御制数理精蕴

各分数因之即得各重数也次求各色之价数既以线重六十斤为线衰分则丝价与绵价必俱变为与线相当之数而后可以为比例盖绵二两当线一两之价则绵一百八十斤必当线九十斤之价故以九十为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价则丝一百二十斤必当线七十五斤之价故以七十五为丝之衰分既得各衰分并之与总银相比即同于线每斤与每斤之价相比也既得线每斤之价以二除之得绵每斤之价者绵价居线价二分之一也既得线每斤之价又以一六除之得丝每斤之价者丝价居线价十六分之十也

设如李王二人合本生理不知二人本银之数但知李本银比王本银多一倍零八两共得利银二十二两李分十六两王分六两问二人各出本银若干

法以王利银六两加一倍【因李本银比王本银多一倍故加一倍也】得十二两与李利银十六两相减余四两为一率所零八两为二率王之利银六两为三率推得四率十二两即王之本银数加一倍又加八两共三十二两为李之本银数也盖李之本银比王之本银多一倍又多八两李之利银比王之利银多一倍又多四两是四两即为八两所得之利银数利银四两知本银为八两则王之利银六两即知其本银为十二两也

设如买缎一千疋不言出银之数但知每疋卖价七两二钱则比原出银少十分之一问原出银若干法以分母十与分子一相减余九分为一率以七两二钱与一千疋相乗得七千二百两为二率十分为三率推得四率八千两即原出银之数也此法盖因每疋卖价七两二钱比原出银少十分之一则今卖价止得原出银十分之九故以九分与今卖价之比即同于十分与原出银之比也

设如甲丙丁三人合本贸易丙之本银为甲本银五分之四丁之本银为甲本银三分之二丙之本银比丁之本银多十两问三人本银各若干

法以十五分为甲之衰数【两分母相乗之数】取甲五分之四得十二分为丙之衰数取甲三分之二得十分为丁之衰数乃以丁十分与丙十二分相减余二分为一率多十两为二率甲十五分为三率推得四率七十五两为甲本银数如以丙十二分为三率则得四率六十两为丙本银数如以丁十分为三率则得四率五十两为丁本银数以丁银与丙银相减余十两即丙多于丁之数也

设如有银赏三等人一等八人二等六人三等九人二等每人所得为一等每人三分之二三等每人所得为二等每人四分之一二等比三等共多得三百两问每等每人各得几何

法以十二分为一等每人之衰数【两分母相乗之数】取十二分中之三分之二得八分为二等每人之衰数又取八分中之四分之一得二分为三等每人之衰数乃以一等十二分与一等八人相乗得九十六分为一等八人共衰数二等八分与二等六人相乗得四十八分为二等六人共衰数三等二分与三等九人相乗得十八分为三等九人共衰数乃以三等共衰十八分与二等共衰四十八分相减余三十分为一率二等比三等共多得三百两为二率一等每人衰数十二分为三率推得四率一百二十两为一等每人所得之数以一等八人乗之得九百六十两即一等八人所得之共数如以二等每人衰数八分为三率则得四率八十两为二等每人所得之数以二等六人乗之得四百八十两即二等六人所得之共数如以三等每人衰数二分为三率则得四率二十两为三等每人所得之数以三等九人乗之得一百八十两即三等九人所得之共数以二等共得四百八十两与三等共得一百八十两相减余三百两即二等共多于三等之银数也

设如有田一百二十亩一人一日耕四亩一人一日种六亩欲令二人同日完工问耕者该先起工几何

法以四亩与六亩相乗得二十四亩以

四亩互乗一日得四日以六亩互乗一

日得六日乃以二十四亩为一率四日

六日相减余二日为二率一百二十亩

为三率推得四率十日即是耕者该先

起工十日也此法盖因四亩与六亩不

同故用互乗以齐其分一得二十四亩

耕六日一得二十四亩种四日欲令同

日完工则耕者当先起工二日然则田

二十四亩当先起工二日今田一百二

十亩则当先起工十日也

御制数理精蕴下编卷六

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷七

线部五

和较比例

和较比例

比例之中有和数较数而复有和较者用和数相比谓之和用较数相比谓之较至于设问中两物相和两价相和或每色中防物相和乃于和数中推求较数因较数而成比例是以和数为体而较数为用故谓之和较比例在九章一名贵贱差分一名贵贱相和其立法盖于縂物中求其相差之较或于每物中求其相差之较【此贵贱差分法】或用互乗以齐其数然后于互乗数中求其相差之较作为比例而得真数【此贵贱相和法】按法立算虽各不同要之縂以和数推出较数为比此和较之所以名也

