历算全书

中丑即原边乙子距体心之度甲中即原边丙己距体心之度而中为体心

想甲防在丙己边折半之处今从侧立观之则线化为防

而丙己与甲成一防故从丙

己原边依楞直剖至乙子对

边即成甲丑线其线即所剖

面之侧立形

此图即前图甲丑线所切之

面葢面侧视则成线矣

原设四等面全形今依子丑

乙楞剖至甲则成纵剖图故

甲防内有丙己线若依丙甲

己楞剖至丑则成横剖图故

丑防内有子乙也

纵剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己边于甲一也依丙乙楞剖而平分子巳边二也依己乙楞剖而平分子丙边三也

横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙边于丑一也依子丙边剖而平分乙己边二也依子巳楞边剖而平分丙乙边三也其所剖之面并相似皆以中防为三对角垂线相交之心

一率　一一七八五一　　　例容

二率　一○○○○○○　　例边之立方积

三率　一○○○○○○　　设容

四率　八四八五二九○　　设边之立方积

开方得根二百○四弱为公积一百万之四等面体楞与比例规解合

若商四数则其平廉积四十八万长廉积九千六百其隅积六十四共得四十八万九千六百六十四不足四千三百七十四为少百分之一弱故比例规解竟取整数也

计开

四等面诸数

边一百

积一十一万七八五一

积一百万

边二百○三九六

内容浑圆半径二十○【四一二四】

内容浑圆全径四十○【八二四八】

外切浑圆半径六十一【二一○○】

外切浑圆全径一百念二【四二○○】

互剖求心之图

设边一百其幂一万【丙己乙子乙丙

乙己子丙子己并同为外切浑圆径幂三之二】半边五十其幂二千五百【丙甲

甲己乙丑丑子等并同为边幂四之一】

斜垂线之幂七千五百【乙心甲子

角甲丙亢丑己氐丑并同为边幂四之三】

其根八十六六○二五

斜垂线三之一二十八八六

七五其幂八百三十三三三

【即外切浑圆径幂十八之一为边幂十二之一】即各

面内容平圆半径【心甲角甲亢丑氐丑并同】

斜垂线三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三【乙心子角丙亢己氐并同】

内容浑圆半径二十○四一二四其幂四百一十六六六不尽【为边幂二十四之一即外切浑圆三十六之一】即分体中髙【心中角中亢中氐中并同】　若内圆全径之幂则一千六百六十六六六【为边幂六之一外切浑圆径幂九之一】

外切浑圆半径六十一二三七二其幂三千七百五十即分体之立面楞【乙中子中丙中己中并同】四因之为浑圆全径幂一万五千其径一百二十二四七四四

又外切正相容之立方其幂五千为四等面边幂之半即斜方之比例又为外切浑圆径幂三之一

一率　外切浑圆径一百二十二四七四四

二率　四等面之边一百

三率　浑圆径一百

四率　内容四等面边八十一六四九六

又捷法浑圆径幂一万五千则内容四等面边幂一万或内容立方面之斜亦同为浑圆径幂三之二

若设浑圆径一百其幂一万则内容四等面边之幂六千六百六十六六六亦三之二也

平方开之得八十一六四九六为四等面边即内容立方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三为浑圆径幂三之一即方斜之半幂亦即四等面边幂之半平方开之得五十七七三五○是为浑圆径一百内容立方之边亦即浑圆内容立方立方又容小圆之径若于四等面内又容浑圆则其径幂一千一百一十一一一为浑圆径幂九之一为四等面幂六之一立方面幂三之一

开得平方根三十三三三不尽【幂九之一则其根必三之一也】为内容小浑圆之径以径乗幂得三万七千○三十七为径上立方积　以十一乗十四除得二万九千一百○○半为圆柱积　柱积取三之二得一万九千四百为小浑圆积得大浑圆二十七之一　以小浑圆积二十七因之得五十二万三千九百为四等面外切大浑圆积【即径一百之浑圆积也】

互剖求心法

凡四等面体任以一尖为顶则其垂线为自尖至相对之平面心【亦即平面容圆之心】而以余三尖为底其垂线至底之防旁距三尖皆等【即乙心丙心己心三线之距心皆等而以子尖为顶其垂线为子中心其底为乙丙己平三角面余仿此】此为正形【各尖皆可为顶其法并同】若以子中心垂线为轴而旋之则成圆角体

