益古演段

个圆径幂也除外有两个方

第三十三问

今有圆田一叚中心有直池水占之外计地七千三百步只云并内池长濶少田径五十五步阔不及长三十五步问三事各多少

答曰田径一百步　内池长四十步　阔五步

法曰立天元一为外圆径自之

得数又三之四而一得【元○】□为

外圆田积也减见积七千三百

步得□○□为内池积也以四

之得□○□为四叚池积寄左再立天元圆径内减少径步五十五得□丨为池和也以自之得□□丨为四池一较幂内减池较幂一千二百二十五步得□□丨亦为四池积也与左相消得□□□平方开之得一百步为圆径也内减少径即水池和步内加一差即为二长若减一差即为二阔也

依条叚求之四之积步内减池较幂却加入少径幂为实二之少径为从二步常法

义曰四池并所减

底个较幂恰是一

个和自之

旧术下积步四之于头位又以少径步自乗加头位内却减阔不及长幂余折半为实用少径为従一步常法

第三十四问

今有圆田一叚内有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池阔不及长三十五步问三事各若干

答曰圆田径一百步　池长六十步　濶二十五

步

法曰立天元一为外径内减倍

至步三十五步得□丨为池斜

以自之得□□丨为二积一较

幂于头又列阔不及长三十五

步以自之得□减头位得○□□为四池积寄左又立天元圆径以自之又三之便为四叚圆积内减四之见积二万四千步得下式□○□亦为四个池积也与左相消得□□丨平方开得一百步为外田圆径也圆径自之又三之四而一内减见积余为内池积也又用差步为従开方见池阔也

依条叚求之四之见积内加八叚至步幂却减两叚阔不及长幂为实八之至步为従一步常法

义曰四个圆积内

有四个虚直池于

积内又减了两叚

阔不及长幂合成两个池斜幂也八个従步内贴入八个斜至步幂其数与圆径正相应也外恰有一步方

第三十五问

今有圆田一叚中心有直池水占之外计地五千七百六十步只云从外田东南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池阔不及长三十四步问三事各多少

答曰外圆田径一百二十步　池长九十步　阔

五十六步

法曰立天元一为角斜加通步

得□丨为圆径以自之得□□

丨为圆径幂又三之得□□□

为四叚圆田积也内减了四之

见积二万三千四十步得□□□为四叚内直池寄左再立天元角斜以减通步为池斜以自之得□□丨为池斜幂于头又列长平【按平即阔】较三十四步以自之得一千一百五十六步以减头位余□□丨为二池积也又倍之得□□□亦为四直池与左相消得□□丨开平方得七步为角斜也

依条叚求之四之积步内减两叚阔不及长幂又减一叚通步幂为实十之通步为従一步隅法

义曰两个较幂并

四个池积该两个

斜幂也于四个圆

积内减此两个斜幂外更减了一个通步幂恰是十之从外有一步常法也

第三十六问

今有圆田一叚中心有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池长阔共相和得八十五步问三事各多少

答曰外田径一百步　池长六十步　阔二十五

步

法曰立天元一为内池斜加入

倍至步三十五得□丨为外圆

径以自之又三之得□□□为

四叚圆积也内减四之见积二

万四千步得下□□□为四个池积寄左乃置内池和八十五步以自之得□为四积一较幂于头再立天元内池斜以自之得【元○】丨为二池积一较幂以减于头位得□○丨为二池积也又倍之得□○□亦为四池积与左相消得□□□平方开得六十五步为内池斜加倍至步即圆径也径自之又三之四而一内减去田积余实以和步为从一虚隅开平方见阔也依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减十二叚至步幂为实十二之至步为从五步常法

义曰所加两个和

幂该八积二较幂

数内元有四虚池

外有四积二较幂其实只是添了两个池斜幂也于四圆积内除従步占外元有三个方今又加入两个池斜幂共得五步故五为常法

第三十七问

今有圆田一叚中心有直池水占之外计地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池长阔共相和得一百二十七步问三事各多少