设如有银四百零五两七钱共买米麦五百石米每石价银八钱六分麦每石价银七钱二分五厘问米麦各该防何

法以米麦共五百石用米每石价银八钱六分乗之得四百三十两与縂银四百零五两七钱相较则縂银少二十四两三钱又以米麦共五百石用麦每石价银七钱二分五厘乗之得三百六十二两五钱与縂银相较则縂银多四十三两二钱乃以多少两数相并得六十七两五钱为一率米麦共五百石为二率少二十四两三钱为三率得四率一百八十石即麦数于共五百石内减之余三百二十石即米数如以多四十三两二钱为三率得四率三百二十石亦即米数也此法盖以五百石俱为米计之则价应四百三十两与今縂银相较则縂银少二十四两三钱如以五百石俱为麦计之则价应三百六十二两五钱与今縂银相较则縂银多四十三两二钱是米五百石比麦五百石价多六十七两五钱即麦五百石比米五百石价少六十七两五钱也是知麦价比米价少六十七两五钱而麦为五百石今縂银比米价少二十四两三钱则麦必为一百八十石也又米价比麦价多六十七两五钱而米为五百石今縂银比麦价多四十三两二钱则米必为三百二十石也

又法以米麦每石价银相减余一钱三分五厘为一率一石为二率以米麦共五百石用米价乗之得四百三十两与縂银四百零五两七钱相减余二十四两三钱为三率得四率一百八十石即麦数于共五百石内减之余三百二十石即米数如以米麦共五百石用麦价乗之得三百六十二两五钱与縂银四百零五两七钱相减余四十三两二钱为三率得四率三百二十石亦即米数也此法盖因米一石比麦一石其价相差一钱三分五厘是知少一钱三分五厘而麦为一石今少二十四两三钱则麦少为一百八十石也又多一钱三分五厘而米为一石今多四十三两二钱则米必为三百二十石也前法以五百石縂价之较与五百石为比此法以每一石价之较与一石为比其理同也

设如有银一百两共买防绢一百疋防每疋价银一两六钱绢每疋价银八钱问防绢各得防何法以防绢共一百疋用防价一两六钱乗之得一百六十两与共银一百两相较则共银少六十两又以防绢共一百疋用绢价八钱乗之得八十两与共银一百两相较则共银多二十两乃以多少两数相并得八十两为一率防绢共一百疋为二率少六十两为三率得四率七十五疋即绢数于共一百疋内减之余二十五疋即防数如以多二十两为三率得四率二十五疋亦即防数也此法盖以一百疋俱为防计之则价应一百六十两与共银相较则共银少六十两如以一百疋俱为绢计之则价应八十两与共银相较则共银多二十两是防一百疋比绢一百疋价多八十两即绢一百疋比防一百疋价少八十两也是知绢价比防价少八十两而绢为一百疋今共价比防价少六十两则绢必为七十五疋也又防价比绢价多八十两而防为一百疋今共价比绢价多二十两则防必为二十五疋也

又法以防绢每疋价银相减余八钱为一率防一疋为二率以防绢共一百疋用防价乗之得一百六十两与共银一百两相减余六十两为三率得四率七十五疋即绢数于共一百疋内减之余二十五疋即防数如以防绢共一百疋用绢价乗之得八十两与共银一百两相减余二十两为三率得四率二十五疋亦即防数也此法盖因防一疋比绢一疋其价相差八钱是知少八钱而绢为一疋今少六十两则绢必为七十五疋也又多八钱而防为一疋今多二十两则防必为二十五疋也

设如鸡同笼但知头共三十六足共一百问鸡各防何

法以鸡共三十六头用鸡二足乗之得七十二足与共足一百相较则共足多二十八又以鸡共三十六头用四足乗之得一百四十四足与共足一百相较则共足少四十四乃以多少两数相并得七十二足为一率共三十六头为二率少四十四足为三率得四率二十二即鸡数于共三十六只内减之余十四即数如以多二十八足为三率得四率十四亦即数也此法盖以三十六俱为鸡计之则应七十二足与今共足相较则共足多二十八若以三十六俱为计之则应一百四十四足与今共足相较则共足少四十四是三十六比鸡三十六多七十二足即鸡三十六比三十六少七十二足也是知鸡少于七十二足而鸡为三十六只今鸡少于四十四足则鸡必为二十二只也又多于鸡七十二足而为三十六只今多于鸡二十八足则必为十四只也

又法以鸡二足四足相减余二足为一率一只为二率又以共三十六只用四足乗之得一百四十四足与共足一百相减余四十四为三率得四率二十二即鸡数于共三十六只内减之余十四即数如以共三十六只用鸡二足乗之得七十二足与共足一百相减余二十八为三率得四率十四亦即数也此法盖因鸡一只比一只差二足是知鸡少于二足而鸡为一只今少于四十四足则鸡必为二十二只也又多于鸡二足而为一只今多于鸡二十八足则必为十四只也

