周易函书约存

法先以甲法七呼丑实二曰二七除一十四乙法九呼丑实二曰二九除一十八皆于丑实二内除之此如以丑二作二百先除一百四十后除一十八止存四十二也故丑位空寅存四夘存二再以甲法七呼子实一曰一七除七乙法九呼子实一曰一九除九此如以子一作一百先除七十后除九也曰七退十还三子位空丑上三曰九退十还一丑存二上一于寅之四上为五夘仍存二逐位除毕即丑余之二寅余之五夘余之二为所求二百五十二两也盖所除之数皆乘数中不用之数今既以所余之数悉除之故遂因除数而得乘数也总縁十数之中有所用之正数即有所不用之余数正数用则余数除矣由其不用征其所用此即周易体阳用隂体隂用阳之妙此即八卦小图纯阳之体由隂终隂始而见纯隂之体由阳终阳始而成之妙也蓍之揲也本以分揲挂扐为所用之策而或以所余不用之数即以分老少隂阳凡皆隐显互征体用一原之妙耳故前参天两地之图如以十中之成数生数分别用之无不相合特逆顺不同耳

九九图

<经部,易类,周易函书约存,卷十二>

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<经部,易类,周易函书约存,卷十二>

<经部,易类,周易函书约存,卷十二>

六十四子顺逆安置用横行八位为一阵首行数居北之中八行数居北之右七行数居西三行数居东五行数居南四行数居南之左六行数居南之右其求积法如前八八图每阵得二百六十每阵各取半面四子积一百三十合而俱成一阵数无不同如截坎东四子艮西四子共得二百六十截干南四子兑北四子亦得二百六十　煦曰盖必如此顺逆列之然后左右对取各得六十五知一对得六十五则两对必得一百三十四对必得二百六十矣前四四等图左右上下其数无不相合皆用此图对取之法也

用七十二子为图并一与七十二得七十三以七十二乘之得五千二百五十六折半得二千六百二十八为实以九为法除之得每环八子为一阵各二百九十二以九阵化为十三阵也

煦按此亦上下顺逆列之然后左右对取各得七十二数者也左右对取即以多配少如一便配七十二是也

自洛书以三三积数为数之原而自四以下皆以为法焉何则三者天数也故其象圆如前图居四方与居四隅者或动或静【居中者一定不易】而各成纵横皆十五之数矣四者地数也故其象方如后图居中居四隅与居四方者或动或静亦各成纵横皆三十四之数矣自五五以下皆以三三图为根自六六以下皆以四四图为根而四四图又实以三三图为根故洛书为数之原不易之论也今附四四图于左以相证明其余具数学中不悉载

四八十二十六　四九五十六　　十三八十二一三七十一十五　十四七十一二　三十六十五二六十十四　　十五六十三　　二十一七十四一五九十三　　一十二八十三　十六五九四

此以十六数自左而右自上而下列之【第一图】其居中与居四隅者不易而居四方者交易则成纵横皆三十四之数【第二图】若居四方者不易而居中与居四隅者交易亦成纵横皆三十四之数【第三图】

十三九五一　　十三八十二一　四九五十六十四十六二　　三十六十五　　十四七十一二十五十一七三　二十一七十四　十五六十三十六十二八四　十六五九四　　一十二八十三

此以十六数自右而左自下而上列之【第一图】用前法变为两图【第二图第三图】并得纵横皆三十四之数但其不易者即前之交易者而其交易者即前之不易者【此第二图同前第三图此第三图同前第二图】盖亦隂阳互为动静之理云

【一　用中两率三七相加为十以一减之得九三　以九减之得一七　若用一九相加亦为十以三减之得七以七九　减之得三二　用中两率四六相加为十以二减之得八以四　八减得二六　若用二八相加亦为十以四减之得六以六八　减之得四】

【一　用中两率三九相乘为二十七以一除之得二三　十七以二十七除之得一九　若用一与二十七相乘以三除之得九以九除七　之得三二　用中两率四八相乘为三十二以二除之得十四　六以十六除之得二八　若用二与十六相乘以四除之得八以八除之六　得四】

大传曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天地之数皆自少而多多而复还于少此加减之原也又曰参天两地而数天数以三行地数以二行此乘除之原也是故河图以一二为数之体之始洛书以三二为数之用之始然洛书之用始于参两者以参两为根也实则诸数循环互为其根莫不寓乘除之法焉而又皆以加减之法为之本今推得洛书加减之法四乘除之法十四积方之法五勾股之法四各为图表以明之于左