答曰圆田径一百二十步池长一百一十二步

阔一十五步

法曰立天元一为角斜加通步

一百一十六步半□步丨为圆

径以自之得□□丨为圆径幂

以三之得□□□为四叚圆田

也内减四之见积三万六千四百八十步得□步□□为四叚内池积寄左再立天元角斜以减通步得□步丨为内池斜以自乗得□步□丨为二积一较幂于头又列池和步以自乗得□内减头位余得□【元】□丨为二池积也倍之得下□步□□亦为四池积与左相消得□步□□平方开之得三步半为角斜也加通步为圆径

依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减五个通步幂余为实二之通步为从五步为常法

义曰两个和幂内虚了四池只是两个池斜幂今将两个池斜幂减于两个通步幂止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步幂并以减于四之见积外实在两个通步从五个方也

第三十八问

今有水旱田各一叚共计积二千六百二十五步只云水田长阔共一百步其旱地阔不及长三十五步而不及水地阔十步问水旱地长阔各若干

答曰水地长七十五步　阔二十五步　旱地长

五十步　阔一十五步

法曰立天元一为旱地阔加旱

阔不及水阔一十步得□丨为

水地阔以减水田长阔共一百

步得□丨为水田长也以水田长阔相乗得□□丨为水田积扵头再置天元旱地阔加不及三十五步得□【兀丨】为旱田长也以天元乗之得【太○】□丨为旱田积也加入头位得□□为一叚如积寄左然后列真积二千六百二十五步与左相消得□□下法上实如法得一十五步为旱田阔也加阔不及长三十五步为旱田长也又扵旱阔内加不及水地阔一十步为水地阔也以水地阔减于水田长阔一百步余为水田长也

依条叚求之以水田共步乗二阔差于头位以二阔差幂减头位得数复以减于田积为实列水田共步加入旱地长阔差内却减两个二阔差为法

义曰其水田阔二十五步为法内元多一个水旱二阔差数又积步内减了一叚旱阔为长二阔差为平底直积是又虚了一个水旱二阔差数故于法内减去两个阔差也

按此条圗与义不合盖写之误也今仍存旧式另拟图义扵后以明之

义曰水田长阔共步乗二阔差

内减差幂即附水田周一磬折

积也以减共积余同旱阔之两

长方共积为实其水田长阔比原数各减一阔差扵此长阔和内加旱田长阔较即两长方之共长故为法即得旱田阔也

第三十九问

今有直田一叚内有圆池水占之外计地三十九畆一分半只云従田两头至池各一百五步两畔至池各九步问三事各多少

答曰田长二百三十四步　阔四十二步　池径

二十四步

法曰立天元一为内池径加二之边

至一十八步得□丨为田阔又置天

元池径加二之头至二百一十步得

□丨为田长长阔相乗得下式□□

丨为直田积于头再置天元径以自之又三之四而一得○□为内池积以减头位得□□□为一叚如积数寄左然后列真积三十九亩一分半以亩法通之得九千三百九十六步与左相消得□□□开平方得二十四步为内池径也加二之邉至步为田阔若加二之头至步即田长

依条叚求之倍头至步与倍边步相乗以减田积为实并一头一边步又倍之为从二分半常法

义曰此问与第一问条叚颇同但所减者为四个小池积【按池当作隅】

第四十问

今有直田一叚中心有圆池水占之外计地四亩五十三步只云外田长平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步问外田水池径各多少答曰田长五十步　阔二十六步太　池径二十