设如有羊一百四十只大小不防共剪毛一百五十斤大羊每只剪毛一斤二两小羊每只剪毛十二两问大小羊各防何

法以共羊一百四十只用大羊剪毛十八两乗之【一斤作十六两加二两即十八两也】得二千五百二十两与共剪毛二千四百两相较【一百五十斤变为两得二千四百两】则共剪毛数少一百二十两又以共羊一百四十只用小羊剪毛十二两乗之得一千六百八十两与共剪毛二千四百两相较则共剪毛数多七百二十两乃以多少两数相并得八百四十两为一率共羊一百四十只为二率多七百二十两为三率得四率一百二十只即大羊数于共一百四十只内减之余二十只即小羊数如以少一百二十两为三率得四率二十只亦即小羊数也此法盖以一百四十只俱为大羊计之则应剪毛二千五百二十两与共剪毛数相较则共剪毛数少一百二十两若以一百四十只俱为小羊计之则应剪毛一千六百八十两与共剪毛数相较则共剪毛数多七百二十两是大羊一百四十只比小羊一百四十只多八百四十两即小羊一百四十只比大羊一百四十只少八百四十两也是知多八百四十两而大羊为一百四十只今少七百二十两则大羊必为一百二十只也又少八百四十两而小羊为一百四十只今少一百二十两则小羊必为二十只也

又法以大羊剪毛十八两小羊剪毛十二两相减余六两为一率一只为二率以共羊一百四十只用小羊剪毛数乗之得一千六百八十两与共剪毛二千四百两相减余七百二十两为三率得四率一百二十只即大羊数于共一百四十只内减之余二十只即小羊数如以共羊一百四十只用大羊剪毛数乗之得二千五百二十两与共剪毛二千四百两相减余一百二十两为三率得四率二十只亦即小羊数也此法盖以大羊一只比小羊一只所剪毛差六两是知多六两而大羊为一只今多七百二十两则大羊必为一百二十只也又少六两而小羊为一只今少一百二十两则小羊必为二十只也

设如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六十两八钱问玉有防何

法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸为正方体积乃以六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之得一百六十六两四钱与共重一百六十两八钱相较则共重少五两六钱又以六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百六十两与共重一百六十两八钱相较则共重多八钱乃以多少两数相并得六两四钱为一率玉六十四寸为二率多八钱为三率得四率八寸即玉数于共六十四寸内减之余五十六寸即石数如以少五两六钱为三率得四率五十六寸亦即石数也既得玉八寸则以玉寸方定率二两六钱乗之得二十两八钱即玉之重数于共重一百六十两八钱内减之余一百四十两即石之重数如以石五十六寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百四十两亦即石之重数也此法盖以六十四寸俱为玉计之则应重一百六十六两四钱与共重数相较则共重数少五两六钱若以六十四寸俱为石计之则应重一百六十两与共重数相较则共重数多八钱是石六十四寸比玉六十四寸少六两四钱即玉六十四寸比石六十四寸多六两四钱也是知多六两四钱而玉为六十四寸今多八钱则玉必为八寸也又少六两四钱而石为六十四寸今少五两六钱则石必为五十六寸也

又法以玉寸方定率二两六钱与石寸方定率二两五钱相减余一钱为一率一寸为二率以共积六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百六十两与共重一百六十两八钱相减余八钱为三率得四率八寸即玉数于共六十四寸内减之余五十六寸即石数如以共积六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之得一百六十六两四钱与共重一百六十两八钱相减余五两六钱为三率得四率五十六寸亦即石数也此法盖以玉一寸比石一寸其重差一钱是知多一钱而玉为一寸今多八钱则玉必为八寸也又少一钱而石为一寸今少五两六钱则石必为五十六寸也

设如有金银共重三百二十一两镕于一处作成一正方体每邉三寸问金银各重防何

法以方边三寸自乗再乗得二十七寸为正方体积乃以二十七寸俱作金算用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相较则共重少一百三十二两六钱又以二十七寸俱作银算用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相较则共重多七十八两乃以多少两数相并得二百一十两六钱为一率金二十七寸重四百五十三两六钱为二率多七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银二十七寸重二百四十三两为二率少一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖因金二十七寸比银二十七寸多二百一十两六钱即银二十七寸比金二十七寸少二百一十两六钱也是知金比银多二百一十两六钱而金为四百五十三两六钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又银比金少二百一十两六钱而银为二百四十三两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也

又法以银寸方定率九两与金寸方定率十六两八钱相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积二十七寸用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相减余七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银一寸重九两为二率以共积二十七寸用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相减余一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖以金一寸比银一寸其重相差七两八钱是知多七两八钱而金为十六两八钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又少七两八钱而银为九两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也

