同文算指

九五十四九上一变七进位○变四进

削一不差次用一次用六俱不差】

右式第二次误用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已误矣傥不知还原如何其法只以下位见除二字与所用七字相乘而加上见乘之三即是还原二七一十四加三得一十七也举此一端以例其余

凡三位四位误分改正俱用此法该进位者照前法进位乘后加之式具后

【先用一除之二上四变二三上○变七进位二变一　次该用七却

误用六二六一十二二上七变五进削一三六一十八三上四变六

进位五变三谛视之余数反多于除数误也欲还原者先以下层三

乗所用六三六一十八加上余数六得二十四知本位还四而以二

寄于进位次以进位下面二乗六二六一十二加上余数三再加原

寄二共得一十七知本位还七进位再还一合正数】

既已还其正数另以七

除之二七一十四二上七变三

进削一三七二十一二上

四变三进位三变一

另列二三用六除之二六

一十二三上三变一进削

一三六一十八削尽

若原数既已除尽或未尽有零而欲试其误否亦用九除七除二法

用九除者只据见积将下层除数除余列左以格右用数除余列右以左右互乘九除余数列上又以原总数除余列下如有未尽零数者于左右乘后并入总除列上与原数除余者相比

除毕　六

无零　七　　　　　　　　　　　用数一七六余五列

右除数二三共五列

左乘得五五二十五

九除余七列上原数

四四八以九除亦余

七列下无差

【用数余四列右除数余二列左相乘

得八加上零数一三共得一十二以

九除之余三列上总数九除亦余三

列下相比无差】

用七除者实积细除同前乘法其除数列左用数列右相乘除余列上有零者亦并入乘数列上总数余列下

【用数一百七十六以七除余一列右

除数二十三以七除余二列左左右

相乘一二如二列上又将原数四千

○四十八以七除余二列下正同】

【用数一百九十三以七除余四列右除数二百三十六以

七除余五列左相乘得二十以七除余六若无竒零则纪

六于上是己今有零数一百三十再七除余四并六得一

十以七除余三列三于上又将原数四万五千六百七十

八亦以七除余三列下正合】

又法将除数用数相乘以合原数如竒零不尽者乘后并入假如前式原数四万五千六百七十八者以除数之二百三十六乘用数之一百十三共四万五千五百四十八并入零数之一百三十合原数若归除至半欲订其误照前以除数之减余列左以用数减余列右相乘又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止其未除到者不用】亦减之以并所乘列上以抹过原数减余列下相比其九法减见数七法减实积数俱同前【此是用二除过一徧者截至左第四位止试之