洛书加减四法【俱论下一字】

一用竒数左旋相加得相连之耦数【此生四隅之数也一加三为四　　　三加九为十二九加七为十六　　七加一为八】

若用竒数减左旋相连之耦数得右旋相连之竒数【三减四为一　　　九减十二为三七减十六为九　　一减八为七】

一用耦数左旋相加得相连之耦数【此亦生四隅之数也二加六为八　　　六加八为十四八加四为十二　　四加二为六】

若用耦数减左旋相连之耦数得右旋相连之耦数【此亦生四隅之数也】

【六减八为二　　　八减十四为六四减十二为八　　二减六为四】

一用竒数右旋加耦数得相连之竒数

【一加六为七九加四为十三】

若用竒数减相连之竒数得相连之耦数【此两竒生在申之耦数也】

【一减七为六九减十三为四】

一用耦数右旋加竒数得相对之竒数

【二加九为十一　　四加三为七八加一为九　　　六加七为十三】

若用竒数减相对之竒数得相连之耦数

【九减十一为二　　三减七为四一减九为八　　　七减十三为六】

洛书乘除十四法

一用三左旋乘竒数得相连之竒数

【三三如九　　　三九二十七三七二十一　　一三如三】

一用八左旋乘耦数得相连之耦数

【八八六十四　　四八三十二八二一十六　　八六四十八】

一用三左旋乘耦数得相连之耦数

【三四一十二　　三二如六三六一十八　　三八二十四】

一用八左旋乘竒数得相连之耦数

【八三二十四　　八九七十二八七五十六　　八一如八】

一用二右旋乘耦数得相连之耦数

【二二如四　　　二四如八二八一十六　　二六一十二】

一用七右旋乘竒数得相连之竒数

【七七四十九　　七九六十三七三二十一　　七一如一】

一用二右旋乘竒数得隔二位之耦数

【二九一十八　　二三如六二一如二　　　二七一十四】

一用七右旋乘耦数得相连之耦数

【七二一十四　　七四二十八七八五十六　　七六四十二】

一用六乘偶数得本位之偶数

【六六三十六　　六八四十八六四二十四　　六二一十二】

一用六乘竒数得相连之偶数【此由四正而生四隅也】

【六七四十二　　六九五十四六三一十八　　六一如六】

一用四乘偶数得相对之偶数

【四四一十六　　四六二十四四二如八　　　四八三十二】

一用九乘竒数得相对之竒数

【九九八十一　　九一如九九三二十七　　九七六十三】

一用四乘竒数得隔二位之偶数

【四九三十六　　四七二十八四一如四　　　四三一十二】

一用九乘偶数得相对之偶数

【九二一十八　　九八七十二九四三十六　　九六五十四】

凡除法除其所得之数得其所乘之数

洛书乘除十四法可约为八法何则五者河洛之中数自此以上由五以生五加一为六六减五为一是六与一同根也五加二为七七减五为二是七与二同根也三八四九其理如之今用三与八左旋乘竒偶而皆得相连之竒偶可以知八即三矣用二与七右旋乘竒偶而皆得相连之竒偶可以知七即二矣内惟二乘竒数得隔二位之偶数者其所得即相连竒位同根之数犹之乎相连也【如二九一十八八与三同根得八犹之乎得相连之三也余仿此】用一与六乘而皆得本位之竒偶可以知六即一矣内惟六乘竒数得相连之偶数者其所得即本位同根之数犹之乎本位也【如六七四十二七与二同根得二犹之得本位之七也余仿此】用四与九乘而皆得对位之竒偶可以知九即四矣内惟四乘竒数得隔二位之偶数者其所得即对位同根之数犹之乎对位也【如四九三十六六与一同根得六犹之得对位之一也余仿此】其但得同根之数者何凡竒乘偶偶乘偶所得皆偶数而同【如三四一十二八四亦三十二】竒乘竒其得数为竒若偶乘竒不能得竒数而同故但得其同根之偶数也【如三三为九八三二十四九与四同根得四犹之得九也】所以一六二七三八四九在河图则四方之相配在洛书则正隅之相连以其数之生于中五而同根也数有合数有对数合数生于五对数成于十一六二七三八四九此合数也皆相减而为五者也一九二八三七四六此对数也皆相并而为十者也在河图则合数同方而对数相连在洛书则合数相连而对数相对相合之相从者六从一也七从二也八从三也九从四也【如前乘除十四法】相对之相从者九从一也八从二也七从三也六从四也【如后积方五法】凡以合数共成一数所得之数必同【乘偶既同数乘竒则同根】若各自乘焉则又必合矣【如三三得九八八六十四】以对数共乘一数所得之数必对【如三三得九七三二十一】若各自乘焉则又必同矣【如一一得一九九亦八十一二二得四八八亦六十四】是以自乘之数相合之相从者此得自数则彼亦得自数也【如一得一六得六】此得对数则彼亦得对数也【如四得六九得一】此得连数则彼亦得连数也【如三得九七亦得九二得四八亦得四】要皆防于一六四九而齐焉故开平方之自乘数止于一六四九而洛书之位一六四九居上下以为经二七三八居左右以为纬者此也

