周易函书约存

之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乗尾无○者虽○亦乗之以存其位乗尾有○而原尾无○者即自乗数之有数位乗起若上下尾与中或俱有○者亦须乗之以存位下数乗上○下○乗上数皆曰某○如某下○乗上○曰○○如○则本位左位俱纪○也

十因

式乗上下数不等少数尚未满十乗数而少数不及于乗上下数如以八乗九何以得七十二术九在十内少一纪一于九右八在十内少二纪二于八右是九八为乗上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一

不及九二不及八少数不及也以少数一二相乗得二【此即七十二之二也呼一二如二】纪下二未满十故曰未满十乗数也又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数【此即七十二之七】同下纪七故得七十二

又式乗上下数等少数未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乗八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相乗得四下纪四左右上下斜减俱余六

下纪六故得六十四

又式乗上下数等少数已满十乗数而少数反过于乗上下数如以三乗三何以得九术上下俱三三在十内小七右俱纪七相乗得四十九已有四十故曰已满十乗数也下纪九纪四于左左上下三各加所四俱变

为七然后左右斜减俱无余【七与七减也】下纪○故得九

又式乗上下数不等少数满十乗数而少数不及于乗上下数如以六乗七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乗得一十二下纪二一于左左上七加一变为八下六加一变为七然后左右上下

斜减俱余四下纪四故得四十二又术三乗四得一十二将一悬于左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合

通曰一二之乗得八九之乘是以小乗而得大乗也七七之乗得三三之乗是以大乗而得小乗也九因本乎【卜因即洛书之无十而藏十也】

试乗差法

九减式试第二式四千六百零八人每人三百二十五两共得一百四十九万七千六百两也除○九外并原

数四六八为一十八九减无余

列○于□左并乘数三二五为一十九减余一列□右以左右一与○乘

曰一○如○无数列○于□上并总数一四七六为一十八九减无余列○于□下上下相比无差

七减式试第四式四十五人每人六十两共得二千七

百两原数如法减之【减六七四十二】余

三列□左乗数如法减之【减七八五】

【十六】余四列□右以左右三四乗得一十二七减余五列上总数如法减之余五

列下上下相比无差

通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐位减至右未而止也

试除差法

除无余九减式试第一式三百四十二两九人分之各

得三十八两除数九九减无余

左列○并用数三八为一十一

九减余二右列二乗无数列○于□上

并原数三四二为九九减无余列○于□下上下相比无差【下有余实一五未分】

除有余九减式试第五式六百五十三两五十八人分

之各得一十一两并除数

五八为一十三九减余四

左列四并用数一一为二不足九

减右即列二乗得八【二四如八也】又并余实一五为一十四九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差

除无余七减式试第一式三百四十二两九人分之各

得三十八两除数九作九七减

余二列左用数三八作二十八

七减余三列右乗得六【二三如六】不足七减

即列六于上原数三四作三十四七减余六次作六十二七减余六列下上下相比无差

除有余七减式试第五式六百五十三两五十八人分

之各得一十一两除数五

八作五十八七减余二列

左用数一一作一十一七减余四

列右乗得八【二四如八】又以余实一五作一十五七减余一以此余一并左右所乗八为九七减余二列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差

半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实

二一三○用九减并除数六

五为一十一九减余二列左

又并用数一三为四不足九

减右即列四乗得八乃并法

尾止处以前之余实二一为三不足九

减即以此三并左右所乗八为一十一九减余二列上并原数抹去三位之八六六为二十九减余二列下上下相比无差○用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列右乗得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乗数相并仍是一十二七减余五列上原数抹去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差

通曰试策之法独用九七何也葢十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乗除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余用八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乗除亦不可用然则试差之法舎七与九又何所取用哉

命分法

术曰命分者一大几何已分几何命余者为几何分之几何也又曰所余之小几何再分几何命此得者为几何分之几何也通曰第一术即几何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也

式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也

尺算

法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不移如此乃可为法

两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景葢同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也天地间无非参两之妙虽百千万亿至于无穷胥莫能逃矣

