皇朝经世文三编

一千斤 为磺试推其共重若干斤

朱格仁

答曰一万斤

* 算式略

制球形炸径 一尺二寸厚三寸求需铁若干

李逢春

答曰五千三 百零三两三钱强

先求大球积

一率　定率立方积　　一000000 000

二率　定率球积　　　　五二三五九八七七五

三率　今有立方积　　　　　　　　一七二八

四率　今求大球积　　　　　　　　　九0四 又七七八六八三三0八

次求小球积

一率　定率立方积　　一000000 000

二率　定率球积　　　　五二三五九八七七五

三率　今有立方积　　　　　　　　　二二六

四率　今求小球积　　　　　　　　　一二三 又0八0三 三五四00

既得大小二球相减 余七九一六九一三四七九00以方寸 铁重六两 七钱乘之得五千三百零三两 三钱强即所求

今有马二匹鞍 一副值银二十两加于此马则与彼马价等加于彼马则与此马价相倍求 马价各若干

贵荣

答曰此马价 值四十两　彼马价值六十两

* 算式略

有某问渔者得 鱼若干对曰以鱼数自乘加十三开平方以十二乘之以四减之其数为八 十试推鱼数

辛泽贤

答曰六鱼

* 算式略

今有钱不知数 欲匀分于若干人每人十二文多十二文每人十四文少十四文求人数钱 数各若干

博勒洪武

答曰人数十 三钱数一百六十八法以天代钱数以地代人数得方程式

* 算式略

今有卖柑者云 我果共值钱一万六千四百六十四文每果值钱倍于筐数每筐盛果三倍 于筐数求筐果各若干

王镇贤

答曰筐十四 只果五百八十八枚

* 算式略

设一达官有侍 姬八人每日令二人待饮周而复始每周不得二人两次同班求钱日一周 每人每周值班几日

博勒洪武

答曰一周二 十八日每人每周值班七日

法以八减去一得七 为高以八乘之得五十六折半得二十八即一周日数再题言每周不得二 人两次同班则八减一得七即每周每人值班日数

有船载男妇小 儿九十人男较妇多四小儿较男妇多十求各数若干

联第

答曰男二十 二名妇十八名小儿五十名

法以男妇小儿九十 名内减十小儿余八十折半得四十内减四男余三十六折半得十八即妇 人共数加四男得二十二即男人共数男妇二数相并得四十再加十小儿 得五十即小儿共数

今有桃梅李三 果只云三桃比二梅二李价多二十四文二桃三李比五梅价少十二文四 桃三梅比八李价多一百零八文求三果价各若干

时南化

答曰桃价四 十八文梅价三十六文李价二十四文

* 算式略

问乡人种地若 干曰若以亩数加四开平方复加原数得二十六求原数若干

庆全

答曰二十一

* 算式略

试将甲乙二数 之和与甲乙二数之较以代数自乘

长秀

* 算式略

今有绍酒三 高梁酒四共银二十 六两绍酒四高梁酒三共银二十 七两又十二分两之一求二酒每银若 干

联兴

答曰绍酒每 四两又三分两之一高梁酒每三两又四分两之一

* 算式略

有甲乙二人各 买油五斤合盛一大瓶内回家欲分之既无秤又无量只有二小瓶一七斤 而满一三斤而满用以量而分之其法若何

王锺祥

法先以大瓶之油用 三斤瓶灌出二瓶俱倾入七斤瓶内次复用三斤瓶从大瓶灌出一瓶即以 三斤瓶内之油将七斤之瓶续满则三斤瓶内必余二斤乃以七斤仍还入 大瓶以三斤瓶内所余之二斤倾入七斤一瓶内 [ 末 ]以大 瓶内所余八斤之油再以三斤之瓶灌出一瓶亦倾入七斤瓶内则七斤瓶 内合前所余之二斤为五斤大瓶内亦余五 [ 斤 ]