凡四等面体任平分一边而平分之防为顶以作垂线则其垂线自此防至对边之平分防而以对边为底底无面但有边底边与顶边相午直正如十字形假如以子乙边平分于丑以线缀而悬之则其垂线至所对丙己边之平分正中为甲防其线为丑中甲而子乙边衡扵上则丙己边纵于下正如十字无左右之欹亦无髙下之微差也

若以丑中甲垂线为轴旋之则成圆柱体

凡四等面体以其边为斜线而求其方以作立方则此立方能容四等面体

何以知之曰准前论以一边衡于上而为立方上一面之斜则其相对之一边必纵于下而为立方底面之斜

矣又此二边之势旣如十字

相午直而又分于上下为立

方上下两面之斜线然则自

上面之各一端向底面之各一端联为直线即为四等面之余四边亦即立方余四面之斜如此则四等面之六边各为立方形六面之斜线而为正相容之体如前所论圆角体圆柱体虽亦能容四等面形而垂线皆小于圆径故不得为正相容

捷法四等面之边自乘折半开方即正相容之立方根【即倍句股意】设边一百其幂一万折半五千即为立方一面之积求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂线之髙

若以此作容四等面之圆柱则其髙七十○七一○六同立方之方根而其圆径一百同立方面之斜此圆柱内可函立方

其乙中子中等为自四等面体心至各角之线又为立方心至各角之线又为外切浑圆之半径又为四等面分为四体之楞线又为立方分为六方锥之楞线又捷法以四等面之边幂加二分之一开方即外切正相容之浑圆径亦即立方体内对角线【如自乙至震】折半为自心至角线　四等面设边一百其幂一万用捷法二分加一得一万五千为外切正相容之浑圆全径幂开方得一百二十二四七四四为浑圆全径折半得六十一二三七二为浑圆半径

立方内容四等面图

设立方边一百其积百万内

容四等面边一百四十一【四二

一三】其积三十三万三千三百

三十三【三三三三】为立方积三之

一乾坤震防立方【干丙坤己乙防子震与中心之丑甲同髙】内容子乙丙己四等面为立方积三之一

何以明之凡锥体为同底同髙之柱体三之一今自立方之乙角依斜线剖至丙巳成乙丙巳防三角锥以丙巳防立方之半底为底又自子角斜剖至丙巳成子丙巳震锥以丙巳震立方之半底为底合丙半底则与立方同底矣而子震与乙防之髙即立方髙也是此二锥得立方三之一矣

又自子乙斜线斜剖至巳角成倒锥以子乙坤立方之半顶为底以坤巳立方髙为髙又自子乙斜剖至丙角亦成倒卓之锥以子乙干立方之半顶为底以干丙立方髙为髙与前二锥同亦三之一也

合此二锥共得立方三之二则其余为子乙丙巳四等面体者必立方三之一矣

准此论之凡同边之八等面积四倍大于四等面积何以知之以此所剖之四锥体合之则为八等面之半体皆以剖处为面而其边其面皆与四等面等是同边之体也而八等面之半体旣倍大于四等面则其全体必四倍之矣

设八等面边一百四十一【四二一三】与四等面同边则八等面之积一百三十三万三千三百三十三【三三不尽】为四等面之四倍

若设四等面边一百则其外切之立方面幂五十立方根七十○【七一○六】以根乘幂得立方积三十五万三千五百五十三四等面积一十一万七千八百五十一为立方积三之一

推得八等面边一百其积四十七万一千四百○四此同边之比例

若立方内容之八等面则其积为立方内容之四等面二之一何以知之八等面与立方同髙则其积为立方六之一故也

设立方边一百内容八等面边七十○【七一○六】其积一十六万六千六百六十六为四等面之半若设立方边七十○【七一○六】则内容八等面积五万八千九百二十五半其边五十

四等面体又容小立方小立

方内又容小四等面体则内

容小立方径为外切立方三

之一内小四等面在小立方

内其径亦为四等面三之一

而其积皆二十七之一

何以知之凡三等边平面之心皆居垂线三之一假如子巳丙为四等面之一面其平面之心必在癸而子甲垂线分三之一为癸甲其余三面尽同而内容之小立方必以其下方之两角纵切子巳丙之癸心及乙己丙之壬心其上方之两防必横切于子乙己之卯心及子乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角同切此四防也今壬癸两防旣下距丙己线为其各斜垂线三之一而卯申两防又上距子乙线之斜垂线亦三之一则其中所余三之一必为立方所居也而内小立方不得不为子乙与丙己相距线三之一矣

