数学

一六】

降娄【戌】　壁四度一十三分入　壁四度【二八】

大梁【酉】　娄九度二十八分入　娄九度【六○】

实沈【申】　毕四度五十八分入　毕五度【○四】

鹑首【未】　井八度　六　分入　井八度【二二】

鹑火【午】　栁三度　九　分入　栁三度【二○】

鹑尾【巳】　张七度四十二分入　张七度【八二】

寿星【辰】　轸二度三十八分入　轸二度【六七】

大火【卯】　亢八度五十八分入　亢九度【一○】

析木【寅】　心五度四十○分入　心五度【七五】

右所定十二次之界未知果符天否存其梗概竢后来考定又中厯宫界与此不能尽合宿度多寡不同一也此以黄道度分宫而中厯以赤道度匀分黄道度各宫多寡不均二也

附勿庵先生説【荅沧州刘介锡茂才】

以星推命不知始于何时然吕才之辟禄命只及干支及韩潮州始有我生之时月宿南斗之説由是征之亦在九执以后耳毎见推五星者率用溪口厯则于七政躔度疎逺若依新法则宫度之迁改不常二者已如柄凿之不相入又安望其术之能验乎夫欲求至当则宜有变通然其故多端实难轻议或始以古法分宫而取今算之七政布之则既不违其本术亦不谬乎悬象虽未知验否何如而于理庶防可通矣

按此説似有理然以古法分宫尚有防细之处先生亦只言其大略耳【界则有度度则有分授时大统之宫界既不可用于今而西国所定毎月初一日之宿度又似非一宫三十度者】

宿度考异【黄道度】

虚九度五十九分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同厯象考成康熈甲子宿钤同】

危二十度○七分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

室一十五度四十一分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

壁一十三度一十六分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十三度六分○减十分】

奎一十一度二十九分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十一度三十九分○加十分○盖减壁以益奎】

娄一十三度

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戉辰同康熈甲子宿钤同】

胃一十三度○一分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十二度一十五分○减四十六分】

昴八度二十九分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤九度一十五分○加四十六分○盖减胃以益昴】

毕一十三度五十八分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

参一度二十一分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

觜一十一度三十三分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

井三十度二十四分

【崇祯戊辰测○康熈壬子三十度二十五分注云新测三十度二十四分○康熈戊辰三十度二十四分○康熈甲子宿钤三十度二十五分】

鬼四度三十七分

【崇祯戊辰测○康熈壬子五度三十分注云新测四度三十七分○康熈戊辰四度三十七分○康熈甲子宿钤四度三十二分】

柳一十七度

【崇祯戊辰测○康熈壬子十六度○六分注云新测十七度○康熈戊辰十七度○康熈甲子宿钤一十七度○四分○盖井加一分鬼减五分栁加四分互有损益】

星八度二十三分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

张一十八度○四分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

翼一十七度

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

轸一十三度○三分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

角一十度三十五分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十度三十七分○加二分】

亢一十度四十分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十度三十八分○减二分○盖损角益亢】

氐一十七度五十四分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十七度五十分○减四分】

房四度四十六分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤四度五十分○加四分○盖损氐益房】

心七度三十三分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同】

尾一十五度三十六分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十五度五十六分○加二十分】

箕九度二十分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤九度　减二十分○盖益尾损箕】

斗二十三度五十一分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤二十三度四十七分○减四分】

牛七度四十一分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰四十分康熈甲子宿钤七度四十六分○加五分】

女一十一度三十九分

【崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十一度三十八分○减一分○盖斗牛女三宿互有损益】

右黄道宿度据崇祯厯书戊辰宿钤算其度分灵台仪象志康熈壬子宿钤多同又康熈戊辰亦同而厯象考成以康熈甲子为元其宿度分小有损益意者后有密测较精于前与康熈戊辰在甲子后宿度多同前者盖据旧测逐年如其歳差之秒而宿度不改厯象考成成于康熈之季年刻于雍正三年盖以后测追溯甲子厯元宿钤当如此是以与戊辰稍异也损益之少者数分其多者胃昴四十六分尾箕二十分愚疑尾箕二宿最近地平有防气差意者前测未精差二十分或由此若胃昴距地髙当无气差而改测差四十六分岂胃宿改距星与【差一分者盖因歳差秒数有弃有收】

