历算全书

次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹去减数二五】

求次商　用第二防上余实八四四为次商实

隅　　　　　　　　　　次商自乗　四九○○○○

亷隅共积　　　并　　得　　　　七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内定率二乗初商五千得一万为泛积乃约实作七百定为次商即以泛积乗之得定积七百万再用次商自乗为隅其积四十九万并定积成七百四十九万即亷隅共积也俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将共积七四九对实八四四书左线之左以减实余九五乃作线抹去八四四亦于左作线抹去七四九】

求三商　用第三防上余实九五三○为三商实

隅　　　　　　　　　三商自乗　　　　六四○○

亷隅共亷　　　并　　　得　　　　九一八四○○三商法曰【复置定率二以乗初商次商合数五千七百得一万一千四百为泛积乃约实作八十为三商即以泛积乗之得定积九十一万二千三商亦自乗为隅得积六千四百以并定积成九十一万八千四百为亷隅共积俱如式列之再将三商八十挨书次商七百之下而以其亷隅积九一八四对实九五三○书于左线之左去减实余三四六即改书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去九一八四】

求四商　用第四防上余实三四六八九为四商实

隅　　　　　　　　　　四商自乗　　　　　九

亷隅共积　　　并　　　得　　　　三四六八九四商法曰【用定率二乗初商次商三商合数五千七百八十得一万一千五百六十为泛积乃约实可商三定为四商即以泛积乗之得定积三万四千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三万四千六百八十九是为亷隅共积各如式列讫再将四商三挨书于三商八十之下而以其亷隅积三四六八九对第四防实书于左线之左就以减四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去】初商五千　有四防故初商是千位

次商七百

三商八十

四商单三

凡开得平方根五七千百八十三

还原法　置方根五千七百八十三自乗得积三千三百四十四万三千○八十九合原积

开立方【即再乗方】

设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每面方若干

答曰二百一十六尺

依法列实　作防【自末位单数作一防起逆

上每隔两位防之有三防宜商三次】

求初商【用最上一防截原实两位一○为初商实查初

商表有小于一○者是○八其方根二即以二定为初商对实】

【首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○书左线之左对减初商实余二改书之以待次商】初商二百尺【有三防初商是百】

求次商　用第二防上余实二○七七为次商实

依法求得次商一十尺【书于初商二百之下而以其亷隅共积一百二十六万一千减防商实余八一六改书之以待三商】

求三商　用第三防上余实八一六六九六为三商实

隅　　　　　三　商　再　乗　　　　　　二一六

亷隅共积　　　并　　得　　　　　八一六六九六依法求得三商六尺【续书次商一十之下而以亷隅共积八十一万六千六百九十六减三商实恰尽】

凡开得立方根二百一十六尺

还原　置方根【二百一十六尺】自之得【四万六千六百五十六尺】为平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七万七千六百九十六合原数

开三乗方

设三乗方积一亿三千六百○四万八千八百九十六问方根若干

答曰一百○八

依法列实　作防【自末位单数作一防

起逆上每隔三位防之】

求初商　用最上一防截实

首位一为初商实

凡积一者其根亦一不必查表竟以一为初商【其积与实对减恰尽】

初商一百【有三防初商是百】

求次商　用第二防余实三六○四为次商实

隅　　　　次　　商　　三　　乗　　一○○○○

亷隅共积　　　并　　得　　　　　四六四一○○○○依法求得亷隅共积四千六百四十一万为次商一十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商一百下书○

求三商　用第三防合上第二防余实三六○四八八九六共八位为三商实【三商减积至末位第三防故合八位为其实】凡求三商当合初商次商两数乗定率以求泛积今次商　故只用初商数

隅　　　三　商　自　乗　三　次　　　　　四○九六

亷隅共积　　　并　　得　　　　　三六○四八八九六依法求得三商八【续书次商○之下而以其亷隅共积三千六百○四万八千八百九十六与余实相减恰尽】

凡开得三乗方根一百○八

还原　置方根【一○八】自乗得【一一六六四】为平幂平幂又自乗得一亿三千六百○四万八千八百九十六合原积

或以方根一百○八自乗三次亦同

开方简法　置三乗方积【一三六○四八八九六】以平方法开之得【一一六六四】再置【一一六六四】以平方开之得方根一百○八合问

开四乗方

设四乗方积一十三亿五千○一十二万五千一百○七问方根若干

答曰六十七

依法列实　作【自末位单数作一防

起逆上每隔四位防之共两防宜商两次】

求初商　用最上一防截原

实一三五○一为初商实【查表有七】

【七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七七七六对减初商实余五七二五改书之以待次商】初商六十【有两防初商是十】