今有将军以实 体方形摆队或问每队兵数曰若于二十五万内减全营兵数余开方复以 一队兵数乘之为十二万求每队兵数若干

杨兆鋆

答曰三百

* 算式略

有句三股四句 股欲于股上取一点悬之令弦平于地平其法若何

席淦

* 图略

如图先求句股积之 重心甲自甲作弦正交线丙乙悬于丙即弦合地平求丙戊线法以戊丁戊 己方倍之相并减丁己方四除之开方得戊庚四二七自庚作庚辛垂线求 得戊辛大分边四一戊庚与辛戊若戊甲与乙戊二七三又丁戊与己戊 若乙戊与丙戊三四一

前 题

杨兆鋆

* 图略

如图甲乙丙句股形 取甲乙句三分之一于丁乙丙股三分之一于戊各作线己丁庚戊交点心 即句股面重心因庚戊过心点正交乙丙己丁过心点正交甲乙故取庚己 二点悬之股与句必皆平于地平又因丁己为句三分之一乙戊为股三 分之一故己丙甲庚必均为弦三分之一

卷八　学术八测算中

傅法椭圆地图说

傅云龙

欲图全地密合罔有或差难矣不免无差未始无合尺短寸长可偏废哉墨加祷法而外平分差多初学易为寻常图亦便之弦线胜平分而近边狭切线又善于弦线差较少也云龙以为地既实测为椭圜详地椭圜说 何图必圜为与其不合于体而仍未免于差何若刱椭圜图法亦未必遽免于差而先已粗合于体虽地非正椭而远视大体较圜图已觉近是不然地如玑如卵如肺叶如橘皮而图学家大率图圜何欤椭圜亦非意度也据谈天曰其南北短径约三百分赤道径之一是书术自李善兰测算家皆以为是繇近是以求皆是后必有因精于者凡法类然独椭圜地图云尔哉此法图面可正可平而不可偏辄依切线例改图为正面有不以为非者曰盍目傅法椭圜图也遂据入说虽然其椎轮也