再考觜参二宿乾隆十七年十一月大臣议改仍依古法觜前参后参宿中三星昔以西一星为距今改东一星为距则觜前参后矣但二宿之度未有考○考授时厯黄道宿度与今黄道宿度同异【今宿度以整度变日度】

箕【授时九度五九今九度一三】　　　斗【授时二十三度四七今二十四度一三】牛【授时六度九○今七度八八】　　　女【授时一十一度一二今一十一度八○】虚【授时九度○○太○今一十五度九一】　危【授时一十五度九四今二十度四一○】室【授时一十八度三三今一十五度九一】　壁【授时九度三四○今一十三度二九】

奎【授时一十七度八七今一十一度八二】　娄【授时一十二度三六今一十三度一九】胃【授时一十五度八一今一十二度四三】　昴【授时一十一度○八今九度三八○】毕【授时一十六度五○今一十四度一七】　觜【授时觜在参前○度○五○今觜在参后一十一度七二】参【授时参在觜后九度二八今参在觜前一度三七】井【授时三十一度○三今三十度八六】

鬼【授时二度一一今四度六○】　　　　栁【授时一十三度○今一十七度三二】星【授时六度三一○今八度五○五四】　　　张【授时一十七度七九今一十八度三三】翼【授时二十度○九今一十七度二三】　　　轸【授时一十八度七五今一十三度二四】角【授时一十二度八七今一十度七七○】　　亢【授时九度五六○今一十度七九】氐【授时一十六度四○今一十八度○九】　　房【授时五度四八今四度九○】

心【授时六度○七今七度六六】　　　　尾【授时一十七度九五今一十六度一七】黄道宿度多寡古厯多不同授时以简仪密测宿度余分可考然以较之今时黄道宿度无一宿同者其故实多端据西士之説恒星循黄道东行赤道经纬度歳歳不同而黄道之宿则有定距本当以黄道度为主用弧三角法算毎歳赤道之经纬而郭氏法以赤道度为主由赤道度变黄道度其不同者一也黄赤本可相求而郭氏以弧矢割员之术求黄赤道之差与弧三角算不能宻合其不同者二也古今所用列宿距星不能画一其不同者三也觜参二宿易其前后其不同者四也宿近地平常有气掩映之差须考求其真度前人未见及此其不同者五也有此五端宜其无一宿同当据今所测算者为正其觜参二宿则今仍改为觜前参后也

数学卷七

钦定四库全书

数学卷八

婺源江永撰

算賸

【勿庵先生论算极详观玩之余有得辄笔之此为賸义云尔】

正弧三角防通

弧三角以正者为宗举要第二卷论正弧其法散出有见于求余角法者有见于第四卷次形法者又有现于堑堵测量环中黍尺二书者今为荟萃总计求角求边凡若干正法别法附之胪列分明学者庶易防焉