<经部,易类,周易函书约存,卷十二>

<经部,易类,周易函书约存,卷十二>

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以上诸图本同一根虽积数若异而其为九六之变则一也九六可分为内外中之三重亦可分为上中下之三层就每重每层论之则九为天而包地六为地而涵于天心为人而主乎天地统三重而论之则外为天内为地而中为人也统三层而论之则上为天下为地而中为人也又合而论之则九六者在天为隂阳在地为刚柔在人为隂阳刚柔之防而其心则天地人之极也以上下分者其心有三所谓三极之道三才各具一太极也以内外分者其心惟一所谓人者天地之心三才统体一太极也此图之中浑具理象数之妙者如此故分而为图则应乎隂阳刚柔之义根于极而迭运不穷圣人则之易有太极是生两仪阳九隂六命爻衍策者此也分而为书则应乎三才之义主于人而成位其中圣人则之皇极既建彜伦攸叙参天贰地垂范作畴者此也或曰河图洛书出于两时分为两象今以一图括之可乎曰十中涵九故数终于十而位止于九此天地自然之纪而图书所以相经纬而未尝相离也非有十者以为之经则九之体无以立非有九者以为之纬则十之用无以行不知图书之本为一者则亦不知其所以二矣或曰河图洛书有定位矣今以为有未变者何欤曰易大传之言河图也曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十顺而数之此其未变者也又曰天数五地数五五位相得而各有合分而置之此其定位者也如易卦一每生二以至六十有四则其未变者也干南坤北离东坎西则其定位者也不知未变之根则亦不足以识定位之妙矣【煦按此论图书不分有至理其论九六亦佳煦于参互错综注中已详言之】

此图左方注者本数也自一至九而用数全矣中列注者加数也一加二为三二加三为五至于八加九而为十七皆以本数递加而每层之羃积如之右方注者乘数也一自乘一其羃积一二自乘四其羃积合一三两层而为四至于九自乘八十一则其羃积亦合自一至十七九层之数而为八十一皆以本数自乘而每形之羃积如之得加乘之法则减除在其中矣自此而衍之至于无穷其数无不合焉推之九章之术其理无不贯

焉今考洛书纵横逆顺无往不得加减乘除之法开方勾股之算乃自其未变之先而诸法浑具至洛书而始尽其参伍错综之致云尔

大衍圆方之原

蓍策之数必以七为用者盖方圆之形唯以径七为率则能得周围之整数勾股之形亦惟以三四为率则能得斜之整数径七固七也勾三股四之合亦七也是故论方圆周围之合数则五十论勾股之合积亦五十此大衍之体也因而开方则不尽一数而止于四十九此大衍之用也开方而不尽一数则蓍策之虚一者是已方面之中函八勾股而又不尽一数则蓍策之挂一者是已唯老阳老隂之数与此密合故作图以明之

勾股名义

勾【横也】股【直也】【斜也】勾股较【勾股相减也】勾较【勾相减也】股较【股相减也】勾股和【勾与股并也】勾和【勾与并也】股和【股与并也】较和【与勾股较并也】和和【与勾股和并也】和较【与勾股和相减也】较较【与勾股较相减也】

勾股求　勾自乘股自乘并之为实用开平方法

除之得

勾求股　用勾自乘自乘相减所得之数平方开

之得股

股求勾　用股自乘自乘相减所得之数平方开

之得勾

周易函书约存卷十二

钦定四库全书

周易函书约存卷十三　　礼部侍郎胡煦撰原古【冒道分】

异乘同除法【泰西谓之三率】

以先有之数知今有之数两两相得是生此例莫善于异乗同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故泰西谓之三率异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟同名布与粟为异名矣

何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乗除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乗之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先冇之二件乗除之也】

原价与今物异名以乗原物与今物同名以除泰西以原物为一率原价为二率今有物为三率以二率乗三率而以一率除之即得四率

问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也

三率法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求

【今有之二率先只冇其一合前有之二率共为三率以求之而得今冇之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】

假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乗【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】

若互用之以四率为一率三为二率则十二为三率九为四率葢十二与九之比例若四与三也

【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是】

若倒用之十二为一率九为二率则四为三率三为四率

若以九为一率十二为二率则三为四率四为三率【四九相乘三十六而十二与三相乗亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四】