地椭圆说

傅云龙

地体椭圜椭详释椭论定如山厥说有本匪自西域始矣或犹执管子之大方吕氏春秋之大矩以问难云龙辄辞焉以答曰旧说地方非以体言易曰地德方吕氏春秋曰地道方万物殊形皆有分职不能相为故曰方淮南子曰地道曰方白虎通曰地谛也其道曰方鹖冠子曰方者地之理也然则理也德也道也皆非体之谓不然周髀家既言天象盖笠象一作似地法覆盘盘宋志作盆而又言天圆如张盖地方如棋局又见晋志何与棋局喻开方之道覆盘则喻地圆之体或且疑儒家罕言之盍籀大戴礼记乎单居离问于曾子天圆而地方诚有之乎曾子曰天之所生上首地之所生下首上首之谓圆下首之谓方如诚天圆而地方鲍本御览二引如诚云始识则是四角之不揜也参尝闻之夫子曰天道曰圆地道曰方注道曰方圆非形也方曰幽而圆曰明然则地圜之说孔圣发之而孔门述之如读者未之深思何周髀算经曰极下者其地高人所居六万里滂四隤而下接四隤即无四角谊也上而溯之虞书璇玑玉衡马注玑浑天仪可转旋御览二引风土记璇衡即今浑仪古者以玉为之又上而溯之内经黄帝曰地之为下否乎岐伯曰地为人之下大虚之中也考容成作盖天黄帝臣在颛顼作浑天前图浑于平盖天之理不异浑天扬雄蔡邕难之非也周髀即盖天说独怪太史公世掌天官两仪亦一无阐明何论班志又何论司马彪采马续说以续汉志也晋志虽鲜实测所引未尝无是浑天仪云天如鸡子地如鸡中黄孤居天内天大地小半覆地上半绕地下二十八宿半见半隐黄帝书云天在地外吴中常侍卢江王蕃制浑仪立论考度曰前儒说天地之体状如鸟卵天包地外犹壳之裹黄其形浑浑然二端北极出地三十六度南极入地三十六度绕北极径七十二度常见谓之上规绕南极七十二度常隐谓之下规陆续造浑象如鸟卵此皆近是者也天可言无葛洪讥非当讥转许知言是不信为是所繇非者未断为非也齐书张融传所谓分浑始地亦似有见隋宋志半沿晋志之说而明志胜其言地圜与元史西域扎马鲁丁地圜说略同按元西域扎马鲁丁造西域遗像所谓北来亦阿儿子汉言地里志也制以木为圆球七分水其色绿二分土其色白画小方井计幅员广袤道里远近亦地圆不始西说一证也惜言圜未言椭圜也欲知椭圜之所以然先言地圜之易见其然登高视地必有圜界一也地以人立处为高二也海岸视舟渐远桅亦渐隐三也地自转动无疑凡物自转必圜四也试繇中国东航而太平洋而北阿美利加洲而南阿美利加洲而大西洋而亚非利加洲而印度洋仍回中国是为环游一周西航亦如之五也月小于地地小于日地隔日光而地影见月食处辄圜六也日轮周圜而向地平向日为午背日为子东三十度得未西三十度得巳七也地非圜则南北无差何以近赤道昼夜渐平北极之下半年昼半年夜如周髀所云乎八也非圜则日一出而四方皆曙何以此日中彼半夜如周髀所云乎九也就地见圜既如彼说日月见地圜又如此苟求其故不待知者而知矣曷又言乎椭圜其理阐微于重学其度实测于天学重学家谓地圜环转有离心力亦曰离中力南北必扁于东西譬以泥球贯木轴持转不停两端轴处渐缩当转缩时视之有椭圜说理有必至地何独不然耶天学家析言曰算曰测浑言曰天算谓地如正圜而用径一周三二四一五九六二五之率测算辄差于是就精测而密算之地非正圜且非正椭盖当赤道形亦略椭也犹言正扁椭圜其长径东西四千一百二十五万八千五百五十三尺一度二百里是秒得千五百尺一其短径南北四千一百二十四万八千九百二十四尺长径约大于短径五里有而东西长径南北短径之说中国古亦有之见河图括地象御览三十六引曰八极之广东西二亿三千里南北二亿一千五百里淮南子东西二万八千里南北二万六千里注经短纬长物理论御览三十六引曰地天之根本也形西北高而东南下东西长而南北短其所以尽四海者也后汉天文志注八极之维径二亿三万二千三百里南北短减千[里](四)东西则广增千里 特古疏今密不无异同即西人实测之法亦后出者胜然大要不外乎此庶无疑大方大矩之为地形乎