用数二列右除数二八九八无余左列○以○乘二无乘

却有零九一三除九余四上列四原数除过四位以九除

亦余四相合】

【用数二列二于右除数二千

八百九十八以七除无余列○于左以二乘○无乘却有

零数九百一十三以七除余三列上其原数已除四位六

千七百○九以七除亦余三相合】

凡除数随上原数逦迤右退至于除数尾位撞遇原数尾位而止此外虽有未除零数总系余分但可以法命之为几分之几以其除数多零数少故也【多者为母少者为子】

若除数尾带　　　　　　　　　　　此以三千八

多○而原数　　　　　　　　　　　百万而除一

首尾系数中　　　　　　　　　　　百三十九亿

叚系○者但　　　　　　　　　　　四千六百万

看尾隔几位　　　　　　　　　　　零七千八百

用数该几位　　　　　　　　　　　九十三数其絫

只须撞尾而　　　　　　　　　　　甚多而谛视

止就截去余　　　　　　　　　　　尾位相值只

○且尽实数　　　　　　　　　　　该以三位除

除讫嗣以余　　　　　　　　　　　尽乃姑截去

○加之以法　　　　　　　　　　　余○只以三

命之式具下　　　　　　　　　　　八而除一三九

四六每各得

三百六十七

其数已穷其

余皆竒零不

尽之数乃于

三八之尾照

位填○为母

以零数为子

命之云

若除数首位数中位○次又有数次又有○者不可便以中○为止务须尽其实数而止惟尾后之○如前法

用四除之　三四一十二

三上三变一　进削一　次

○○皆无可除者故置不论

径除第四位之八　四八

三十二　八上六变四进位

四变一　更列三○○八用

六除之　三六一十八　三

上九变一进削一置○○不

分　六八四十八　八上○

变二　进位四变九　又进

一变○尚余一○九二为不

尽零数乃以除数余○缀除

数之尾为母以原数○七六

九三附零数一○九二之尾

为子是为三亿八十万之一

亿九百二十万七千六百九

十三云

凡除数首位只一其余俱○者不必另寻用数即以原数为用至撞除数尾位而止此外皆系竒零不尽之数

以除数尾寻至原数尾该得

五位除尽亦只自原数首尾

起照取五位为用数其余皆

系小数不能除矣故作零数

首列一除四得四　又列一

除七得七　一除八得八

一除○还○　一除九得九

若原数余○虽多而实数归除已尽则其数外之○无复可除虽不撞到尾位亦只据未抹○位逐加用数之后如左图

假如有数一亿八千六百三十万而以三百四十五除之每各得五十四万

首用五除　三五一十五　三上八变

五　　　三进削一　五四得二十　　进位三○　　　变一　五五二十五　五上三变八○　　　进位六变三　又列用四除　三四一○　　　十二　三上三变一　进削一　四四○　　　一十六　四上八变二　进削一　五

四得二十　五上削○　进削二毕既已除完其余不复可除照○位加于格外用数之右

右加减乘除四法共一卷算学纲

领习熟自精变化之妙详载别卷

同文算指前编卷上

钦定四库全书

同文算指前编卷下

明　李之藻　撰

竒零约法第六

凡数除之不尽者以法命之曰几分之几除数为母【法】列上竒数为子【实】列下

假如列实四十六以七为法除之尚余四是谓七之四余仿此

列位式

若竒零有二项辨其孰多孰寡以子母二数互参母数相同则但据子数

若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大

若子母数俱不等别其多寡者并列以彼此母子互乘得数各注其子数下

有差逺者　　　　　　　有稍差者

有相同者

四之三与八之六同则八之六即四之三

假如欲知何以皆为四分之三但将子母两数立通数乘之且如【八四】之【六三】有六数可以通乘六八四十八六六三十六母系六八子系六六便知【八四】之【六三】即是八之六此系有见成乘法可用者

其积数已多而既难折半又无通数可乘则须另立纽数归除其法以小减大减尽而止以最后减尽数为用以除子母二数其所除得数即是约数

假如四十八之三十二即三之二

于【八四】内减【二三】余【六一】即以【六一】再减【二三】二次尽乃以一十六为纽数以除【八四】得三是母约数以除【二三】得二是子约数

假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子减母余二百八以二百八减子数用二转余五十二以五十二减二百八恰尽即以五十二为纽数以除六百七十六得一十三是母约数以除四百六十八得九是子约数【凡以小减大者即系除法数相近名减若大小相逺减几徧者名除】

其以寡减多终不能尽者不复可约只就见数为则以【七四】减【九五】余【二一】　以【二一】减【七四】余【一一】　以【一一】减【二一】余一不尽

以【○二】减【三六】余三　以三减【○二】余二　以二减三余一不尽　　　以上不尽无纽

竒零并母子法第七

凡两子母数不等须先并母较之以两母相乘得共母数次以两母互乘两子各得子数

又有三四母子不同并较多寡者亦以各母次第徧乘归并作一共母【为实】乃以各母之数【为法】除之即以各子乘之得各子数

先并母数二乘三得六又

以六乘四得二十四又以

二十四乘五得一百二十

为共母

乃以首母二除得六十以首子

一乘仍六十为其子数

以次位母三除得四十以子数

二乗得八十为其子数

以三位母四除得三十以子数

三乘得九十为其子数

以四位母五除得二十四子一

乘仍二十四为其子数

若每数相乗遇有纽数可用【一数两分是为纽数即前法】即用纽数除之以其所得相乘以省约法

右用一纽数而前之乘得一百二十者约为六　○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘　　六乃以首母二除得三十子一乘亦三十

以次母三除得二十子二乘得四十

以第三母四除得一十五子三乘得四十五

以第四母五除得一十二子一乘仍一十二

凡两数母子俱殊但有纽数可用皆可以此推之

二三为六故注二于六下

四三一十二故注四于【二一】下

乃即以二十四为共母数而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子数五乘得二十为二十四之二十

以第二母一十二除此二十四得二以其子数七乘得一十四为二十四之一十四

竒零絫析约法第八

竒数有析之又析者如母七子四是为七之四又析其四作五以为母而五中余三是为五分四之三子中出子相联而成则名七之四又五分四之三也

又有母二子一是二之一又以子一　　　　　　　【此三即进位之三】

析为六而六中余一【母六子一】又以子一析　　　　　　【此四即进位一所化】

为四而四中余三【母四子三】又即以子三为　　　　　　【此六即进位一所化】母而三中余二连析四次总名二之一

又六分一之一又四分一之三三之二

右法须取捷归并以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二

母数五七得三十五

子数三四得一十二

如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六

母数三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四为共母数子数二乘三得六又一六只六又一六只六为共子数