求次商　用第二防上余实五七二五二五一○七为次商实

隅　　　　次　商　四　　乗　　　　　　　一八六○七

亷隅共积　　并　得　　　　　　　五七二五二五一○七依法求得次商七【书于初商六十之下而以亷隅共积五亿七千二百五十二万五千一百○七减次商实】　凡开得四乗方根六十七

还原　置方根【恰尽六】自乗四次得积一十三亿五千○一十二万五千一百○七合原数

开五乗方

设五乗方积一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万问方根若干

答曰五百一十

列实【数以单位

为根今原积尾位是

百万故补六○列之】作防【自末单位】

【○上作一防起逆上每隔五位防之】　求初商【用最上一截原实五位一七五九六为初商实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以其积数对实列左线左相减余一九七一改书之以待次商】　初商求到五百【有三防故初商是百】

求次商【用第二防上余实一九七一二八七八○一为次商实】

隅　　　　次　　　商　　五　　乗　　　　一○○○○○○亷隅共积　　并　　得　　一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十【书初商五百之下再将亷隅共积一千九百七十一万二千七百七十八亿○一百万去减次商实恰尽】

原实三宜有三商而次商已减实尽无可商作○于次商下

凡开得五乗方根五百一十○

还原　置方根【五百一十○】自乗五次复得一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积

开六乗方

设六乗方积三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八问方根若干

答曰三十二

依法列实　作防【自末位单数作

防起逆上每隔六位防之共两防宜商两次】求初商　用最上截原

实三四三五为初商实【查表】

【得三为初商书左线右而以其积数二一八七书左线之左对减初商实余一二四八改书以待续续商】初商三十【有两防故初商是十】

求次商　用第二防上余实【一二四八九七三八三六八】为次商实

隅　　　次　　商　　六　　乗　　　　　　　　　一二八

亷隅共积　　并　　　得　　　　一二四八九七三八三六八依法求得次商二【书初商三十之下再以亷隅共积与次商实对减】

凡开得六乗方根三十二

还原　置方根【恰尽三】自乗六次得积【十二三四三五九七三八三】合原数

开七乗方

设七乗方积一千一百○○亿七千五百三十一万四千一百七十六问方根若干

答曰二十四

依法列实　作【自末位单

数作防起逆上每隔七位再作一防】求初商　用最上防截

原实一一○○为初商

实【查表得二为初商即以二书左线之右而以其积二五六书左线之左对减初商实余八四四改书之以待续商】

初商二十【有两防初商是十】

求次商　用第二防上余实【八四四七五三一四一七六】为次商实

亷隅共积　　并　　　　得　　　　八四四七五三一四一七六依法求得次商四【书初商二十之下再将亷隅共积八四四七五三一四一七六与次商实对减恰尽】

凡开得七乗方根二十四

还原　置方根【二十四】自乗七次复得【一一○○七五三一四一七六】合原数

或以根【二十四】自乗得【五百七十六】为平幂平幂又自乗得【三十三万一千七百七十六】为三乗方积三乗方积又自乗得【一一○○七五三一四一七六】亦合原数

开方简法　置设积【一一○○七五三一四一七六】以平方法开之得【三三一七七六】又置为实以三乗方法开之得方根二十四

或置设积【一一○○七五三一四一七六】用平方法连开三次亦得方根二十四

开八乗方

设八乗方积一千六百二十八万四千一百三十五亿九千七百九十一万○四百四十九问方根答曰四十九

列实【法同前】作防【自末位单数作

防起逆上每隔八位防之】求初商【用最上一】

【防截原实一六二八四一三为初商实查表得八乗方积二六二一四四其根四即以四定为初商书左线右而以其积数书左线左对减初商实余一三六六二六九以待次商】

初商四十【有两防初商是十】

求次商　用第二防上余实【一三六六二六九五九七九一○四四九】为次商实

隅　　　次　　　商　　　八　　乗　　三八七四二○四八九亷隅共积　并　　　得　一三六六二六九五九七九一○四四九依法求得次商九【书初商四十之下再将亷隅共积对减次商实恰尽】

凡开得八乗方根四十九

还原　置方根【四十四】自乗八次复得【一六二八四一三五九七九一○四四九】合原积

开九乗方

设九乗方积八十三兆九千二百九十九万三千六百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四问方根若干

答曰六十二

列实【法同前】作【自末位单数作

起逆上每隔九位之】

求初商【如法用最上一原积八位截为初商实查表得九乗方根六即以六为初商而以其积数六○四六六一七六减初商实余二三四六三七六○待续商各如法书之】

初商六十【冇两初商是十】

求次商　用第二上余实二三四六三七六○五八六八三四○二二四为次商实

隅　　　　　　　次商九乗　　　　　一○二四

亷隅共积　　　　　并得　　二三四六三七六○五八六八三四○二二四依法求到次商二【书于初商六十之下乃以其亷隅共积二十三兆四千六百三十七万六千○五十八亿六千八百三十四万○二百二十四减次商实恰尽】