问癸防为三之一者斜面之垂线也小立方者直立线也何以得同为三之一乎答曰癸防所居三之一虽在斜面而子乙纵线与丙己横线上下相距必有垂线直立于其心此直立垂线即前图之甲丑与外切立方线同髙者也丑甲中垂线以上停三之一之上防与卯申平对以下停三之一之下防与壬癸平对依句股法与股比例同也然则丑甲线之中停即小立方之所居矣

又丑甲者即外切立方之髙也故知小立方径为外切立方径三之一

又小四等面在小立方内以其边为小立方之斜而纵横边相午对如十字其中心亦以丑甲线之中停为其轴其斜面之势一切皆与大四等面同而丑甲者亦大四等面之轴也小四等面之中轴旣为丑甲三之一其余一切皆三之一矣

夫体积生于边者也边为三之一者面必为九之一体必为二十七之一无疑也

准此论之浑圆在四等面内者亦必为外切浑圆二十七之一其径亦三之一也何也浑圆之切防与小立方小四等面之切防并同也

以此推知小立方与小四等面在大四等面内或居小浑圆内以居大四等面内其径积并同

求体积

浑圆径一百其径上立方一百万依立圆法以十一乘十四除得七十八万五千七百一十四为圆柱积仍三分取二得五十二万三千八百○九为浑圆积

内容立方面幂三千三百三十三【三三】其边五十七【七三五○】以边为髙乘面得一十九万二千四百五十○为内容立方积

内容四等面体边幂六千六百六十六【六六】其边八十一【六四九六】

依前论四等面体为立方三之一得六万四千一百五十○为四等面积

立方内容小浑圆以立方之边为径五十七【七三五○】依立圆法以立方积十一乘十四除得一十五万一千二百一十为圆柱积取三之二得一十○万○八百六十六为小立圆积

四等面内容小浑圆径幂一千一百一十一【一一】其径三十三【三三】以径乘幂得径上立方积三万七千○三十七以十一乘十四除得二万九千一百○半为圆柱积又三分取一得一万九千四百为立方内之四等面内容小浑圆积为大浑圆积二十七之一若先有内小浑圆积但以二十七因之得大浑圆积

依此论之凡浑圆内容立方立方内又容四等面体四等面内又容小浑圆其内外相似之大小二体皆二十七之比例也

又捷法用方斜比例

立方面之斜设一百其幂一万则其方幂五千用三

因之得一万五千开方得立

方对角斜线即为外切浑圆

全径

立方面之斜一百即立方内容四等面之边

立方体对角斜线一百二十二【四七四四】即立方外切浑圆之全径亦即四等面外切浑圆全径半之得六十一【二三七三】即立方外切浑圆半径亦即立方体心至各角之线亦即四等面体心至各角之线