步太

法曰立天元一为内池径加倍角至步三十六得□丨为直田斜以自之得□□丨为田斜幂【便是二积一较幂也】

又九之得下式□□□为十八积九

较幂也寄左列和步七十六步太【按太

即三分步之二】通分内子得□以自之得五

万二千九百步为九叚和幂于头【为九】

【叚和幂者元带三分母以自之得九也此九叚和幂该三十六直积九个较幂也】又置天元圆径以自之又三之四而一得【元○】□为一叚圆积也加入见积一千一十三步得□○□共为直积一叚又十八之得□○□为十八叚直积以减头位得□○□亦为九叚田斜幂与左相消得□□□合以平方开之今不可开【按不可开者谓防隅数多而得数又不能尽也】先以隅法二十二步半乗实二万三千单二步得五十一万七千五百四十五步正为实元従六百四十八负依旧为従一益隅平方开之得四百六十五步以元隅二十二步半约之得二十步三分之二为内池径也加倍至步为田斜以自之为二积一较幂又二之于头位以和步幂减头位余以平方开之即田较也加入和步折半为长若减于和步折半为阔也

依条叚求之列相和步自乗为幂内减倍积及四叚至步幂为实四之至步为从二步半常法

义曰和步幂内减了二直积只

有一叚斜幂也减二直积时漏

下两个圆池该一步半又正有

一步共计二步半常法也　求

较者先置池径二十步太□带三分母便为三个径也加入六之至步一百八步得□便为三个田斜也以自之得□为九叚斜幂【便是十八个直积九个较幂】倍之得□为三十六叚田积一十八叚较幂于头再置和步七十六步太□亦带三分母便为三个和也以自之得□为九叚和幂【便是三十六直积九较幂也】以减头位余□为九叚较幂也平方开之得七十步以三约之得二十三步三分步之一为田较也欲见田长阔及斜者准此法求之　又法求圆池径者立天元一为三个内池径以自之得【元○】丨为九叚池径幂便是十二叚圆积也加十二叚见积得□○丨为十二叚直积又身外加五得□○□为十八叚直田积扵头又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□为和幂九叚【便是直积三十六叚较幂九叚也】内减头位得下式□○□为九叚斜幂数寄左再置天元圆径加六之角至步一百八步得□丨为三个田斜以自之得□□丨亦为九叚斜幂也与左相消得□□□开平方得六十二步为三个圆池径也以三约之得一个圆径二十步三分之二此名之分天元一术前法乃连枝同体术也【按分天元一术即天元一内带分求之得数而后约之连枝同体术即通分开方得数而后约之皆兼通分之法也】

第四十一问

今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云従外田角斜通池径七十一步外田长阔相和得一百五十八步问三事各多少

答曰圆径十二步　田长一百二十六步　阔三十二步

法曰立天元一为内圆径以减倍通

步一百四十二步得□丨为田斜以

自之得□□丨为二积一较幂于头

又立和步一百五十八步以自之得

□为四积一较幂以减头位得□□丨为二直积寄左又立天元池径以自之又三之二而一得【元○】□为两个池积也加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为一叚直积与左相消得□□□平方开之得一十二步为内池径也

依条叚求之二之积步内加四叚通步幂却减一叚和步幂为实四之通步为従二步半虚常法

义曰减一和步幂是减四积一

较幂也四之通步幂内减了一

个斜幂却又减过二个直积故

二之积步加之従内欠一个方

减二积时漏下二个圆池又该欠一个半方共欠二步半虚常法也

第四十二问

今有直田一叚中心有圆池水占之外计地一万八百步只云从外田角至水池楞六十五步其外田阔不及长七十步问二事各多少

答曰田长一百五十步　阔八十步　圆池径四

十步

法曰立天元一为内池径加倍至一

百三十步得□丨为田斜以自之得

□□丨为田斜幂于头又置田较七

十步以自之得□为较幂以减头位

得□□丨为二田积寄左再立天元池径以自之身外加五得【元○】□为两个池积也加二之见积二万一千六百步□○□亦为二直积与左相消得□□□开平方得四十步即池径也以径自之三之四而一加入见积为实以阔不及长为従开方得田阔依条叚求之二之田积内加较幂却减四叚至步幂为实四之至步为従半步虚常法

义曰二积内加一个较幂恰补

就一个斜幂也其二积内有两

个圆池是元虚了一步半方也

扵积内却实有一步除外止虚了半步也

益古演段卷中

<子部,天文算法类,算书之属,益古演段>

钦定四库全书

益古演叚卷下　　　　　　元　李冶　撰第四十三问

今有圆田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共计地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻径多于古径九步徽径多于宻径九步问三径各多少

