皇朝经世文三编

复取一面如法作之 得二线交点即所求准此自底面取重心线四分之一即重心

今有正圆球三 角垛共十球球径一尺求垛顶至平面高若干

杜法孟

答曰二尺六 寸三分强

* 图略

法自上层一球与中 层三球四球心作六线成六等边形边与球径等以一边为弦半边为句求 得股为每一线之中垂线又以一边为弦中垂线三分之二 即分角线为句 求得股为六等边自尖至底中心之立垂线倍之加球径为垛顶至平面之 高

如图子丑辰卯己午 未寅酉申十球子为上层辰丑卯为中层己午未寅酉申为下层试自子辰 丑卯四球心作甲乙丙丁六边形棱六角四平铺之则面亦四 如壬辛各成一 等边三角形试以乙丙丁一面为底取乙丙一边为弦丁丙一边折半为句 求得乙戊股为底面之中垂线又以甲丙一边为弦己丙 中垂线三分之二 为句求得甲己股为自尖 至底中心之立垂线即六边行之高亦即上层球心至中层球心之高亦即 中层球心至层底球心之高故倍之加上下二半径得垛顶至平面之高

又法以倍球径为边 作六等边形如前法求得立垂线加球径即得如前图甲乙边倍则甲己立 垂线必倍故加球径即得

又法以每边自乘三 归二因开平方即得自尖至底中心之立垂线如前图戊丙为甲丙线之半 则戊丙方为甲丙方四分之一甲戊方必为甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊线 为甲戊线三分之一则己戊方为甲戊方九分之一甲 己方必为甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之 二故以每边自乘三归二因开平方得立垂线

今有官司依平 方招兵初日方边四尺以后每日递加二尺每人日给银一两二钱已支银二 万六千零四十两推招了几日已 招若干兵

黎子祥

答曰共招十 四日

招兵四 千九百五十六名

* 算式略

瓜豆同日发芽 生蔓瓜蔓初日长一尺六寸以后每日所长递减半豆蔓初日长一寸以后 每日所长递加半二蔓第几日相等

蔡锡勇

答曰五日

解曰此即连比例率 数瓜蔓初日所长为末率豆蔓初日所长为首率得若干率数即二蔓相等 日数以代数明之

* 算式略

于此可见未之指数 必比层数减一命层数于天则末率恒为● 即●准代数之理上式可变为 ●为首率一之对数等于　故以二之对数 一0三 除瓜蔓初日所长一尺六 寸之对数 四0二一 得四加一得五为相等日 数

有平句有明股 求圆径

长秀

* 算式略

有边股有平句 股较求圆径

廷铎

* 算式略

有底句有明股 求圆径

长秀

* 算式略

有底弦较和有 高句股较求圆径

辛泽贤

* 算式略

有断句股较有 大弦和和求圆径

联印

* 算式略

有明弦有底句 求圆径

斌衡

* 算式略

有明句有平弦 求圆径

巴克他讷

* 算式略

有平句股较有 弦求圆径

李逢春

* 算式略

有底弦和较有 句弦较求圆径

左庚

* 算式略

有断句股较有 句弦较求圆径

韩常泰

* 算式略

有断句股较有 明弦较较求圆径

王镇贤

* 算式略

有大差弦和较 有断句股较求圆径

任敬和

* 算式略

有断句股较有 大弦和和求圆径

王锺祥

* 算式略

有股弦较有 明句弦较求圆径

王镇贤

* 算式略

有虚句股和有 大中垂线求圆径

赓善

* 算式略

有容方边有 [ ] 句股较求圆径

王镇贤

* 算式略

有圆城甲出北 门东行二百步而立乙出南门直行回望见甲与城参相直复斜行至甲处 其行五百六十步求城径若干

廷俊

答曰二百四 十步

立天元一为半径倍 之即大弦和较甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内 减天元得甲[元]为 大股弦较二底弦明股和内减二底句得　为二明三事和即二大句弦较以 乘大股弦较得　寄左另以大弦和较自之得元　为同数与左相消得二　　开 方得半径倍之即全径

