益古演段

□开平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加两头至池步见长若加两邉至池步即见濶也

依条叚求之积步内减四叚邉至与头至步相乗数为实并至头至步倍之又身外加四为从九分六厘常法

义曰水池外有九分六厘常法从

步皆加四者盖于斜上求方面也

第四十八问

今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步只云其池广不及长四步又云从田楞通池长一十五步问三事各多少

答曰田方二十步　内池长一十步　广六步

法曰立天元一为池长减于倍通步□丨为田方面以自之得□□丨为田方积于头再置天元池长内减较四步□丨为池濶以天元乗之得□丨为直池

积以减头位得□□○为如积一叚

寄左然后列直积三百四十步与左

相消得□□下法上实如法而一得

一十步即池长也以长减于倍通步

即方田面也

依条叚求之四叚通步幂内减田积为实四之通步内减池较为法如法得池长

义曰四之通步为法内欠一个池长幂却用所漏之

池补之犹差一池较

为法合除之数也既

于实积内虚了此数

故作法时于四之通步内减去一数也

第四十九问

今有方田一叚内有小方池结角占之外计地一万八百步只云从外田楞至内池角各一十八步问内外方各多少

答曰外田方一百二十步　内池方六十步

法曰立天元一为内方面身外加

四又加倍至步三十六得□□为

田方面以自乗得□□□为外方

积于头再置天元内方面以自之

得【元○】丨为内池积也以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□开平方得六十步为内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也

依条叚求之见积内减四叚至步幂为实四之至步身外加四为从九分六厘常法

义曰从步内加四者是于一个方

面上求

第五十问

今有方田一叚自有小方池结角占之外计地九千三百七十五步只云从外方角至内池面各五十七步半问内外方各多少

答曰外田方一百步　内池方二十五步

法曰立天元一为内方面

加倍至步一百一十五步

得□丨为外田斜以自之

得□□丨为所展方积于

头再置天元内池面以自

之得【元○】丨为内池积又就分以一步九分六厘乗之得下【元○】□亦为所展之池积也以减头位得□□□为一叚所展如积寄左然后列真积九千三百七十五步以一步九分六厘乗之得一万八千三百七十五与左相消得□□□开平方得二十五步即内方面也

依条叚求之展积内减四叚至步幂为实四之至步为从九分六厘虚常法

义曰展积时其池亦展得虚了九

分六厘也

第五十一问

今有方田一叚内有小方池结角占之外计地四十五畆只云从外田南邉斜通池北角一百二步问内外方各多少

答曰外田方一百二十步　内池方六十步

法曰立天元一为内方面身

外加四为池斜以减于倍通

步二百四步得□□为外方

面以自之得□□□为方田

积于头又置天元内池面以自之得下【元○】丨为内方池也以内方池减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□平方开之得六十步为池方面也

依条叚求之四叚通步幂内减见积为实四之通步加四为从九分六厘虚隅法

义曰从步身外加四者盖是于池

斜上求池面也

旧术曰倍通步自乗以田积减之余折半为实倍通步加四为从亷常置四分八厘减从开方见内方面

第五十二问

今有方田一叚内有方池结角占之外计地三十九畆零一十五步只云从田东南角至内池西北面八十二步半问内外方面各多少

答曰外田方面一百步　内池方面二十五步

法曰立天元一为内方面减于倍通步一百六十五

步得□丨为外田斜也以自之得

□□丨为所展外田积于头再置

天元池方面以自之为方池积又

就分以一步九分六厘乗之得【元○】

□为所展方池积也以减头位得□□□为展起底如积一叚寄左然后列真积三十九畆一十五步通纳得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六厘乗之得一万八千三百七十五步与左相消得□□□平方开之得二十五步即内池面也以池面减于倍通步又身外去四即外方面也