答曰古径三十六歩　宻径四十五步　徽径五

十四步

法曰立天元一为古径加多九步得

□丨为宻径以自之得下□□丨为

宻径幂又以十一乗之得□□□为

十四叚宻圆积于头又立天元古径

加二之多步一十八步得□丨为徽

径以自之得□□丨为徽径幂也又

以一百五十七乗之得□□□为二

百叚徽圆积于中【按徽率周一百五十七径五十径乗】

【周四归为圆幂今以径幂乗周当以径五十除之再四归之为圆幂不除便为五十乗之又四乗之之二百圆幂也】又置天元古径以自之又三之得【元○】□为四叚古圆积于下乃求三积齐同分母而并之先以分母一万七千五百【按此即十四除二十四万五十之数】乗十四叚宻圆积得□□□为二十四万五千叚宻圆积于头位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽积得□□□为二十四万五千叚徽积于中位次以分母六万一千二百五十乗四叚古积得○○□为二十四万五千叚古积于下位三位相并得□□□为二十四万五千叚如积数寄左然后列见积通分内子得八十四万九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一亿八千八百七十七万二千二百与左相消得下式□□□平方开之得三十六步为方径也各加多步见徽宻二径也　义曰所以齐同于二十四万五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此数依条叚求之以一千四百乗田积于头位置徽径多古径自之为幂又以一千九十九【按置一千四百分以徽圆幂率一百五十七乗之方幂率二百除之即得】乗之减头位续置宻径多古径自之为幂又以一千一百【按置幂十】一【千四百分以宻率圆乗之方幂十四除之即得】乗之复减头位余为实又倍徽径多古径以千九十九乗之为徽从又倍宻径多古径以一千一百乗之为宻从并二从得五万九千三百六十四为从法亷常置三千二百四十九

义曰以一千四百乗积者取其三率皆可以除之也

齐同分母湏至于二十四万五千

叚者葢以分母一百七十五元乗

积数一千四百此二数相乗得二

十四万五千也

此问求真积实数　古径三十六得积九百七十二步　宻径四十五步得积一千五百九十一步一十四分步之一　徽径五十四步得积二千二百八十九步二百分步之一十二并三积全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上维乗下位【宻子得二百分　徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分为子实又上二位相乗得二千八百分为母法子母俱以十六约之为一百七十五分步之二十三　一千四百乗田积来厯盖只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一为一千一百积　若以古率三之四而一则得一千五十积　若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九积所以用一千四百乗积者縁古法四徽法二百皆可以除之也　求三积齐同分母元分母数一百七十五元乗积数一千四百此二数相乗二十四万五千即大分母也三积总率皆齐同于此既得此齐同分母乃各以先求到叚数约之徽率得一千二百二十五宻率得一万七千五百古率得六万一千二百五十故反以乗叚数皆齐同于二十四万五千也