若错综之三为一率九为二率四为三率则十二为四率

若以九为一率三为二率十二为三率则四为四率若以十二为一率四为二率九为三率则三为四率若以四为一率十二为二率三为三率则九为四率此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而比例亦等【在前图为三与四若九与十二者此图则三与九亦若四与十二也】

若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乗三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】

笔算并法

并法即加法也千与千并百与百并俱从小数始自下而上

笔算减法

亦千与千并百与百并亦従小数始自下而上本位不足减借上位一数以减之

试加差法【凡加皆自下小数起】

有九减七减二法凡九减不论单十百千之位亦不计○位只据现有之数而合计之以九除之余者存之列于右次减总数以九除之余者存之列于左两余相比同则无差

七减有二法俱论位俱由大数以至小数一法以所加之数分积之凡首数皆作几十以七减之存其余合下数便作几十几如下有○位则此所余之数便作几十以七减之存其余方合三位之数作几十几以七减之若其末有○位不可以其余便为余数亦须作几十之数七减之其余方为所余之数记于右又従首减二行之加数以其余亦记于右又从首减三行之加数以其余亦记于右若所加之数止于三行则以三行所得之数合而七减之存其余列于右然后减总数亦自大数以至小数其○位亦如前法两余相比同则无差一法以所加之数合积之万与万积为一处以七减之以其余并千位之数减毕以其余合百位之数凡所余之数俱作十减至末位止以其余列于右中有○位皆不论矣然后如前减其所得总数相合则无差矣

试减差法【凡减皆自下小数起】

一法以减数并减余数仍得原数

一法以减余之数于原数中减之即得所减之数亦有九减七减二法九减法以减数并减余之数合而九减之以其所余者列于右次并原数亦合而九减之以其余列于左两余相比同则无误【葢必用减数减余二者然后能与原数配也】

七减法先以减数从大数始如前七减之法有○位则所余之数亦作十数视其所余者列于右然后以减余之数亦如前七减之法由大数而始递降而七减之亦列于右然后并二者之余数合为一处如过七数仍以七减之不及则并其余列于右次以原数亦如前七减之法由大数而始以七减之存其余列于左两余相比同则无误【如得数原数下冇三○则亦三余而止不可及于四余】

试乗差法【凡乗之实数由尾而起乗之法数由大者而起】

亦有九减七减二法九减法先以实数积而九减之而纪其余于右次以法数如法九减之而纪其余于左再以左右两减之余相乗得数仍九减之而纪其余于上末以所得之数亦九减之而纪其余于下两余相比同则无误若左右二方内有○即上方亦○又或左为一数即上数亦同右数皆不用乗　七减亦然【几曰十者在本位余者便在第二位】

试除差法

亦用九减七减二法九减得数记余于左法数记余于右得数与法数相乗记余于上然后以原数九减之记于下而合之

七减法先以除数【即法数】如法减之列于左次以得数如法减之列于右次以除数得数之余相乗而减之列于上然后以原数如法减之列于下两数相同知其无悮若使得数除之不尽尚有余数未除则于两数相乗之时合并所余之数而减之

试加差法

九减式试第一式先减散数去○与九不入减【□本不入

数九在减内故不入】并四七【此处除九】五

八八六七八八六一五共

为七十三九减余一【减去八九七十二】列

□左○次并总数三二七七共为

一十九九减余一【减去二九一十八】列□右左右相比数同无差通曰此以见数为主不论千百位也

七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余

三次作

三十六

七减余一【减五

七三十五】次作一

十五七减余一【减二七一十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三【三行余五四行余五】三行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三【此合数也】七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差

试减差法

九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共

为一十五九减余六次并原数

二七一五为一十五九减余六

左右列比无差

通曰九减用实积数亦可葢九数无往

不合故也【此二七一五减四二者】

七减式试第一式先以减数之左四○作四十七灭余

五次作五十二七减余三

又以减余之左二三作二

十三七减余二次作二十一七

减无余次三不足减仍余三【不足】

【在末不必作十】三俱纪右下乃以各数纪余之三三并为六不足减仍作六再以原数之左二七作二十七七减余六次作六十一七减余五次作五十五七减余六左右列比无差【此二七一五减四二者】

补乗法

术曰乗即因也用九因法上列原数【即实数】下列乗数【即法数】齐于右尾算即始右将下一位遍乗上诸位向左逐位纪所乗数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首为何数从乗数左首推至总数左首即知

通曰凡以下乗上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乗尾无○者虽○亦乗之以存其位乗尾有○而原尾无○者即自乗数之有数位乗起若上下尾与中或俱有○者亦须乗之以存位下数乗上○下○乗上数皆曰某○如某下○乗上○曰○○如○则本位左位俱纪○也