依条叚求之四叚通步幂内减展积为实四之通步为从九分六厘常法

义曰元以展积减四叚通步

幂时漏下一步九分六厘池

积今来于从步内叠用了一

个方外剰九分六厘

第五十三问

今有方田一叚内有直池结角占之外计地八百五十步只云从田角通水长三十七步通水濶三十二步问三事各数

答曰池长二十五步　濶一十五步　外田方三十

五步

法曰立天元一为内池长减于倍通步七十四步得□丨为外田斜也以自之得□□丨为所展外田积

于头再置倍通长七十四步内

减倍通濶六十四步余一十步

乃池长濶差也【或直以通长通濶相减于者倍

之亦为长濶差也】再置天元池长内减

长濶差得□丨为濶也以天元长乗之得□丨为直池积也又就分以一步九分六厘乗之得□□为展起底直池积也以减头位得下式□□□为所展如积一叚寄左然后列真积八百五十步就分以一步九分六厘乗之得一千六百六十六步与左相消得□□□开平方得二十五步为内池长也【以减倍通长步又身外去四即外田方面也】

依条叚求之四叚通长幂内减展积为实四之通长于头以一步九分六厘乗长濶差以减头位为从九分六厘常法

义曰据从步合用之积于叠起处少了一方今将减积时漏下所展水池补了一甲之地若更得一乙之

地则共补成一步九

分六厘之地方也【按原

图仍用正方今易为直方庶为简明】今

不可补故于从步内

减去所展差步便是

于从法合用之积内借了一乙之地恰补就一步九分六厘之方也除补了叠起的一步方外犹剰九分六厘故以之爲常法也

第五十四问

今有方田一叚内有直池结角占之外计地一千一百五十步只云从田角至水两头各一十四步至水两邉各一十九步问三事各多少

答曰方四十五步　池长三十五步　濶二十五

步

法曰立天元一爲池濶加二之邉至步三十八得□丨为外田斜以自之得□□丨为所展外田积于头

二之邉至步内减二之头至步

余一十步为池长濶差也再置

天元池濶加差一十步得□丨

为池长也用天元池濶乗之得

□丨为直池积也又就分以一步九分六厘乗之得□□步为所展之池积也以减头位得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积一千一百五十步以一步九分六厘乗之得二千二百五十五十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为池濶也【又加二之邉至步又身外去四即外方面也】

依条叚求之展积内减四叚邉至步幂为实四之邉至步于头以一步九分六厘乗长濶差减头位余为从九分六厘虚常法

义曰所展池积内将四叚红【按原

图应减者以红色别之】积恰补作九分六

厘虚常法其两个所占半差于

减从时又以一步九分六厘乗

之者葢欲合身外加四所乗积也

按展积义多未备此条尤略今具图説以详之

义曰外四隅方所减之四至幂

也中十字积为实则池濶为隅

四之至步为从也附直池外斜

方展池积也平分上下二尖形

附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正长之直方展池正长为原池长之一步九分六厘十字积与展池积之较为实是前从隅内应少原池长之一步九分六厘又为少原池长濶较之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展较减前从以为从展隅反减前隅为虚隅也

第五十五问

今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三畆一分只云内外周径共相和得四百二十四步问内外周径各多少【图依宻率】

答曰外周二百八十六步径九十一步　内周一百一十步径三十五步　实径二十八步

法曰立天元为实径以减相和

步四百二十四得□丨为内外

周共步用天元实径乗之得□

丨为如积两叚寄左然后列二

之真积一万一千八十八步与左相消得□□丨开平方得二十八步为实径也以径步除田积于头位又二十二乗径步如七而一得数若加头位即外周若减头位即内周也

义曰以径步除田积所得乃半内周半外周共步也又据古率三个实径即是半个外内周差步也縁此问系是宻率故以二十二乗径以七约之也即得半差以加共步即是外周以减共步即是内周也又据古率三之实径以加减共步者縁共步便三空径三实径共数也于此共数内加三实径则恰是三个大圆径故为一个外周也若共数内减去三实径则正有三个小圆径故为一个内周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此数以求内外周也依条叚求之倍积步为实和步为从一益隅