* 算式略

二明股弦较等 于虚弦和较试作图解

陈寿田

* 图略

如图甲乙丙明句股 卯丙午虚句股试自图心己至切点作己戊线癸午与午戊等丙乙与丙戊 等则丙午虚弦与丙乙午癸和等加卯丙午卯虚句股和得卯乙卯癸和为 虚和和与乙丑等试取丁点令甲丁等于明弦则乙丁为明股弦较夫甲 己与甲午等甲丁甲丙同为明弦以甲己减甲丁得丁己以甲午减甲丙得 丙午为虚弦依显丁己亦为虚弦复取己子令与丁己等则子丑亦为明股 弦较与乙丁必等丁子必为二虚弦以乙丑虚和和减之得乙丁子丑二 之虚弦和较亦即二明股弦较故二明股弦较等于虚弦和较也

虚句弦较等 于句股较试作图解

英铎

* 图略

如图子丑虚句丁戊 弦以子丑与丑戊句相加得子戊为平句以丁戊与地丁股相加得 地戊亦为平句试于子戊平句内减去丁戊弦余必等于地丁弦再于 地丁股内减 [ 丑 戊]句 余即为句股较也

大股内减边弦 等于平句股较试作图解

陈寿田

* 图略

如图戊为圆心甲乙 为大股作丁戊线与丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬为边句股甲丁为边 弦丙丁为平句丙戊平股与丙乙等则丁乙即平句股较以甲乙减甲丁得 丁乙即平较故大股减边弦等于平句股较也

大股内减平句 股较等于边股平句和试作图解

懿善

* 图略

如图甲乙丙大句股 甲己丁边句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己边股丁戊平股己乙等取己 庚如丙戊为平句己乙平股内减己庚平句即庚乙平句股较故甲乙大股 内减庚乙平句股较等于甲己边股加己庚平句

句股和内减 虚股弦较等于弦试作图解

承霖

* 图略

如图庚壬丙为半径 为股之平句股其弦则庚己虚弦己丙弦和其股则庚戊虚股戊壬股 和其股弦较必为虚股弦较股弦较和而丁辛乙辛同为半径则平股弦 较又等句依句股例和较小较相加为句则[虚]虚 股弦较必等弦和较句股和减弦和较 即虚小较故等 于弦

明股句相乘 等于虚句股积试言其理

王宗福

* 图略

如图甲子己大句股 外之丙天丁为虚句股今自圆心作甲己之垂线心地则丙地等丙辰 明句地丁等丁 戊 股天辰内减 天丙虚句余为半虚较和天戊内减天丁虚股余为半虚较较 缘天辰天戊均为半虚和和故 按较较乘较和等于二直 积则明句之半虚较和乘股之半虚较较必等于虚句股积惟明句乘 股原等于句乘明股故明股句相乘等于虚句股积

高股乘平句等 于明股弦和乘句弦和试作图解

胡玉麟

* 图略

如图甲乙丙大句股 乙丁容圆方自心至切点作戊己线正交甲丙则辛己戊为高句股戊己庚 为平句股 以半径为勾半径为股故 己癸等癸寅己子等子丑 则辛己高股为明句弦和己庚平句即为股弦和故明句弦和 高股与句弦 和比若明股弦和与股弦和 平句比

大差句乘小差 句等于虚句乘大股亦等于边股乘倍股试作图解

胡玉麟

* 图略

如图甲乙丙大句股 乙丁容圆方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圆 心至切点作甲丙正交线辛壬则戊壬辛为高句股辛壬癸为平句股 以半径为句半径为股故 壬癸等丙午壬丙即等 丙辰则戊丙底弦减壬丙底句余戊壬等甲庚庚乙原等戊辰则甲乙大股 即为底弦较和又壬己等己未子壬即等子卯作己申线与丙乙平行作子 酉线与丁丑平行则戊申等戊壬申辰即为底弦和较等申辰之己丑亦为 弦和较子酉癸亦为平句股辛未等丁未则未癸为平股弦较未酉即为 平弦和较等未酉之丁子亦为其弦和较夫寅丁全径原为二平股内减丁 子平弦和较则子寅大差句即平弦较和也故平弦较和 大差句与底弦 较和 大股比若平弦 和较 虚句与底弦和 较 小差股比

又壬子等子卯寅亥 等寅卯甲壬即等甲亥则壬癸即为边股弦较壬癸原等癸酉则酉亥即为 边弦和较等酉亥之子寅亦为其弦和较又壬己原等己未丑辰原等丑未 二壬丙即小差三事和内各减己丙小差弦 [ 余 ]二己 壬股即为小差弦和较故边弦和较 大差句与小差 弦和较 [ 二股 ]比若边股与 小差股比