设如有金器一件内有银相参合共重一百七十两四钱问金银各重若干

法用一桶盛水令满将金器入内看溢出之水得正方寸数防何假如得十二寸即为金银共积以金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相较则共重少三十一两二钱又以银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相较则共重多六十二两四钱乃以多少两数相并得九十三两六钱为一率金十二寸重二百零一两六钱为二率多六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银十二寸重一百零八两为二率少三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也

又法以金寸方定率十六两八钱与银寸方定率九两相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积十二寸用银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相减余六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银一寸重九两为二率以共积十二寸用金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相减余三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也

设如有金铸一器重三百两俱系九六成色今用九九成色及九一成色二防金替换问各得防何法以九六成色与三百两相乗得二百八十八两为原金数乃以九九成色与三百两相乗得二百九十七两与原金二百八十八两相较则原金少九两又以九一成色与三百两相乗得二百七十三两与原金二百八十八两相较则原金多十五两爰以多少两数相并得二十四两为一率三百两为二率原金比九一成色多十五两为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以原金比九九成色少九两为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九六成色金三百两为十成金二百八十八两而九九成色金三百两为十成金二百九十七两九一成色金三百两为十成金二百七十三两是知九九比九一多二十四两而九九成色金为三百两今九六比九一多十五两则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少二十四两而九一成色金为三百两今九六比九九少九两则九一成色金必为一百一十二两五钱也

又法以九九与九一相减余八分为一率金三百两为二率以九一与九六相减余五分为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以九九与九六相减余三分为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九九比九一多八分而九九成色金为三百两今九六比九一多五分则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少八分而九一成色金为三百两今九六比九九少三分则九一成色金必为一百一十二两五钱也

设如甲乙二人有金成色不防甲金一两可凖银一十二两乙金一两可凖银八两今欲镕为一处令金一两凖银九两问甲乙二人于一两金中各出金防何

法以凖银九两为中数与甲金凖银十二两相较少三两与乙金凖银八两相较多一两乃以多少两数并之得四两为一率金一两为二率比甲少三两为三率得四率七钱五分即乙所出金数如以比乙多一两为三率得四率二钱五分即甲所出金数也此法因银十二两与八两皆金一两所凖之数虽相乗其数不动故直以十二与八相减作一率【以十二与九八与九之两较相并得四即十二与八相减之余数也】盖乙比甲银少四两而乙金为一两今比甲银少三两则乙金必为七钱五分也又甲比乙银多四两而甲金为一两今比乙银多一两则甲金必为二钱五分也

设如有钱四千九百九十五文买栗枣共五千枚只云栗九枚钱一十一文枣七枚钱四文问二色与价各得若干

法先用互乗以齐其分以栗九与枣七相乗得六十三为乗出之縂物分即以六十三乗縂钱四千九百九十五文得三十一万四千六百八十五文为乗出之縂钱数又以枣七乗栗价十一文得七十七文为乗出之栗价以栗九乗枣价四文得三十六文为乗出之枣价然后以栗枣共五千枚用栗价七十七文乗之得三十八万五千文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱少七万零三百一十五文又以栗枣共五千枚用枣价三十六文乗之得一十八万文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱多一十三万四千六百八十五文乃以栗价七十七文与枣价三十六文相减余四十一文为一率一枚为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于共五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以少七万零三百一十五文为三率得四率一千七百一十五枚亦即枣数也既得栗数则以九枚为一率十一文为二率三千二百八十五枚为三率得四率四千零一十五文即栗之共价既得枣数则以七枚为一率四文为二率一千七百一十五枚为三率得四率九百八十文即枣之共价也如欲先得各价则以四十一文为一率栗价七十七文为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率二十五万二千九百四十五文以六十三除之得四千零一十五文即栗之共价于共钱四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价如以四十一文为一率枣价三十六文为二率少七万零三百一十五文为三率得四率六万一千七百四十文以六十三除之得九百八十文亦即枣之共价也此法九章名为贵贱相和盖因栗九枚枣七枚其数不同故用互乗以齐其分得栗六十三枚价七十七文枣六十三枚价三十六文今以六十三枚当一枚则为栗一枚价七十七文枣一枚价三十六文是其价各加六十三倍故将縂钱亦加六十三倍即为栗枣共五千枚共价三十一万四千六百八十五文而栗一枚比枣一枚其价相差四十一文是知栗价比枣价多四十一文而栗为一枚今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗必为三千二百八十五枚也又枣价比栗价少四十一文而枣为一枚今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣必为一千七百一十五枚也其先求各价者盖因栗价比枣价多四十一文而栗价为七十七文今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗价少为二十五万二千九百四十五文因各价皆为加六十三倍故以六十三除之得四千零一十五文为栗之共价也又枣价比栗价少四十一文而枣价为三十六文今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣价必为六万一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文为枣之共价也