义曰以和步为从

是于内外周数外

又引出一步虚常法也

第五十六问

今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三畆一分只云从外田通内池径六十三步问同前

答同前

法曰立天元为实径加通步六

十三得□丨为外田径以自之

得下□□丨为外圆径幂又十

一之得下式□□□为十四叚

外圆积于头再置天元实径以减通步得□丨为内圆径以自之得□□丨为内圆径幂又十一之得□□□为十四叚内圆积也以减头位得下式□步为十四叚如积寄左然后列真积二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七万七千六百一十六与左相消得□□下法上实如法而一得二十八步为实径也以实径加通步即外径若减通步即内池径也

依条叚求之十四之积为实四十四之通步为法求得实径

此问难以为式强立此式以推之毎积之长乃三个通步今十四之积合以四十二个通步除之今用四十四之通步为法者縁宻率之周稍多于古率之周也假令古率七个积即合用二十一个通步为法若依宻率七个积即合用二十二个通步为法此问乃并十四之积为实是合用四十四个通步为法也旧术曰二十二之通步如七而一为法除田积见径又法倍通步自之又十一之于上以十四之积减上余为实四十四之通步为法见池径

按条叚皆于立天元一内取出而于方圆变积之义或未暇深思故谓难以为式若以方环圆环解之固易易耳今増一图义于后而旧术又法先求池径更可互相发明因并附焉

义曰圆幂率十一方幂率十四以十四

乗圆环积便为十一方环积毎环为实

径乗通步之直方四故以十一方环积为

实四十四通步为法即得实径也

义曰倍通步即大小径并其幂内有

大小径幂各一大小径相乗直方二

内减圆环积所变之方环积余小径

幂二大小径相乗之直方二又为小

径乗大小径并之直方二又为小径乗通步之直方四故以十一倍之积较为实四十四之通步为法即得小径也

第五十七问

今有圆田一叚内有直池水占之外计地八千七百四十四步只云两头至田楞各二十一步两畔至田楞各四十五步问三事各数

答曰田径一百二十四步　池长八十二步　濶

三十四歩

法曰立天元一为池濶加二之畔至

步得□丨为外田径以自之得□□

丨为田径幂以三之得□□□爲四

叚圆田积于头二至歩相减余二十

四步又倍之得四十八步为池长濶差也再立天元池濶加差得□丨爲池长以天元濶乗之得□丨为池积又就分四之得□□为四叚直池积以减头位得□□丨为如积四叚寄左然后列真积八千七百四十四步就分四之得三万四千九百七十六步减头位得□□丨平方开之得三十四步为池濶也依条叚求之四之见积内减十二叚畔至步幂为实十二之畔至步内减四个长濶差余为从一步虚常法

义曰八处以红志之者共是从内所减之数也旧术曰四之积步于上又倍一畔步自乗三之减上余为实又并一头一畔步六之内减了长濶之差余为从亷常置一步减从开方见池濶也

第五十八问

今有圆田一叚内有直池占之外计地一千五百八十七步只云从田楞通地长四十二步通地濶三十七步问三事各数

答曰田径五十四步　池长三十步　濶二十步

法曰立天元一为内池长以减

倍通长八十四步得□丨为田

径以自之得□□丨为田径幂

以三之得□□□为四叚圆田于头再立天元一为池长内减长濶差得□丨为池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□为四叚池积【求长濶差者倍通长内减倍通濶即是也】以减头位得下式□□丨为四叚如积寄左然后列四之真积六千三百四十八步与左相消得□□丨开平方得三十步为内池长也以长减倍通长即田径也依条叚求之十二之通步幂内减四之见积为实十二之通步内减四差为从一步常法