弦和较乘弦和 和等于二直积试作图明其理

汪远焜

* 图略

如图甲乙丙句股形 以弦句为半径各作圆引长乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直线则成 甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股较 本形弦和较与 甲丙 [ 小 股] 本形句 之比若丙壬 丙己内减去等丙戊之己壬即得 大小二句股较和 本形二股与甲 丙丙己大小二股和 本形弦和和之 比故弦和较乘弦和和等于二直积

中垂线乘弦等 于圆径乘半和试作图明其理

贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形 甲壬句弦较癸丙股弦较壬癸为弦和较方 即圆径方依乙丁 中垂线平行作甲午丙己二线次依甲丙平行作戊己线联之则戊丙为中 垂线乘弦移甲乙戊于丙庚辛移丙乙己于甲庚辛戊丙中垂线乘弦必等 于辛乙句股直积除甲癸矩不动外移子癸股弦较乘弦和较于癸丑将 辛寅股弦较乘句弦较改为甲卯弦和较半方则卯丑圆径乘半和 辰丑弦和较即圆径 亦等于辛乙句股直积卯 丑与戊丙既各等句股直积则二矩宜无不等所以中垂线乘弦等于容圆 径乘半和

三事和乘边线 较等于圆径乘边线和试作图明其理

王锺祥

* 图略

如图甲乙丙句股形 乙丁中垂线乙己戊己均为方边自己作乙丁丁丙之垂线己庚己辛成乙 庚己戊辛己二句股形与本句股形同式均以方边为弦则二形必等夫庚 己等己辛亦等庚丁则乙庚己三事和即等于边线和而边线较即等其 弦和较故大三事和与小弦和较 即边线较相乘 等于小三事和 即边线和与大 弦和较 即圆径相未也

句乘弦较较等 于三事和乘股弦较试作图明其理

贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形 以弦为半径作丙戊己丁圆次从丙角作丙丁及丙戊二线成丁乙丙及丙 乙戊大小二同式句股形何则试引长丙乙作丙己线丙己正交丁戊各至 圆界戊己弧等于戊丙弧丁己弧等于丁丙弧小形丙角所当戊己弧与 大形丁角所当戊丙弧等小形戊角所当丁丙弧与大形丙角所当丁己弧 等余二乙角又俱直角所以同式大句 本形句与大句 股和 本形三事和之 比若小句 本形股弦较与 小句股和 本形弦较较之比

句弦和乘弦和 较等于弦较较乘股试作图明其理

贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形 丁乙为弦和较丁戊为其方戊丙为股弦较戊己为其倍乙己为弦较较甲 丁为句弦较甲己矩为弦较较乘股幂除甲戊矩不动外试将庚辛二股弦 较乘句弦较矩改为戊壬弦和较方次移辛己二股弦较乘弦和较矩补 于壬癸成 一甲癸幂其长即句弦和其阔即弦和较 与原积甲己幂必等

倍股乘股弦较 等于弦和较乘弦较较试作图明其理

杜法孟

* 图略

如图甲乙丙句股形 丙子为股弦较丙丁为其方丙戊为句丙己为其方戊子为弦和较戊庚丁 盘折形为弦和较乘弦较较丁辛壬盘折形为倍股乘股弦较二形之积等 试各加一丙丁正方则子辛壬为股弦较乘股弦和丙己为句方其积原 等今各减一丙丁正方其积仍等

句弦较乘倍股 弦和等于弦较和自乘试作图明其理

贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形 依弦作戊丙己半圆甲为圆心从形心作三分角线及三垂线复从丙作丙 戊线成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例

一率　小句股较　本 形句弦较

二率　倍小股　　本形弦较和

三率　大句股较　本形弦较和

四率　倍大股　　本形倍股弦和

前 题

李逢春

* 图略

如图甲乙丙为边句 股丁戊己为明句股甲庚己为大差句股戊辛为明句自乘壬癸与边句等 庚壬为明句乘边句之积倍之得丑壬为明句乘边句之倍积必与子辛大 差句自乘等何则因丑辛为同用之积所余子寅寅壬二积亦等因卯寅 为二明句乘虚句寅辰亦为二明句乘虚句卯丑为平弦和较方午壬为平 股弦较乘二平句弦较此二积又等故明句乘倍边句等于大差句自乘也 明句即句