甲为正角乙酉春分角丙为交角乙

甲犹赤道乙丙犹黄道丙甲犹距纬

正弧随处有之不止黄赤道而以黄

赤为喻诸法皆以甲乙丙为钤记

求丙甲边法

半径与乙角正若乙丙正与丙甲正【中二率相乘为实首率为法除实得四率】

半径与乙角正切若乙甲正与丙甲正切

丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正

若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余切若乙甲正切与丙甲正

半径与丙角余若乙丙正切与丙甲正切

又法丙角余与半径若乙丙余切与丙甲余切

乙甲余与半径若乙丙余与丙甲余

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲正割若乙丙余与丙甲余

又法半径与乙甲余若乙丙正割与丙甲正割又法乙丙余与半径若乙甲余与丙甲正割又法乙丙正割与半径若乙甲正割与丙甲余

丙角正与半径若乙角余与丙甲余

半径与丙角余割若乙角余与丙甲余

又法不用四率但以加减法取初数即得丙甲正法为乙角度与乙丙边度相并为总弧相减为存弧各取余如法相加减【总弧过象限则两余相加不过象限则相减】折半为初数即为丙甲正

求乙丙边法

乙角正与半径若丙甲正与乙丙正

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余割若丙甲正与乙丙正

乙角余与半径若乙甲正切与乙丙正切

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角正割若乙甲正切与乙丙正切

丙角正与半径若乙甲正与乙丙正

若欲用半径为首率以省除则为半径与两角余割若乙甲正与乙丙正

丙角余与半径若丙甲正切与乙丙正切

若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角正割若丙甲正切与乙丙正切

半径与丙甲余若乙甲余与乙丙余

又法乙甲余与半径若丙甲正割与乙丙正割又法丙甲正割与半径若乙甲余与乙丙余又法半径与乙甲正割若丙甲正割与乙丙正割又法乙甲正割与半径若丙甲余与乙丙余又法丙甲余与半径若乙甲正割与乙丙正割

乙角正切与半径若丙角余切与乙丙余

半径与乙角余切若丙角余切与乙丙余

求乙甲边法

乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余切若丙甲正切与乙甲正

又法乙角正与乙角余若丙甲正切与乙甲正

半径与乙角余若乙丙正切与乙甲正切

又法乙角正割与半径若乙丙正切与乙甲正切

半径与丙角正若乙丙正与乙甲正

半径与丙角正切若丙甲正与乙甲正切

甲丙余与半径若乙丙余与乙甲余

又法乙丙正割与半径若丙甲正割与乙甲余又法半径与丙甲正割若乙丙余与乙甲余又法乙丙余与半径若丙甲余与乙甲正割又法半径与乙丙正割若丙甲余与乙甲正割又法丙甲正割与半径若乙丙正割与乙甲正割