右一百四十四之六依约法乃即二十四之一

以六除一百四十四得二十四恰尽故六为纽数二十四为母约数以六除六得一尽故一为子约数

假如连析三次者五之三又三之二又四分二之三并之乃六十之一十八

母数四乘三得一十二又一十二乘五得六十为共母数　子数三乘二得六又六乗三得一十八为共子数

右六十之一十八约之即一十之三

用子数一十八除母数六十余六

即以六除一十八恰尽是六为纽数以六除六十得一十故一十为母约数以

六除一十八得三故三为子约数

右絫析乃厯家所常用者粟米方田诸家鲜用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一两析之为五【每析二钱】五之三乃六钱也又析为三之二则四钱矣又析为四分之三则三钱矣总是一十分之三

化法第九

凡整数后带竒零难于归除须将整数尽依母数化之其法以母数乗整数以乗得数并入子数却以母数除之

假如有整六数零五分一之三者列六于左列五之三于右

每数皆剖为五分五乗六得三十并

入子数三是为五之三十三列下

假如有整七数零五分一之四者列七于左列五之四于右

每数皆剖为五分五七三十五并

入子数四是为五之三十九

于是乃化零数为整数其法以母除子

此为一剖七之五十六以母数

除子数用八除尽知是整八数

此为一剖九之四十七以母除子用

五余二知是整五数又零九之二

竒零加法第十

数有竒零或两零数或三四零数以至百千零数加并为一法具后

若母数异则先并母数但有纽数者依纽数求其共母无纽数者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子数乃视其子数多寡总而积之又以共母除积子以归本数

又法求其子数径用母子互乘亦得【三三是九二四是八】但积数多者未便须用母除子乘之法

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__前编,卷下>

若既有整数又有零数则先加积整数次乃加积零数其零数同母者只并子数其零数异母者依前法且并母数而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗

以上系不同母数者

若欲试加法之有差则用竒零减法

竒零减法第十一

凡以竒数减竒数者审其多寡而于多中减寡其母数同者第就子数相减若母数异则先以其母相乗并为一母而依母除子乘求各得子乃以相减

以上系不同母者

若于整数内减零数者以零母化原整数就以作子相减次合全数总计

假如整数一十内减一十一之六者【此一十一之六未满整一数】就将一数拈出依竒母化为一十一以作子数

于内减六【一十一之六】余一十一　之五总为九零一十一之五

以上是只减零数者

假如整数一十内减四零五之三者一十减四余六又动一数以零母化之作子于内减去三【五分之三】尚余五之二是为五零五之二

以上是既减整又减零者

又有原数以整带零减数亦以整带零者先以整数相减次将各零母依法并合为一次乃子母互乘为子各系本子位下相减

于整九内借一数以化母为三百六十三并入一十一则三百六十三之一十一为三百六十三之三百七十四

以上是零整杂减者若原数减数不止二位相并有三四零数以上者照前逐并母数互乘减之

若欲试减法之当否则用加法

补前章以减法试加法

假如不同母加积者试之两母相除得母数将所互乘之数互减之其减余者除以本母得子数

竒零乘法第十二

凡两零相乘者皆以母乘母子乘子

凡零数与整数相乘者置整数与零子数并列其上立一数为母与零母并列照前母乘母子乘子

凡整数带零数与整数相乘或与零数相乘者先以整数与所带零数之母相乘得若干并入零子列子位【化法】乃以整数照前法列于子位其上立一为母而母子相对乘之

右系整兼零与零数相乘者

若两数俱以整数兼零数者照前先化整数

或问乘法乘少为多今或乘多为少何也曰立法如此乃是借虚驭实与除法相防为用非整乘也

若欲试乘法之有差则用竒零除法

竒零除法第十三

凡竒零数又以竒零数归除者列原数于右列除数于左却将除数倒列子母【原数母上子下除数子上母下】两平对乘其乘出数即归得数

假如以竒零除竒零者

右法假如一年十二个月今曰二之一则六个月也六之一则二个月也以二剖六各得三个月

假如以零数除整数者以整数作子上立一为母

假如以整带零而除整数者原数只借一为母不动若除数则以所带零母化其整数并子数

假如以整数除零数者

假如以整带零而除零数者原零数不动其除数之整

假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整数

若欲试零除之差否则用零乗法以乗出之数为主以对除数相乗仍合原数则不差

重零除尽法第十四

归除不尽曰竒零然有原数之内本来先带竒零者【如原数系二十零四分之一之类】是大竒零数内又有小竒零也若欲除之使尽当先归之使一列小竒零于右列大竒零于左两母相乘为总母又以小竒母乗大竒子并入小子为共子数即是除尽之数若数繁者约之