前 题

王文秀

* 图略

如图甲乙丙句股形 以股为半径截弦于丁丁丙为股弦较与丙戊等乙戊为弦和较作己戊方 甲己为句弦较庚己为其倍自庚作直线切辛角而至丙 即弦和较为股弦较二句弦较之中率故必切辛角 成大小二同式形故庚己 小股 即二句弦较与庚 己辛小句股和 即弦较和之比 若庚乙大股 即弦较和与庚 乙丙大句股和 即股弦和之比

弦较边句即股 弦和大差句即弦较和股弦和乘倍句弦较等于弦较和自乘试作图明其 理

汪凤藻

* 图略

如图甲乙丙句股形 甲丙为股乙丁为股弦和乙戊为其方己丁为弦较和己庚方弦较和自乘 也己辛为倍句弦较辛壬长方股弦和乘倍句弦较也曷见己庚辛壬二形 积等乎曰除同用之己癸矩余丁癸 弦和较承弦较和 癸壬 句乘倍句弦较 二长方形试于丁癸形内作庚子方 弦和较自乘于 癸壬形内作癸丑矩 股弦较乘倍句弦较 为等积尚余子丁丑午二 形 同为弦和较乘倍句弦较 又相等即丁癸与癸壬等 矣次每加一己癸矩则己庚方不与辛壬长方等积乎

句弦较乘句弦 和再以句乘之与股乘倍句股积等试作图明其理

杜法孟

* 图略

如图庚己为句子辛 等庚辛为股己戊等己辛为直积即二句股积再以己戊股乘之得辛戊一 立方积子壬为句弦较乙丙等子乙为句弦和壬丙等子丙为句弦和乘句 弦较再以子辛句乘之得辛丙一长立方积与辛戊之积等盖子丙面积 为句弦较乘句弦和子戊面积为股自乘方其面积原等庚己子辛俱为句 其高度又等故二立方之积等

前 题

贵荣

* 图略

如图甲乙丙句股形 甲戊股幂乙丁句乘股直积 即倍句股积并 之得丁戊矩为句股和乘股幂 己丁边句股和 试截乙己大方股幂 即句弦较乘句弦和盖句弦较乘句弦和原等股幂 与乙丁小方倍句股积之 比若甲己大边股与甲丁小边句之比即股乘股与股乘句之比若股与句 比故句乘股幂 [ 即句弦较乘句弦和 ]等于股乘倍 句股积

句股形容长方 有句股较有长阔和有积较求句股及长阔

陈寿田

* 算式略

右开方得句股和加 句股较半之得股减句股较半之得句句股和句股较各自乘相减入归之 为句股积减积较得长方积四因之以减长阔和自乘开平方得长阔较与 长阔和相加半之为长与长阔和相减半之为阔

有直积一百二 十有句股二方较一百六十一求句股弦各若干

联秀

答曰句八股 十五弦十七

* 算式略

开方得八为 句自之加二方较开方得股十五用句股求弦法得弦十七

今有容方容圆 二径和一百三十尺二径较加中垂线九十四尺求边径线各若干

胡玉麟

答曰方边六 十尺圆径七十尺中垂线八十四尺

* 算式略

开方倍之得容圆径 七十尺于甲数内减之余六十尺为方边乙数内减二径较十尺余八十四 尺即中垂线

前 题

王宗福

答曰方边六 十尺圆径七十尺中垂线八十四尺

* 图略

如图甲己辛句股形 卯辰丁午均为 [ 圆 ](图) 径丙庚庚己均为方边己 丁为中垂线自庚作庚子庚癸二垂线成丙庚子己庚癸二同式句股形弦 既等则句股亦等而癸庚等庚子亦等癸丁即己癸庚句股和等中垂线又 自丑作丑寅垂线丑乙半径成乙丑寅句股形与本形同式即亦与丑己 戊同式己丑与丑乙同为半径既等则寅丑等戊己寅乙等戊丑移乙丑于 乙卯移寅卯于戊丁则乙丑寅三事和等于中垂线而乙丑寅弦和较等于 线径较以代数求之有等式