乙角正与半径若丙角余与乙甲余

半径与乙角余割若丙角余与乙甲余

求乙角法

乙丙正与半径若丙甲正与乙角正

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若丙甲正与乙角正

又法丙甲正与半径若乙丙正与乙角正割又法半径与丙甲余割若乙丙正与乙角正割又法乙丙正与丙甲正若乙角正割与乙角正切

乙甲正与半径若丙甲正切与乙角正切

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲余割若丙甲正切与乙角正切

又法丙甲正切与半径若乙甲正与乙角余切

乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若乙甲正切与乙角余

又法乙甲正切与半径若乙丙正切与乙角正割又法半径与乙甲余切若乙丙正切与乙角正割

半径与丙甲余若丙角正与乙角余【永补】

乙甲余与半径若丙角余与乙角正【永补】

半径与乙甲正割若丙角余与乙角正【永补】

乙丙余与半径若丙角余切与乙角正切【永补】

半径与乙丙正割若丙角余切与乙角正切

求丙角法

乙丙正与半径若乙甲正与丙角正

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若乙甲正与丙角正

又法半径与乙丙正割若乙角余切与丙角正切又法乙甲正与半径若乙丙正与丙角余割【永补】

丙甲正与半径若乙甲正切与丙角正切

若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲余割若乙甲正切与丙角正切

又法乙甲正切与半径若丙甲正与丙角余切【永补】

乙丙正切与半径若丙甲正切与丙角余

若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若丙甲正切与丙角余

又法丙甲正切与半径若乙丙正切与丙角正割【永补】

丙甲余与半径若乙角余与丙角正【永补】

半径与丙甲正割若乙角余与丙角正

半径与乙角正若乙甲余与丙角余【永补】

半径与乙角正切若乙丙余与丙角余切【永补】

已上求边求角诸法具足有未备者永为补之一种有数法择用一焉可也【永所补者亦因他法隅反非臆测也用之可勿疑】垂弧法趋防

举要第三卷论垂弧但言可求某边某角不详其求之之法以有正弧三角法可攷也然算以防为贵有可省者径省之诸形中各求防法以趋简易

形内垂弧第一支

【甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角】

作垂弧乙丁丁为正角○按两边夹

一角求对角之边有环中黍尺专书

备论可不作垂弧欲以垂弧算之第

四卷有防法但求丁丙边【半径与丙角余若】

【乙丙正切与丁丙正切】分甲丁边【丙丁之余为甲丁】即用两分之两边以径得乙甲【丁丙余与乙丙余若丁甲余与乙甲余】甚防也得乙甲则二角【乙甲】可求矣若按次求之先求丁丙次求乙丁次求丁乙丙分角次求乙甲次求甲角及丁乙甲分角末以两乙角并之成乙角较为烦曲

形内垂弧第二支【甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙边及与各相对之乙甲边求余两角一边】

此当先求甲角【乙甲正与丙角正若乙丙正与甲

角正】次求丁丙【半径与丙角余若乙丙正切与丁丙正切】甲丁【半径与甲角余若乙甲正切与甲丁正切】分边并

得甲丙则乙角可得不必求垂弧与

分角

形内垂弧第三支【甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边求甲角及余边】

边在两角之间斜弧三角之难求者

也若以垂弧法求之当求乙丁边【半径

与丙角正若乙丙正与乙丁正】丁乙丙分角【乙丙

余与半径若丙角余切与乙角正切】原设乙角内减

丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角【半径与乙分角正若乙丁余与甲角余】乙甲边【甲角正与半径若乙丁正与乙甲正】甲丙边【甲角正与乙丙正若原设乙角正与甲丙正】此不得不求垂弧与分角者也按次形法三角求边以角易为边边易为角此形虽止两角亦可弧角相易以次形求之葢在本形为两角夹一边次形即为两边夹一角在本形为求对边之角在次形即为求对角之边径用环中黍尺加减防法以求之一求而甲角可得矣此理隐于次形篇中永于三角求边悟得之

形内垂弧第四支【甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边求乙角及余二边】

此当先求乙丙边【丙角正与甲角正若乙甲正

与乙丙正】次求丙丁【半径与丙角余若乙丙正切与丙

丁正切】丁甲【半径与甲角余若乙甲正切与丁甲正切】分

边并得丙甲而乙角可得

形内垂弧第五支【系二边相同求三角此形易求畧之】

形外垂弧第一支【甲乙丙形有丙鋭角有夹角之两边求乙甲边及余两角】

自乙角作垂弧于形外补成正角【丁角】本法须求丙乙丁角【乙丙余与半径若丙角余切与乙角正切】乙丁边【半径与乙丙正若丙角正与乙丁正

】丁丙边【半径与乙丙正若乙角正与丁丙正】乃

可求乙甲边【丁丙内减丙甲得甲丁半径与甲丁余若乙

丁余与乙甲余】甲角【乙甲正与半径若乙丁正与甲角正

】及甲乙丁虚角【乙甲正与半径若甲丁正与虚】

【乙角正○末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角】若用环中黍尺加减防法则不用作垂弧一求可得乙甲边而甲乙两角皆可求矣