八等面形图注

第一合形

甲丁　甲丙　甲己　甲戊

丁丙　丙己　己戊　戊丁

戊乙　己乙　丁乙　丙乙

以上形外之楞凡十有二即根

数也其长皆等

或设一百为一楞之数则十二楞皆一百也

甲丁戊　甲戊己　甲己丙　甲丙丁　丙丁乙己丙乙　戊己乙　丁戊乙

以上形周之分面凡八皆等边平三角形也其容积其边皆等

或设一百为边数则三边皆一百而形周之分面八皆三边边皆一百也

第二横切形【二】

甲丁丙己戊为上半俯形

丁丙己戊乙为下半仰形

右二形各得合形之半皆从

丁戊楞横剖至己丙

一俯一仰皆方锥扁形丁丙

己戊为方锥之底其边皆等

其从四角凑至顶之楞皆与

底之边等

第三直切形【四】

从甲尖依前后楞直剖过丁

己至乙尖成左右两形

从甲尖依左右楞直剖过丙

戊至乙尖成前后两形

此四形者一切皆与仰俯二

形同但彼为眠坐之体故为

方锥【仰者即倒卓方锥】而此则立体即如打倒方锥之形也第四横切之面一直切之面二

因横剖得正方平面在立方锥以此

为底倒方锥以此为面在合形则为

腰围其己丁及丙戊两对角斜线相

交于心即两直切之界也【心即合形中心】因直剖得斜立方面二其己丁及戊

丙横对角线即横切之界其从甲至

乙垂线即直剖之界如立面在前后

互剖之形则此线为左右直剖之界

彼此互为之也亦即为全形之中髙

径线

以此知八等面之中髙线为方斜之

比例

第五分形

因横剖及两直剖分总形为八皆

三角锥形也

皆以等边平三角形面为锥形之

底而以横直剖线相交处之点为

其锐顶即合形之中心也

其自顶心至角之楞皆等皆边线

之方斜比例也【底线为方则此线为其斜之半】而

此楞线又即为八等面形之外切

圆之半径

设己戊边一百其幂一万则心戊

楞之幂五千【倍戊庚半边之幂为半斜幂也】戊心之幂五千内减戊庚幂二千

五百则其余二千五百为心庚之

幂故心庚必与戊庚等

从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两则其中剖处成三角平面

己庚者乙己戊等边三角平面之

中垂线也其幂为边四之三设边

一百之幂一万则己庚之幂七千

五百

庚辛者平面三角容圆之半径也得己庚三之一其幂则九之一也己庚之幂七千五百则庚辛之幂八百三十三【三三】辛防即各三角平面之中心

以庚辛幂八百三十三【三三】减心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六开方为心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○【八二四七】

依平面三等边法设边一百其中长线八十六【六○二五】其幂积得四千三百三十○【一二五○】　取平幂三之一得一千四百四十三【三七五○】以乘中髙得分形积五万八千九百二十五【三五一三】　再以八因之得总积四十七万一千四百○二【八一○四】与总算合

设八等面之边一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方　半之为每角辏心之线之幂得○五○○○此线即分形自底角辏顶心之楞【如心戊心己心乙】又为八等面形外切浑圆之半径　又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂【即心庚】得○二五○○此线即设边之半其幂为设边四之一