凡开得九乗方根六十二

又法　置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以平方法开之得【九一六一三二八三二】为四乗方积　再以四乗方法开之得方根【六十二】

或置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以四乗方开之得【八三四四】再以平方开之得方根【六十二】并同

还原　以方根【六十二】自乗九次得原积

或以原根【六十二】自乗四次得【九一六一三二八三二】为四乗方积再以四乗积四乗得原积亦同

开十乗方

设十乗方积七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八问方根

答曰一十二

依法列实　作防【自末位单

数作一防起逆上每隔十位再作一防】求初商【用最上防截实首位七为初商

实查表得十乗方根一定为初商即以其积一】

【减初商实七余六改书之以待续商】

初商一十【有二防初商是十】

求次商　用第二防上余实六四三○○八三七○六八八为实

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

隅　　　　次　商　十　　乗　　　　二○四八

亷隅共积　　并　得　　　　六四三○○八三七○六八八依法求得次商二【书初商一十之下再将亷隅共积减次商实恰尽】

还原　置方根【一十二】自乗十次复得七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八合原积又法　置方根【一十二】自乗【一四四】为平幂平幂自乗【二○七三六】为三乗方积三乗方又自乗得【四二九九八一六九六】为七乗方积再以根再乗之立积【一七二八】乗之得十乗方积

开十一乗方

设十一乗方积七千三百五十五万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一问方根若干

答曰二十一

列实【法同前】作防【自末位单数作防起

逆上每隔十一位防之】

求初商　用最上一防截实七三五五为初商实查表得十一乗方根二定为初商【以其积四○九六对减初商实余三二五九以俟续商皆各如法书之】

初商二十【有二防初商是十】

求初商　用第二防上余实【三二五九八二七五一一三八六六四一】为次商实

亷隅共积　　并　得　　　　三二五九八二七五一一三八六六四一依法求得次商一【书初商二十之下其亷隅共积三千二百五十九万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一减余实恰尽】

凡开得十一乗方根二十一

还原　用方根【二十一】自乗十一次复得原积

又法　置方根自乗再乗得【九二六一】为立方积立方积自乗得【八五七六六一二一】为五乗方积五乗方积又自乗得十一乗方原积

开方简法　置设积【七三五五八二七五一一三八六六四一】以平方法开之得五乗方积【八五七六六一二一】又置为实以五乗方法开之得根二十一

开十二乗方

设十二乗方积一十五兆四千四百七十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十一问方根若干

依法列实　作防【自末位单数作防起逆上隔十二位防之】

求初商　用最上一防截原实一五四四七为初商实查表得十二乗积【八一九二】其方根二即以二定为初商【其积数与实对减余七二五五再俟续商】

求初商　用第二防上余实七二五五三三七七七三九一一九四六一为次商实

亷隅共积　　　并　　得　　七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一【书于初商二十之下再将亷隅共积七兆二千五百五十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百有六十一以减余实恰尽】

凡开得十二乗方根二十一

还原　置方根二十一自乗十二次复得原积或以方根【二十一】自乗得【四四一】再乗得【九二六一】三乗得【一九四四八一】为三乗方积即以三乗方积自乗得【三七八二二八五九三六一】再自乗得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积又置为实而以方根【二十一】乗之得十二乗原积又法　以方根自乗再乗得【九二六一】为立方积就以立方积自乗三次得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积如前再以方根乗之亦得原积

又法　以根【二十一】自乗之平方【四四一】为法自乗四次得九乗方积【一六六七九八八○九七八二○一】再以根【二十一】再乗之立方【九二六一】乗之得十二乗原积并同

论诸乗方简法

凡开平方二次即三乗方也是为方之方开平方立方各一次五乗方也可名为立方之平方亦可名为平方之立方

开平方三次七乗方也或三乗方平方各开一次亦同可名为平方之三乗亦可名为三乗方之平方

开立方二次八乗方也可名为立方之立方

开四乗方平方各一次九乗方也可名为四乗方之平方

开平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名为三乗方之立方亦可名为立方之三乗方

按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指谓四乗方开二次为六乗方又谓四乗方开三次为十乗方非也且四乗方平方各一次已为九乗方矣安得有开四乗方二次而反为六乗开四乗方三次而止为十乗乎必不然矣