义曰十二之从步内减去了三个差又以三个漏下池积补了叠起底三步虚方外犹剰一池更用一差减从并上所剰之一池恰补成一步常法也

第五十九问

今有二方夹一圆失却圆水占外有田积一十一畆五分五厘其方圆相去重重径等问方圆各多少答曰内方面一十二步　圆径三十六步　外方

面六十步

法曰立天元一为等数五之得

□为外方面自之得【元○】□为外

方积于头一次立天元一为等

数以三之得□为中圆径以自

之得【元○】□为圆径幂又三之四而一得【元○】□为池积以减头位得【元○】□为外田积内减了中圆积之数于次位一再立天元等数便为内方面以自之得【元○】丨为内方积却加入次位得下□为如积一叚寄左然后列真积一十一畆五分五厘以畆法通得二千七百七十二步与左相消得□□步下法上实如法而一得一百四十四步再开平方得一十二步为等数也便是内方面也三之为中圆径五之为外方面　此问更无条叚旧法以十九步二分半除积步得内方幂只是以一步推之也假令内方一步则圆径三步外方面五步也于外方积二十五步之内减了中圆积六步七分半却加入内方积一步计得十九步二分半也第六十问

今有二圆夹一方失却中方水占外有田积一十四畆一分七厘半其方圆相去重重径等问方圆各几何答曰内圆径一十八步　方面五十四步　外圆径九十步

法曰立天元一为等数以五之为外

圆径以自之得【元○】□为外径幂又三

之四而一得□为外田积于头再立

天元等数以三之为中方面又自之得【元○】□为中方幂以减头位得【元○】□为外圆积内减了中方幂之数于次位又置天元等数便为内圆径以自之得【元○】丨为内径幂又三之四而一得【元○】□为内圆积也却加入头位得【元○】□为如积一叚寄左然后列真积一十四畆一分七厘半以畆法通得三千四百二步与左相消得□□下法上实如法而一得三百二十四步再开平方得一十八步为等数便是内圆径也副置之三因为中方面五因为外圆径也　此问与前问意同更无条叚旧法以十步半除积步得内径幂亦只是以一步推之假令内圆径一步则是中方面三步外圆径五步先置外圆积一十八步七分半内减了中方积九步却加内圆积七分半共得一十步半也

第六十一问

今有方田一叚靠西北隅有圆池水占之外计地九百二十五步只云从外田东南隅至池楞二十五步问面径各多少

答曰外田方面三十五步　内池径二十步

法曰立天元一为内池径身外加

二得□为池东南楞至田西北角

也又加斜至步二十五步得□□

为外田斜以自之得□□□为田

斜幂于头再立天元圆径以自之为幂又以一步四分七厘乗之得【元○】□为所展圆池积以减头位得□□□为所展如积一叚寄左【初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也　按加二系以方求半方半斜和之数也】然后列真积九百二十五步就分以一步九分六厘乗之得一千八百一十三步与左相消得□□□平方开得二十步为池径也池径外加二又添入斜至步却身外除四即外方面也

依条叚求之展积内减斜至幂为实倍至步身外加二为从三厘虚常法减从开平方

义曰于一方外虚了四分七厘

从上带了四分外虚七厘又于

从上乗起四厘外犹虚三厘故

以三厘为常法此图内二分合

画作极细形状与四分七厘外圆邉正自相应今不应者但二分差濶耳所以画作差濶之状者正欲易辩二分之数也

按原图式有附斜至幂外磬折形无附池径幂外磬折形且二形相离皆本之误也故义中所论亦不知其何指今订补此图二分不必加濶未尝不易辨也

第六十二问

今有方田二叚靠西北隅有方池结角占外计地四畆一十五步只云从田东南隅斜至水方面一十九步问内外面各多少

答曰外方面四十步　内方面二十五步

法曰立天元一为池方面身外加

四八又加入斜至步一十九步得

□□为外田斜也【先将池斜变为方故加四后又】

【将池方变为斜复合加四两度加四于一步上合得一步九分六厘今求一半故身外止加四八也　按方一步求斜身外加四又以斜为方求斜再身外加四是原方求再斜为身外加九六今求半方半再斜之和数故加四八也】以自之得□□□为外田斜幂于上再立天元一为池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得【元○】□为展起方池积以减上得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积四畆一十五步以畆法通内得九百七十五步又随分以一步九分六厘乗之得一千九百一十一步与左相消得□□□平方开得二十五步为内池方面也于此方面上两次求斜合得一步九分六厘以除元方一步外有九分六厘半之则得四分八厘故此方面上加四八更加入斜至步为大方斜也