形外垂弧第二支【甲乙丙形有甲钝角有角旁之二边求乙丙边及余二角】

本法亦作垂弧于形外补成正角先

求虚边虚角而后可求形内之边角

今按此亦可用环中黍尺法角求对

边【钝角用大矢】径得乙丙因以求二角则

不必作垂弧

形外垂弧第三支【甲乙丙形有丙鋭角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角】

本法先求虚边虚角今按此可求甲

角【乙甲正与乙丙正若丙角正与甲角正】乃求丁

丙边【半径与丙角余若乙丙正切与丁丙正切】与甲丁

边【半径与甲外角余若乙甲正切与甲丁正切】于丁丙内

减甲丁得丙甲而乙角可求

形外垂弧第四支【乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角】

本法亦先算虚形今按此亦可仿第

三支先求乙角次求乙戊边与甲戊

边于乙戊内减甲戊得乙甲因以求

丙角

形外垂弧第五支【乙甲丙形有丙甲二角一鋭一钝有丙甲边在两角之中求一角】

本法作垂弧先算虚边虚角今按两

角夹一边求对边之角犹之两边夹

一角求对角之边径易角为边易边

为角用加减防法可得对丙甲边之

乙角

形外垂弧第六支【乙甲丙形有乙甲二角乙鋭甲钝有丙甲边与乙鋭角相对钝角相连】

此当先求乙丙边【有本形弧角比例】次求乙

戊虚边【半径与乙角余若乙丙正切与乙戊正切】次求

甲戊虚边【半径与甲外角余若丙甲正切与甲戊正切】于

乙戊内减甲戊得乙甲【因以求丙角】

形外垂弧第七支【乙甲丙形有乙鋭角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对鋭角相连】

此当先求丙甲边余如六支之法

垂弧又法第一支【乙甲丙形有乙丙边在两角之间而两角并钝求余二边及甲角】

法引丙甲至己引乙甲至戊各满半

周作戊己边与乙丙等而己与戊并

乙丙之外角成甲戊己次形依法作

垂弧于次形之内【如己丁】分为两形本

法求乙甲边以己丁戊分形求到丁戊【半径与戊角余若己戊正切与丁戊正切】以己丁甲形求到甲丁【先于己丁戊形求得己角以减原有之巳角余为丁己甲分角又求得己丁垂弧乃求甲丁法为半径与己分角正切若己丁正与甲丁正切】合之成甲戊以减半周得乙甲求丙甲边以己丁甲分形求到己甲【丁己甲角余与半径若己丁正切与己甲正切】以减半周得丙甲乃以己丁甲分形求到甲交角【己甲正与半径若己丁正与甲角正】按此殊多曲折径易角为边易边为角【或用本形之乙丙两钝角易为边以乙丙边为角取矢或用次形之己戊两鋭角易为边取己戊矢皆可】用加减防法求之即可得甲角【因以求二边】

垂弧又法第二支【乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边】

如法引甲乙丙乙俱满半周防于己

成丙甲己次形作己丁垂弧于次形

内分次形为两本法求乙角惟求分

形两己角合之为次形己角与乙对

角等又求分形甲丁丁丙并之为甲丙以求到次形己丙减半周为乙丙今按此形当先求乙丙边【丙角正与乙甲正若甲角正与乙丙正】减半周余为己丙虚边次求甲丁【乙甲减半周得甲己半径与甲外角余若甲己正切与甲丁正切】丁丙【半径与丙外角余若己丙正切与丁丙正切】并得甲丙因以求乙角【有弧角比例】稍为直防若欲先知乙角如本法可矣【乙甲余弧与半径若甲外角余切与甲己丁分角正切又半径与甲己正若甲外角正与丁己正又丁己余与半径若丙外角余与丁己丙角正合两分形己角为次形己角即为本形乙角】

垂弧又法第三支【乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中】

本法用甲乙戊次形算之今按此亦可用加减防法径得丙甲

垂弧又法第四支【乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对】

法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲

丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧于内求乙

丙边及余两角按此形当先求乙角

【乙甲正与丙角正若甲丙正与乙角正】因知己虚

角【己为乙之外角】次求丁己【半径与己角余若甲己正切与丁己正切】戊丁【半径与戊角正切若甲戊正与戊丁正切】并得己戊即丙乙因以求甲角若欲先知甲角即于丁戊甲分形求之【半径与戊角正切若甲戊余与甲角余切】因以求乙丙边【丙角正与乙甲正若甲角正与乙丙正】