假如四人剖一十五零三之二其不尽者整三数零三之二也三之二为小竒列右四之三为大竒列左如法乘之即得四母除尽之数

若小竒零之内复有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相并得母数及子数次乃递互并完假如七除不尽而余四数是为七之四矣而又以此四中之一剖为五停内得二又以此二中之一剖为四停内得三又剖此三中之一为三停内得二此乃大竒数内又带三小竒数愈析愈繁最易淆乱者法具后

以上用七除尽者每分得八十四之五十五

假如以一十二人剖二十整数零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不尽以一十二之八列左以四

右系捷法若依前章竒零加除二法者从小竒数除起以一十二除之借一为母倒列对乘先得小竒乘数次以大竒数与对乘又依加法互乘求总子数约之得除尽数

通问第十五

前算法一十四章总归加减乘除四术临时制用存乎其人今设一十四问由浅入深由易入难精之躔度厯术麤之米盐凌杂皆可类见

问减二十三余四十七原是几数又问减一十一之四余八零三之二原是几数答曰此用加法以二十三加四十八原是七十数也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也

问八十七内减几何该余二十六又问一十三之八内减几何该余七之二答曰即用减法就八十七内且减二十六余六十一得余数就一十三之八内且除七之二余九十一之三十得余数

问加三十八得八十三原是若干又问加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用减法于八十三内减三十八尚余四十五其原数也于二十零二之一内减四零九之八尚余一十五零一十八之一十一其原数也

问一百与三百四十九差几何又问六零二之一与二十零四之三差几何曰此即减法于三百四十九内减一百是为二百四十九于二十零四之三内减六零二之一是为一十四零四之一

问何数除之以九而各得三十四又问何数除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其实数也三之二乘四零三之一得整二零九之八其实数也

问有三十于此其五之三是何数又问有四零七之五于此其二之一是何数曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也【依法以子数三乗三十得九十以母数五除之得一十八合问】以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也【依法化四并五为七之三十三以与二之一对乘得一十四之三十三约之为二零一十四之五合问】

问除四十八各得一十其除数若干又问除七之三各得三之二其除数若干曰此于除法求之只以一十除四十八该得四零五之四是其除数【以四零五之四为除数者依法化整及倒位对乘之子数五乘四十八得二百四十母数二十四除之得一十合问】只以三之二而除七之三该得一十四之九是其除数【以一十四之九为除数者以九对七以三对一十四乘得六十三之四十二约之三之二也】

问一十七与何数相乘而得一百又问三零二之一与何数相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百当各得五零一十七之一十五以得数乘除数还原一百矣以整三零二之一而除四之一当各得一十四之一以得数乘除数还原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七约之四之一也】

问两数相乘得四十八是何数又问两零数相乘得二之一又或得六零四之三者各是何数曰熟于除法则随变用之其除四十八者随意立一数如以六数除则各得其八乗之则六八四十八也如以一十除则各得其四零五之四乘之乃五之二百四十还原四十八也【母五乘整四并子得二十四以一十乘得二百四十数以母五归整是四十八】其除二之一者亦随立一数如以三之二为除则各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六约之则二之一矣其六零四之三者亦随立一数如用三零二之一为除则各得一零一十四之一十三乘之则六零二十八之二十一约之六零四之三也如用二零四之三为除则各得四十四之一百零八乘之则一百七十六之一千一百八十八约之亦六零四之三也

问两数除之得二十八又问两零数除之得六之五其数几何曰此用乘法亦随意立一数乗之如二十八数以六数乘之得一百六十八即以六除之仍归二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一为除仍归六之五矣

问何数以七为乘而所乘出之数归之以八而得三又问何数以五之二为乘而所乘出之数除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除数乗除得之数而以所云乘数除之其所除得数即所求数也假如三与八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三与四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣

问六在五十四之内约是几分之几又问五之三在一十之九内约是几分之几曰此用约分零除法以小除大其所除得数即是也以六除五十四各得九则六于五十四乃九之一也【假如以五十四除六者依零除法各立一数为母倒位对乘乃五十四分之六即以六数而除五十四于此可明零除倒位之义】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十约之则五之三于一十之九乃三之二也