元一为圆周加周差五十

八步得□丨为方田周以自増乗得

下式□□丨为方周幂便是十六个

方田积又就密率分母一十一之得

□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得【元○】□为一百七十六叚圆田积【依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数】以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周

依条叚求之一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实二十二之多步为从二十五步常法

义曰一百七十六之积步内

有一十一个方周方一十四

个圆周方也今画此式其一

十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者止为欲见差步权作此式其实合作一十二叚圆式求之其实自见也【按十一方周幂十四圆周幂共积内减去十一不及幂余不及步乗圆周长方二十二圆周幂二十五故以二十二不及步为従二十五为隅也】

第二十六问

今有方圆田各一叚共计一千四百五十六步只云方周大如圆周方圆周共相和得二百步问二周各多少答曰方周一百二十八步　圆周七十二步

法曰立天元一为圆周减于相和二

百步得□丨为方周以自乗得□□

丨为方周幂【是十六个方积也】就分三之得

□□□为四十八叚方田积扵头再

立天元圆周以自之又就分四之得【元○】□亦为四十八叚圆田积并入头位得□□□为四十八叚如积数寄左然后列真积一千四百五十六步就分四十八之得六万九千八百八十八步与左相消得□□□开平方得七十二步为圆田径也减共步则方周

依条叚求之三叚和步幂内减四十八之田积为实六之和步为従七益隅

义曰减时减过一个方六之従步内又欠六个方共虚了七步故以为益隅

第二十七问

今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方面不及圆径一十二步圆依密率问面径各多少答曰方面三十步　圆径四十二步

法曰立天元一为方面加不及一十

二步得□丨为圆径以自之得□□

丨为圆径幂以一十一之得下式□

□□便为十四个圆积于头再立天

元方面以自之又就分一十四之得【元○】□为十四个方积也并又头位得□□□为十四叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分一十四之得三万二千四步与左相消得下式□□□平方开之得三十步即方面也加不及一十二步即圆径也依条叚求之十四之真积内减一十一叚差步幂为实二十二之差步为従差步即不及步二十五歩常法

义曰十四之积步内有一十

一个圆径方与一十四个方

面方此式与第二十五问畧

同其一十一个圆径幂有十一个方正当十一叚之其数自见也

第二十八问

今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方周不及圆周一十二步问周各若干【圆依密率】

答曰方周一百二十步　圆周一百三十二步

法曰立天元一为方周加不及步一十二得【太□】丨为圆周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□

为一百七十六叚密率积扵头再立

天元方周以自之为方积一十六叚

又就分一十一之得【元○】□便为一百

七十六叚方田积并入头位得下式

□□□为一百七十六叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十万二千三百三十六步与左相消得□□□开平方得一百二十步为方周加不及步即圆周也依条叚求之一百七十六之真积内减十四叚差步幂为方实二十八之差步为従二十五常法

义曰所减数乃十四叚不及

步幂也

第二十九问

今有方圆田各一叚共计积一千四百四十三步只云圆周大如方周方圆周并得一百九十八步问二周各多少

答曰方周九十六步　圆周一百二步

法曰立天元一为方周减共步一百

九十八得□丨为圆周以自増乗得

□□丨为十二叚圆田积四之得下

□□□为四十八叚圆田积扵头再

立天元方周以自之为十六叚方田积又就分三之得【元○】□便为四十八叚方田积并入头位得□□□为四十八叚如积寄左然后列真积一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六万九千二百六十四与左相消得□□□开平方得九十六步为方周也减于并数见圆周也依条叚求之四叚共步幂内减四十八之积为实八之共步为従七益隅

义曰八之从内合虚八个方今见有一个方外只虚了七步方也

第三十问

今有圆田二叚【一叚依圆三径一率一叚依密率】共积六百六十一步只云二径共相和得四十步问二径各数

答曰密径一十四步　古径二十六步

法曰立天元一为密径以减相和四十步得□丨为古径以自之得下□□丨为古径幂以三因之得□

□□合以四约之又就分母七之得

□□□为二十八叚古圆积于头再

立天元密圆径以自之又二十二之

得【元○】□为二十八叚密圆积也并入

头位得□□□为二十八叚如积寄左然后列真积六百六十一步就分二十八乗之得一万八千五百八步与左相消得□□□平方开之得一十四步为密圆径以减和步即古径也

依条叚求之二十一叚和步幂内减二十八之田积为实四十二之和步为从四十三步虚常法

义曰其二十八之田积内有古

积二十一叚密积二十二叚元初

减时减过一叚又并从步内合

除之数计虚却四十三个方也

第三十一问

今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云从外田角斜通内池径七十一步外田阔不及长九十四步问三事各多少

答曰圆池径一十二步　田长一百二十六步

阔三十二步

法曰立天元一为内圆径以减倍通

步一百四十二步得□丨为直田斜

以自乗得□□丨为两叚直田并一

叚较幂扵头再置阔不及长九十四

步自之得八千八百三十六步以减头位得□□丨为两叚直积数寄左再立天元圆径以自之为圆径幂三之二而一得【元○】□为两个池积数加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为二叚真积与寄左相消得□□□平方开之得一十二步为圆径也

依条叚求之倍通步为幂内减二之见积一个较幂为实四之通步为从半步常法

义曰従步内少一个圆径幂其

漏下底二个圆池共一步半今

将一步补了従步合除之数外

犹剰半步故以为常法

第三十二问

今有圆田一叚中心直池水占之外计地五千三百二十四步只云并内池长阔与外圆径等内池阔不及长三十六步问三事各多少

答曰外田径一百步　内池长六十八步　濶三

十二步

法曰立天元一为外圆径以自乗

三因四而一得【元○】□为圆积内减

了见积五千三百二十四步余得

□○□为水池直积也以四之得

□○□为四叚水池直积寄左再立天元圆径命为直积和步以自之得【元○】丨为四积一较幂内减了池较幂一千二百九十六步得□○丨亦为四叚池积与左相消得□○□平方开之得一百步为外圆径也阔不及长减圆径余折半见阔却以不及步加之即长也

依条叚求之四积内减较幂为实从空二步常法

义曰四之

圆积内有

四个水池

又扵见积内减了一个池较幂相并恰是一个和幂也今来池和与圆等共和幂恰是一个圆径幂也除外有两个方