乗法

先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又须预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也通变升降其用始广如实尺数大不便安放者须降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必须俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实

式有五人每人四两问共若干曰二十两

以四两为四分作实数以五人为五寸作法数将实尺比定四分横安于法尺一寸空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十知所得二寸为二十两

降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两

以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一小不可安放乃降十倍安于法尽一寸空处量法尺五寸九分空处得四寸七分二力先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得四百七十二两此系升法以代降实

实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十

以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分原以分为两是为四十八两先半后倍倍得九十六两也

法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若十曰一百九十二两

以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两因法实俱折半故再倍之也

实数再折式八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两

以八人作八寸为法以二十四两折半得一十二两又折半为六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六再倍之得一百九十二再折故再倍或将实三分之得数三乗之亦可

法实俱再折式三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两

以三十二人折半得一十六人又折半得八人作八寸为法以二十四两折半得一十二两又折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两四其折半故四其加倍如以四自乗得十六又乗四十八亦合

整零截量式二十四人每人五钱三分问共若干曰一十三两七钱二分

以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之将实尺比定五分三厘安于法尺一分空处实大不便安顿降之安于法尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数因以尺之厘为银之分故知为十二两七钱二分

又术以二十四人作法尺二尺四寸以五钱三分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分为二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合所截为二十人故加倍若三十人则用三乗四十人则用四乗之

除法

法实数定之后将实尺比定实数安于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何即为所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分量之

式银二十二两四十人分之问各得银若干曰五钱五分

以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四分为法将实尺比定二寸二分安于法尺四寸四分空处乃量法尺之一分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也　量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乗以知除也

降数式银四十四两二十二人分之问各若干曰二两

以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二分空处乃量法尺一分空处得二厘因先降数此当升为二分分为银之两知所得为二两

折实式一十八两六人分之问共若干曰三两

以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘因降实此当升为一寸五分又因折实此当倍为三寸以寸为两故知所得为三两

法实俱折式一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱

以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘因降实当升为一寸五分寸为两知所得为一两五钱法实俱折者除与乗不同乗折则所得止半数故须倍之除折则所得即所求数故不必又倍

随分式银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两

以八十两作八十分为实将实尺比定八十分安于法尺百分空处如欲作四平分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也　二寸五分者四分百之一也二寸者五分百之一也

整零截量式三十二两五人分之问各若干曰六两四

以三十二两作三尺二寸为实以五人作五寸为法先截实末二寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸知每人得六两四钱　后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也

比例法

有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前尺数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也比类无穷不可胜举引而伸之存乎其人

银四百四十两二百二十人分之人得二两今有银

八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人

以二百二十人作二寸二分为法将四百四十两作四寸四分为实以实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分土实大降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人　前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也

式银三两给六人今有银七两照前例应给几人曰一十四人

以三两作三寸为法以六人作六分为实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分为人即知所得为一十四人也　又术以三两作三分为实以六人作六分为法将实尺比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分即一十四人也法实可互更乘除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以例比即乘除亦无非比例故比例以尺为便

筹算

珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无数又无用之用也【零筹多置几根】

开方筹

筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数

术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣或前位有数或后位有数皆一位也或两位皆有数则合为一数次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数乗除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乗之除之之规则也凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹中有零位则用○筹有几○位则用几○筹凡法实不可误用唯乗法或可通融若除法必须细认

凡乗法皆于实末位小数起视原实某数即于筹某行取数列之

一位法式五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两

以五十九人为实八两为法先依实数查第五筹第九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两

二位法式五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两

以五十四人为实六十四两为法依实查五四两筹齐列先依法尾四查第四格曰六曰一○曰二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一囘进一位列数此横列之法故従右起梅定九竪列之则应自下而上矣九格内凡遇右尾有○必须列之以存位其○在