* 算式略

开方得边六十与和 相减余七十为圆径于九十四内减二径较十余八十四为中垂线

城根有河不知 其阔由城楼顶引绳至河之外岸绳长一百九十五尺楼高一百六十九尺 求河宽若干

廷俊

答曰九十七 尺强

* 算式略

有甲乙二物俱 不知价但云甲价之立方三倍等于乙价之平方而乙价之立方等于甲价 之平方八十一倍求甲乙价各若干

王文秀

答曰甲三乙 九

天地二元细草

立天元一为甲价立 地元一为乙价天元自之又以天元乘之又以三乘之得 ●乃以地元自之得●为同数 与左相消得●为今式置天元自之以 八十一乘之得●乃以地元自之又以 地元乘之得●为同数与左相消得 ●为云式以地元乘今式直减云式得 ●为右行与今式之左一行相乘得● 又以今式与右行之左一行相乘得● 二数相消得●为左行置左右 二行以内二行相乘得●相消得 ●外二行相乘得●相消得 ●

开四乘方得甲价 三乃以三自乘再乘又以三乘之得八十一以平方开之即得乙价九

今有甲乙二数 不知多少但知甲之三乘方根等于乙甲乙二数相乘倍之等于四倍乙之 自乘数求甲乙数各若干

赓善

答曰甲十六 乙二

* 算式略

今有人赎质物 本利共钱九千八百五十文只云利钱平方开之得数以加本钱共五千六 百九十文又开方数为日数一百二十五分之十三求本利及日数每十文 月利若干 每月三十日不用小建

王文灏

答曰本五千 六百二十五文利四千二百二十五文日数六百二十五日

* 算式略

今有人赌钱失 本四分之一复得 三两旋失三分之一又得 二两终于失七分之一仅剩十 二两求本银若干

王文灏

答曰二十两

* 算式略

今有富翁有银 九万分与四儿多寡不同但云大儿之银以二除之二儿之银减二千三儿 之银加二千四儿之银以二乘之则皆等求四儿银各若干

塔克什讷

答曰大儿四 万　二儿二万二千　三儿一万八千　四儿一万

* 算式略

今欲造正方台 三座甲台之边多于乙台边七尺乙台之边多于丙台边五尺定造砖见方 五寸共十二万一百八十四枚求三台各高若干

贵荣

答曰甲台高 二丈二尺　乙台高一丈五尺　丙台高一丈

* 算式略

开方得四四折半得 二丈二尺为甲台高减七尺得一丈五尺为乙台高又减五尺得一丈为丙 台高

大小月每十九 年循环共二百三十五计日六千九百四十求大小月各若干

熊方

答曰大月一 百二十五小月一百一十

法以二百三十五用 月小之二十九日乘之得六千八百一十五日以减六千九百四十余一百 二十五即大月数以大月数减二百三十五余一百一十即小月数更以一 百二十五用三十日乘之得三千七百五十以一百一十用二十九日乘 之得三千一百九十并之恰得六千九百四十合问

欲造一土台上 广二丈长三丈下广二丈三尺长三丈五尺高一丈八尺每日每人程工八 立尺用匠七十二人几日毕工

沈铎

答曰二十一 日又八分日之七

法以上长三丈倍之 得六丈加下长三丈五尺共九丈五尺以上广二丈乘之得一九0 0尺另倍下长得七丈加上长三丈共得十丈以下广二丈三尺乘 之得二三00尺以两数相并得四二0 0尺以一丈八尺乘之得七五六00尺 以六除之得一二六00为实以七十二 人乘每日每人程工八立尺得五七六为法除之得二十一日又八分日之 七

今有塔系石砖 木造成全高三分之一为石四分之一为砖六分之一为木但知瓦顶三丈 六求塔高若干

彦慧

答曰十四丈 四尺

* 算式略

法以三分之一展为 六分之二加六分之一得六分之三收为四分之二加四分之一得四分之 三为石砖木之高则瓦顶三丈六自必为四分之一以四倍三丈六得十四 丈四尺即塔高

今有长方营盘 南北一百八十丈东西一百二十丈四面濠沟与营盘同积求濠沟宽若 干

联芳

答曰三十丈

* 算式略

某火药局藏硝 炭磺不知各若干斤亦不知共若干斤但云于其共重之半加二千五百斤 为硝于其共重之四分之一减一千斤为炭于其共重十分之二减一千斤 为磺试推其共重若干斤