设半边之幂取其三之二为分形中髙线之幂【即心辛】得○一六六六不尽又为八等面形内容浑圆之半径防法取八等面设边之幂六而一为八分体中髙之幂开方得中髙

假如设边一百其幂一万则分体中髙之幂一千六百六十六不尽　求其根得四十○【八二四八】　以中髙乘三角平面幂三除之得分体八因之得全积

又捷法八等面设边之幂取三之二为体内容浑圆之径幂开方得内容浑圆径折半为八分体中髙

假如设边一百其幂一万则内容浑圆之径幂六千六百六十六不尽　求其根得八十一【六四九六】　折半为分体中髙

或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积

又捷法　此方斜之比例

八等面设边之幂倍之为体外切圆径幂开方得径以乘设边之幂【即腰广平方】得数三归见积

假如设边一百其幂一万其斜如之幂倍方幂得二万求其根得一百四十一【四二一三】　以乘腰广一万得一百四十一万四千二百一十三　三除之得总积四十七万一千四百○四

一系　八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂

其比例为一与二【方斜比例】

一系　八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂

其比例为三与二

一系　八等面体外切浑圆之径上幂与其内容浑圆之径上幂　其比例为三与一

准此而知八等面内容浑圆浑圆内又容八等面其浑圆外切之八等面边或径上幂与内容之八等面边或径上幂其比例亦必为三与一也

计开

八等面形诸数

设边一百　其积四十七万一四○四【与厯书所差甚微】其体外切浑圆之径一百四十一【内外两浑圆之径幂为三与一其根约为四与七而强】体内容浑圆之八十一

八等面外切立方径一百四十一【方斜比例也与外切浑圆同】八等面内容立方径四十七

内外切大小立方之径之比例为三与一

内外两立方之积之比例为二十七与一

若浑圆内容立方立方内容八等面体八等面体内又容浑圆则大小两浑圆之径亦若三与一其积亦若二十七与一

一率　　四七一四○四　　例容

二率　　一○○○○○○　例边之立方

三率　　一○○○○○○　设积

四率　　二一二一三二二　设边之立积

开立方得根一百二十八为公积一百万之八等面根【与比例规解合】

防何补编卷二

二十等面形自腰切之成十等边平面

先求甲丁　乃十等边平面

从心对角之线　亦即二十

分形各三角立体一面之中

垂斜线

法为甲乙【即切形十等边之半在原设二十等面形边为四之一】与甲丁若十八度之正与全数也【十等边各三十六度其半十八度】

设边一百　所切十等边平面之边五十　其半甲乙二十五

一率　十八度正　○三○九○

二率　全数　　　　一○○○○

三率　甲乙　　　　　　　二五

四率　甲丁　　　　　　　八○【九○六一】

用等边三角求容圆法

设边一百　其内容圆半径二十八【八六七五】为心甲

以心甲为句二十八【八六七五】其幂八百三十三【三三二五】以甲丁为八十○【九○六一】其幂六千五百四十五【七九七○】

句幂减幂余五千七百一十二【四六四五】为心丁股幂开方得心丁七十五【五八○八】　此即各面切形自各面之心至切体尖之髙也　其切体之尖即原设二十等面总形之体心为丁点

用后法得乙己丙平面幂积四千三百三十○【一二五○】又依三等边角形设边一百【丙己】　其半五十【丙甲】　求到乙甲中长八十六【六○二五】用其三之一即心甲二十八【八六七五】以与丙甲五十相乘得一千四百四十三【三七五○】为各等面平积三之一【三因之得平面幂】

又以丁心七十五【五八○八】乘之得一十○万九千○九十一【四三七二】为二十等面形分切每面至心之积又以二十乘之得全积

依上法求到二十等面全积

设边一百　其积二百一十八万一千八百二十八【查比例规解差不多惟测量全义差逺】

按此法以本形分为二十各成三角立锥形而各以分形之髙乘底取三之一以为分形积然后以等面二十为法乘而并之得总积可谓的确不易矣然与厯书中比例规解及测量全义俱不合何耶

计开

二十等面形

设边一百　其每面中长线八十六【六○二五】

其每面幂积四千三百三十○【一二五○】

其每面容平圆之心作线至形心之丁七十五【五八○八】即心丁　心丁即内容浑圆之半径

其分形各以每面之幂积为底心丁为髙各得三角立锥积一十万九千○九十一【四三七二】

其立锥积凡二十合之得总积二百一十八万一千八百二十八

用上法求形内容浑圆

其心丁七十五【五八○八】即内容浑圆半径【以心丁线与各平面作垂线而丁防即体心故】倍之得一百五十一【一六一六】为内容浑圆全径置小浑圆径一百五十一零自乘得二万二千八百○一以十一乘十四除得一万七千九百一十五为圆幂置内容浑圆之平圆幂一七九一五以圆径一百五十一取三之二得一百强以乘平圆幂得一百八十○万二千二百四十九为二十等面内容浑圆之积

置内容圆径一百五十一自乘得【二万二千八百○一】再乘【三百四十四万二千九百五十一】以立员捷法【○五二三五九八七七】乘之得浑圆积一百八十○万二千七百二十五

先用宻率【十四除十一乘】得浑圆一百八十万二千二百四十九以较立圆捷法所得少尾数四百七十六约为一万

八千之五弱不足为差也

依立圆法以圆率三一四一五九二乘立圆法六而一得五十二万三五九八为径一百之浑圆积

依法求得立方边五十七【七三五○】立方积一十九万二四五○四等面积六万四千一百五十○并合前算小浑积一○○七六六　若用捷法以浑圆率五二三五九八乘立方积得数后去末六位亦得一十○万○七六六

内容浑圆尚且如此之大况二十等面之形又大于内圆乎然则厯书之率其非确数明矣

二十等面

一率　　二一八一八二八　　例容

二率　　一○○○○○○　　例根一百之体积三率　　一○○○○○○　　设容

四率　　○四五八三三二　　所求根立积

如法算得二十等面之容一百万其根七十七