地动说

傅云龙

说地主动非自西始虽诸子亦能道之如列子曰运转亡已天地密移畴觉之哉庄子曰天其运乎又地其处乎日月其争于所乎孰主张是孰纲维是孰居无事推而行之是意者其有机缄而不得已邪意者其运转而不能自止邪尸子曰地右辟而起昴毕鹖冠子曰地循理以作进而证之春秋元命苞曰御览三十六引地所以右转者气浊精少含阴而起迟故转迎天佐其道又曰阴右动注动而东也由西转东之西说基此矣尚书考灵曜曰御览三十六引地有四游冬至地上北而西三万里夏至地下南而东复三万里春秋分则其中矣地恒动不止人不知譬如人在大舟中闭牖而坐舟行不觉也张华博物志亦引之岸动舟不觉动之西说又拓此矣或疑违经请与言易坤至静以德言也不然何言静又言动与承天时行之恉即万世中外地学之宗也动而有定者二一为转不变向一为南北之极不变方位近中国为北极远为南极而从古至今之纬度罔有一变所谓得主有常非与西说天算学之法实本动重学之理何以言之谓地盖厚岂无尽界否则日月奚由出入乎界尽则浮空中不难于动而难于不动一也凡物等重必变如地不动赤道陆必消蚀成正[圜](图)非椭圜矣椭圜由动二也凡重物动有离心力生摄力恒向地心一名地心力亦名向心力有直加有递加非几何学难辅重学而离心力由地动而生居向心力二百八十九分之一三也陆居四之一而水居四之三地动何以不泄亦犹盛水之器绳悬而转其四边水起欲离不能有重力阻之四也欲明地动而人不颠之理亦有重学五也地亦一行星六也天动地不动之旧说按之[日](可)月行星其理不符七也而地动有二一为一日自转一周一为环日一年一周又何以言之既自转一周凡二十七日六小时二刻六分又一周天凡三百六十五日四分日之一非地日一转何以朝见日东夕见日西也赤道北恒北风南恒南风谓之恒风非地日一转何以北辄东北风南辄东南风而赤道气至地面北辄西南风南辄西北风也指一星于地平若干度非地日一转何以明日复然也知斯三证所谓尖锥动者夫奚疑曷言地环日一年一周也其道若椭圆其行自西而东一日而时异一年而日月又异地背日半面为夜向日半面为昼昼夜平分则春秋分时也中国居赤道北当赤道北向日时中国渐燠北暑南寒而赤道南向日时中国渐寒南暑北寒 若春若秋地斜向日然则四时非地动无以成也譬之二丸环行天空必绕重心日大于地百三十八万四千四百七十二倍地绕重心即绕日也凡物行之迟速与加力之大小为算学平环率而绕行之道辄为椭圆日力吸地视此地小于日故速于日而日转若不动李善兰叙谈天曰证以距日立方与周时平方之比例及恒星之光行差地道半径视差而地之绕日益信证以彗星轨道双星相绕多合椭圆而地与日之行椭圆益信善兰算学西人所自叹弗如者也其主地动之说如此而或疑何与云龙惜其疑不释则天算几何动重学请书皆不克籀欲述诸学释例而未遑也辄举浅近大要而撮经籍说以导之

天空说

傅云龙

谓天盖空难者曰晋天文志天转如磨日月东行而天牵之以西岂无据乎会者辄谓天载星转此与恒星环绕之象似亦近是而实测以日月及诸行星之理则大不然盖无不有岁差章动差也是以天算家有地转之定论即可无疑于天空之定论古非无言天空者而知言则鲜即如晋隋志曰宣夜唯汉秘书郎郗萌记师傅云天了无质日月众星自然浮生虚空之中其行须气咸康中虞喜作安天论光曜布列各自运行葛洪讥之曰苟辰宿不丽于天天可言无稚川可谓知言之道选就[是]言而论虞未为非也而葛不以为是葛未为是也而晋隋志不以为非千百年来无论定者请仍证之旧说内经岐伯曰地太虚之中也按太虚犹言太空也列子天积气耳无处无气若屈伸呼吸庄子天门者无有也鹖冠子天者神也地者形也类此可为宣夜家之说之证或问天气有尽界乎曰难言也量地面气居海面气重八之一离地渐高渐清而轻以风雨表测之高千尺气轻三十之一高万有六百尺轻三之一高万八千尺轻二之一万八千尺约华里十愈轻愈薄高如地径百之一约华里二百有奇已薄极不克生物作气无论可而较云厚十之八云最高不过二十九里所谓蒙气者即气之变[化](光) 生差也知蒙气层出不同而天空说益信

七政高下说

傅云龙

问日月五星行天而有高下说始西乎曰否楚辞天问圆则九重后汉崔骃传九干注谓天有九重晋陶侃传天门九重与广雅九天同按汉扬雄传注九闳九天之门汉礼乐志九闳似与九重异 闻之月在日蔽最上于地最远何以月与五星皆能掩之下月之上距地各有远近何以五星互掩也下日而食步日食者有里差而非恒星食恒星也而非月最下何以能掩五食星也而非五日大于月月小于恒星而视日月大于恒星非以高下分远近欤地者月也渐远之星由水而金而日而火而木而土而恒星