数中者说详后式

【并　二一六法三二四】

【得数】三四五六

如一年三百六十日每日一十二时问共几何答曰四千三百二十时

法列一筹二筹看六三两位六位为七二三位为三六合并得四三二

定位法従末位起知未位是十上一位便是百又上一位便是千也若末位是单上一位便是十

二

一

三筹为法式如每岁三百六十五日每日九十六刻该刻几何曰三万五千○四十刻

法列三六五三筹看九六两位六位二一九九位三二八五因六位二一九下有一○则存之以存刻位筹内斜方有○无数式五十四人每人二十八两问共若干曰一千五百一十二两

以五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格曰八曰○曰一进一位列之加得合问○斜方之中有数有○则去不用若无数有○则须存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也

筹内斜方并数进十式有八十七人毎人六两问共若干曰五百二十二两

以八十七人为实查筹并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣自下而上者亦然若自上顺数之则为五二二

法尾有空式如每年三百六十日今三千八百三十年问日该几何曰一百三十七万八千八百○日此因所问止及十数未及单位之日故法尾存单位为日法列三六两筹而后加一○筹先看三位为一○八次看八位进一位为二八八又次看三位又进一位为一○八并之得一三七八八下有○○方至单位但知尾位一圈是单日则各位皆定

实尾位有空式如一十二万日每日九十六刻该则几何曰一千一百五十二万刻法置九六两筹看一二两位二位为一九二一位为○九六因一位上有一圈故必存○位于上然所问为每日则日为单位而所问实止于万则千百十单必须存四空位方能及于单日用零筹式六百零八人每人三十四两问共若干曰二万零六百七十二两

以六百零八人为实查六筹零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四曰二○曰八曰一进一位列之加得合问

实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也

除法【即商法】

术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹従左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或略少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或略少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘再商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之

凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定不可倒置如有粮若干给若干人则当以粮为实以人之数为法除之葢粮数是所分之物人数是用以分之之法也

凡书商数皆与减数第一行相对若所减第一位是○则作○于原实首位上而对之此定位之根也定位法除毕以商得数与原实对位求之皆如法首位之上一位命为单数【归于法前得零古法实如法而一是也】然此有二法有法少实多者従原实内防法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法有法反多而实反少者乃变法也法従原实首位逆遡而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数

一位商式三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两

别列三百二十五两为实以六十五人为法查六五两筹左右齐列何格数与实相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二五适等即五为商数也

如太阳每歳行天三百六十度分为七十二候每候几何度曰每候五度此欲分七十二分当以七二为法用两算

先列三百六十度为实次检七二两筹为法视何格内有三六○与相同今在五格则商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之此法少于实也宜于原实内防十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度

假令实是三千六百则所得为五十度此亦法少于实法亦于原实内防法首十位再上一位为单位单位空作圈再上一位是十度定所得为五十度用筹同而得数迥异定位之法所以当明

二位商式三千三百二十五两九十五人分之问各若干曰三十五两

列三千三百二十五两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位须截实上三位曰三三二作三百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五略少于实数四格则多矣用三为初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七五【二五并七】适等用五为次商

如皇极经世一元共十二万九千六百年分为十二防共几何曰每防一万○八百年

如图列实检一二两筹第一行是○一二商作一数除实一二尚余九六至第八行得○九六商作八恰尽又因所减数是○一二故于实首位作圈而以商得一对此商位书之此定位之根次所减亦是○九六故以商得八进位书之以暗对其○因法以十为首则十字之上方是单位数至一恰当万也

三商式如有水轮毎日共转二千二百四十四周一日十二时每时几何转曰每时一百八十七此亦欲分为十二也故用一二两筹检筹第一行是○一二商一减实一千二百余一千四十四次检筹第八行是○九六商八减实九百六十余八十四末俭筹第七行是○八四商七法以十为首则十上一位为单数初商数对所减筹第一位因初商是○一二故遂以一字对书之商当有○式三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两

列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二二八作三千二百二十八查至六格自左向右曰三二二八作三千二百二十八畧少于实数七格则多矣用六为初商相减余一十以余实一○及截七六作一千零七十六此乃次位无实也次商当作○竟不除实余实仍是一千零七十六查至二格一零七六适等用二为三商　若次位三位俱无实者即一连两商皆当作○