按条叚分母数简于前法者用旧术也然各分母之数犹有可省者盖众数取分母数必得最小者方爲确凖其义见秦九韶数学九章大衍术中今附其法于后以发明前法所未尽者

法列四数先以元母一百七十五与

宻方率十四相度得度尽二数之数

为七次以二数相乗以度尽数除之

得三百五十为二数总母又以二数

总母与徽方率数相度得度尽二数

之数为五十以二数相乗度尽数除

之得一千四百为三数总母又以三

数总母与古方率数相度则古方率

四即为度尽二数之数二数相乗度

尽数除之仍得一千四百即为四数

总母然后以宻方率十四除之得一

百为宻分母以徽方率二百除之得

七为徽分母以古方率四除之得三

百五十为古分母以元分母一百七

十五除之得八为原积分母以此数

与各叚幂积相乗除较原数所省多

矣

第四十四问

今有梯田一叚长二百四十步并不知东西两濶只云从东头截长五十步计地三畆从西头截长三十步计地五畆问二濶各多少

答曰东头元濶一十一步二分　西头元濶四十

一步九分二厘

法曰此问先湏求见两头各截之停广求东截停广者置东头所截三畆之积七百二十步以截长五十步除之得一十四步四分为东截地之停广也求西截停广者置西头所截五畆之积一千二百步以截

长三十步除之得四十步为西头所

截停广也乃立天元一为毎步之差

以东头截长五十步乗之折半得□

以减东停广一十四步四分得□【分】□为东头元小濶于上再置天元差

步以西头截长三十步乗之得□折半得□加入西头停广四十步得□□为西头大濶也内减东头小濶余□步□为二濶总差也寄左再立天元毎步差以正长二百四十步乗之得□亦为二濶总差与左相消得□步□下法上实如法而一得一分二厘八毫为毎步之差也置毎步之差以西头截长三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西头停广四十步得四十一步九分二厘为西头元大濶也又置毎步之差以东头截长五十步乗之得六步四分折半得三步二分以减于东头停广一十四步四分余一十一步二分为东头元小濶也此问止求毎步之差更不湏以条叚明之

旧术依法求得东停广与西停广数乃以二停广相减余以二百而一【谓东截长五十步其停广当二十五步余去了二十五步也西截长三十步其停广当一十五步余去了一十五步也两头计去了四十步以减于正长二百四十步余二百步】所得为毎步之差乃副置半步之差左以东截长乗之以减东停广余为东元濶也右以西截长乗之以加西停广并为西元濶也又法置一步之差以正长二百四十乗之所得为都濶差也以都濶差加于小头濶则为大头濶也

第四十五问

今有方田一叚中心有方田池占之外计地一畆只云从外田东南隅至内池西南隅一十三步问内外田方各多少

答曰内池方七步　外田方一十七步

法曰立天元一为内池方以自乗倍之得【元○】□加入见积得□□寄左又列至步自之得一百六十九步

又倍之得三百三十八步与左相消

得□○□开平方得七步即内池方

也池方自之加入见积再开平方即

外田方面也

依条叚求之只据前式便是更不湏重画也只是将见积打作四叚小直田以池面为较以外田方面为和以斜至步为然此问惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏侧则不能用也　旧术列去角步自乗为二位头位减半田积开平方见内池面下位加半田积开平方见外田面也

第四十六问

今有方圆田各一叚共计积一百二十七步只云其方面大如圆径圆径穿方斜共得二十步问面径各多少

答曰方面一十步　圆径六步

法曰立天元一为圆径减穿步得□丨为方斜以自

之得□□丨为方斜幂于头再

置天元圆径以自之又以一步

四分七厘乗之得□□步为展

起圆田也并入头位得□□□

步为展数如积一叚寄左然后

列见积一百二十七步两度下加四【两度下加四止是以一步九分六厘乗之也以一步九分六厘乗之者变方田为斜田也】得二百四十八步九分二厘与左相消得下式□□□开平方得六步即圆径也以径减穿步即方斜也

依条叚求之穿步幂内减去展起见积为实二之穿步为从二步四分七厘虚隅

义曰下式乃展起之圆

积也亦俱是减数也此

数该一步四分七厘之

方又从步内叠出一步

虚隅计得二步四分七厘常法也

旧术曰以一步九分六厘乗田积为头位又列穿步自乗内减去头位余为实倍穿歩为从亷常置二歩四分七厘减从开方

第四十七问

今有直田一叚中心有小方池结角占之外计地二千七十九步只云从田二头至池角二十一步半两邉至池角七步半问三事各多少

答曰长六十四步　濶三十六步　池方一十五步

法曰立天元一为内方面身外加四

又加二之头至步四十三得□□为

田长也又置池方面身外加四又加

入二之邉至步一十五得□□为田

濶也长濶相乗得下式□□□为直田积于头又置天元池方面以自之得【元○】丨为内方池以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列见积二千七十九步与左相消得□□□开平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加两头至池步见长若加两邉至池步即见濶也