演诸乗方逓増通法

平方积自乗为三乗方　立方积自乗为五乗方　三乗方积自乗为七乗方　四乗方积自乗为九乗方五乗方积自乗为十一乗方　六乗方积自乗为十三乗方　七乗方积自乗为十五乗方　八乗方积自乗为十七乗方　九乗方积自乗为十九乗方　十乗方积自乗为二十一乗方　十一乗方积自乗为二十三乗方　十二乗方积自乗为二十五乗方　十三乗方积自乗为二十七乗方　十四乗方积自乗为二十九乗方　十五乗方积自乗为三十一乗方【以上并超两位】平方积再自乗为五乗方　立方积再乗为八乗方三乗方积再乗为十一乗方　四乗方积再乗为十四乗方　五乗方积再乗为十七乗方　六乗方积再乗为二十乗方　七乗方积再乗为二十三乗方　八乗方积再乗为二十六乗方　九乗方积再乗为二十九乗　十乗方积再乗为三十二乗方【以上并超三位】

平方积自乗三次为七乗方　立方积自乗三次为十一乗方　三乗方积自乗三次为十五乗方　四乗方积自乗三次为十九乗方　五乗方积自乗三次为二十三乗方　六乗方积自乗三次为二十七乗方　七乗方积自乗三次为三十一乗方【以上并超四位】

平方积四乗为九乗方　立方积四乗为十四乗方三乗方积四乗为十九乗方　四乗方积四乗为二十四乗方　五乗方积四乗为二十九乗方【以上并超五位】平方积五乗为十一乗方　立方积五乗为十七乗方三乗方积五乗为二十三乗方　四乗方积五乗为

五十九乗方【以上并超六位】

平方积六乗为十三乗方　立方积六乗为二十乗方三乗方积六乗为二十七乗方　四乗方积六乗为

三十四乗方【以上并超七位】

平方积七乗为十五乗方　立方积七乗为二十三乗方　三乗方积七乗为三十一乗方【以上并超八位】

平方积八乗为十七乗方　立方积八乗为二十六乗方　三乗方积八乗为三十五乗方【以上并超九位】

平方积九乗为十九乗方　立方积九乗为二十九乗方【以上并超十位】

【平方至十二乗方已有初商表其十三乗以后不及详列推以根之为二为三者演之至三十二乗以见其意】

根二【至三十二乗则有十位】　　　　根三【至三十二乗则有十六位】

【十三乗】　　　　　一六三八四　　　　　　四七八二九六九

【十四乗】　　　　　三二七六八　　　　　　一四三四八九○七

【十五乗】　　　　　六五五三六　　　　　　四三○四六七二一

【十六乗】　　　　一三一○七二　　　　　一二九一四○一六三

【十七乗】　　　　二六二一四四　　　　　三八七四二○四八九

【十八乗】　　　　　五二四二八八　　　　　一一六二二六一四六七

【十九乗】　　　　一○四八五七六　　　　　三四八六七八四四○一

【二十乗】　　　　二○九七一五二　　　　一○四六○三五三二○三

【二十一乗】　　　四一九四三○四　　　　三一三八一○五九六○九

【二十二乗】　　　八三八八六○八　　　　九四一四三一七八八二七【二十三乗】　　一六七七七二一六　　　二八二四二九五三六四八一【二十四乗】　　三三五五四四三二　　　八四七二八八六○九四四三【二十五乗】　　六七一○八八六四　　二五四一八六五八二八三二九

【二十六乗】　　一三四二一七七二八　　　　七六二五五九七四八四九八七【二十七乗】　　二六八四三五四五六　　　二二八七六七九二四五四九六一【二十八乗】　　五三六八七○九一二　　　六八六三○三七七三六四八八三【二十九乗】　一○七三七四一八二四　　二○五八九一一三二○九四六四九【三十乗】　　二一四七四八三六四八　　六一七六七三三九六二八三九四七【三十一乗】　四二九四九六七二九六　一八五三○二○一八八八五一八四一【三十二乗】　八五八九九三四五九二　五五五九○六○五六六五五五五二三

附开多乗方求次商防法

列实作防截实求初商如常法既得初商减一等自乗为亷积【加五乗方则用四乗】又以本乗方数加一为亷数【如五乗方则用六】亷数乗亷积得数为法以除余实为次商遂合初商次商数依本乗方数乗之【如五乗方亦自乗五次】得积合原数定所得为方根【如原积数少不及减则改次商及减而止】

假如三乗方积五百七十六万四千八百○一问方根若干

答曰四十九