以条叚求之展积内减至步幂为实二之至步以一步四分八厘乗之为从二分三厘四丝为常法

义曰此一问其展起积时

于一池之外虚了九分六

厘却于一个从步内加四

分八厘二个从步计加了

九分六厘恰就了所展虗

数除外有一叚四分自乗数该一分六厘于上又有两叚四分乗八厘数【按附自乗方外】该六厘四毫于次又有一叚八厘自乗数【按小方隅】该六毫四丝于下三位并得二分三厘四丝此数系是于展积内实有之数故以常法也

旧术以四十九乗田积如二十五而一于头位以至水步自乗减头位为实余与条叚同

按原图式四分八厘方内按分厘数细分之因其数甚微又以分数厘数作等数分之终不免混淆今以亷隅线易之

第六十三问

今有大圆田一叚大小方田二叚其小方田内有圆池水占之外共计积六万一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多于小方田面五十步其圆田径又多于大方田面五十步问四事各多少答曰小方田面一百步　池径四十步　大方田

面一百五十步　圆田径二百步

法曰立天元一为内池径加二之至

水六十步为小方面于小方面上又

加入大小方面差五十步即大方面

也于大方面上又加入大圆径大方

面差五十步即大圆径也具图于左

一内圆径【太○】丨　一小方面□丨

一大方面□丨　一大圆径□丨

乃先置天元内圆径以自之义三之

得【元○】□为四叚圆池积于上又置小方面□丨以自之得□□丨为小方积以四之得下式□□□为四叚小方积于次又置大方面以自之得□□丨为大方积四之得□□□为四叚大方积于下又置大圆径下式□丨以自之得□□丨为大圆径幂以三之得下式□□□为四叚大圆积于下位之次并下三位得下式□□□于右以四池积【元○】□减于右得□□□为如积四叚寄左然后列真积六万一千三百步就分四之得二十四万五千二百步与左相消得□□□平方开之得四十步为内池径也各加差步即各得方面与圆径也

依条叚求之四之田积于头位内减三叚【按落大圆径三字】多池径幂又减四叚大方面多池径幂又减十六叚至水步幂为实六之圆田多池径步又八之大方田面多池径步又十六之至水步三位并之得二千三百二十步为从法亷常置八步开平方

义曰三叚圆径幂乃四个圆田积此数内有三个方也其四叚大方田积内有四个方也其四叚小方积毎个圆池外余二分半四池计余一步方也三位上并带八步方

第六十四问

今有方田一叚中心有环池水占之外计地四十七畆二百一十七步只云共环水内周不及外周七十二步又从田四角至水各五十步半问内外周及田方方各多少

答曰外周一百八十步　内周一百八步　田方

一百一十五步

法曰立天元一为池内径

先以六除内外周差七十

二步得一十二步为水径

倍之得二十四步加入天

元池内径得□丨为池外径又加倍至步一百一步得下式□丨为外田斜以自之得□□丨为田斜幂于头位再立天元池内径加入二之水径得□丨为池外径以自之得□□丨为外径幂又以一步四分七厘乗之得下式□□□步为展起底外圆积于次上再立天元一池内径以自之【元○】丨亦以一步四分七

厘乗之得【元○】□　　　　　　　　　　　【步】为展起底内圆积以减次上得□步□○为所展底池积也以此池积减头位得下式□步□丨为展起如积一叚寄左然后列真积四十七畆二百一十七步以畆法通纳之得一万一千四百九十七步又就分以一步九分六厘乗之得二万二千五百三十四步一分二厘与左相消得下式□步□丨开平方得三十六步即池内径也三之为内周又加差为外周置内径加二之水径又加倍至步为外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依条叚求之以一步九分六厘乗田积于头位以水径加至步以自之为幂又四之以减头位又倍水径自乗又以一步四分七厘乗之却加入头位为实又水径加至步四之于头位又三之水径以一步九分六厘乗之减头位为从一步常法此问图式有三第一式即所畵原様是也以一步九分六厘乗之变为斜幂其式如后