地图经纬说

傅云龙

说文经织从丝也从字据御览引以补说文今本之阙纬织横丝也此从横本谊释名南北为经东西为纬证之周礼天官冢宰疏南北之道谓之经东西之道谓之纬龟人注疏南北为经东西为纬考工记匠人九经九纬疏南北之道为经东西之道为纬大戴记家语南北为经东西为纬[吕览淮南](吕南览淮)高注子午为经癸酉为纬周髀算经注南北为经东西为纬　太元注汉五行志集注晋灼后汉班彪传注楚辞注文选东京赋注皆同杨子经则有南有北纬则有东有西均同今中外图法适符古谊天道潜北而见南故地图亦上北而下南下之者向之地即张衡蔡邕王番诸说北高南下意也自东横西曰纬线以赤道为根赤道北曰北纬线南可类推南曰南纬线此有定者也经线自北直南中国图当以京城观象台为主外国亦自起其都东曰东经线西曰西经线如以左右言则右东左西此无定者也而或疑无定为有定此云龙所以不能已于说也赤道经线亦曰中午线亦曰赤径南北各二十三度二十有八分曰黄道温寒渐得厥平近日度也又南北各四十三度四分曰黑道去日度远是为南北冰海所谓黄道赤道黑道者见周礼冯相氏洪范正义后汉志晋志唐天文志而经线两端南北极也亦曰极径自赤道直北二十三度有半俗名北带亦谓昼短圈又谓夏至圈南亦如之俗名南带亦谓昼长圈又谓冬至圈以地面言昼长昼短二圈时有变更自北极直南二十三度有半俗名北圆线南极直北亦如之俗名南圆线此二圈亦称二寒界圈又名黄极圈凡言二十三度半者细数二十三度二十七分二十秒也五道云者南带至北带曰热道当赤道日度故也北带至北[圆](圈)线曰北温道南带至南圆线曰南温道近赤道日度故也南圆线至南极曰南寒道北圆线至北极曰北寒道赤道日度故也旧说寒温以南北分非耶是耶凡地图经纬十度为一线线之从横南北自赤道计东西自经线根计中国以京为根地面半图为三百六十度之半以二百里计度是为三万六千里赤道大周七万二千里 其经纬线各十有九而东西面经纬线则各三十有六

测学何所凭借考

杨毓辉

今夫一事也始而惊为神奇既而或见为庸腐非事之始终异致也盖有超乎其上者则其事遂以数见不鲜矣一物也始而夸为精妙继而或视为平常非物之先后不同也盖有轶乎其前者则其物遂以相形见绌矣天下事物之消长大抵如斯也即如古设律度量衡本为测算计也测算之理虽奥测算之事虽繁约而计之则有四一曰点点如针芒无阔狭亦无短长假如测日月行度祗视其中心一点此点所到即为躔离真度也一曰线线有弧直二种假如测日月相距度皆自太阳心算至太阴心是为弧线假如测日月离人远近皆自人目中一点算至太阳太阴天是为直线一曰面面之形有方圆无厚薄之分而有狭阔短长之别故谓之幕幕也者所以冒物如量田亩界域只论其土面之大小而不论其浅深是也一曰体体有阔狭有长短有厚薄其形式又有方有圆圆体如柱如球方体如如柜以上四者其所以测算亦精矣故当时之律度量衡胥夸为测算要器谓其可以纤微毕悉可以毫发无遗初不意有驾而上之者也乃未几而声学出矣考西人之言声谓传声俱赖空气无空气则不能传若空气中和之候一秒内有九十六丈可通其声之大小无殊惟大者能及远耳且空气之传动实与浪因风激相同故谓之声浪声浪之行速其谓每秒一千零九十尺者以空气冷至冰度而言也若热至二度半则每秒行速一千零九十一尺热至八度半则每秒行速一千一百零九尺热至十二度则每秒行速一千一百十三尺热至二十六度六则每秒行速一千一百四十尺其测算之精微如此实非寻常之器所能同也此所以声学出而律度量衡之用几微也未几而热学出矣西人之言热即谓天下无无热之物不论物之冷有多少内面有热气即传之于外面此端有热气即射之于彼端而且各物之面俱能回热各物相近亦能吸热其理极奥极精又谓水之化气惟热气为根又谓欲考物容热度之率必先明其功效功效同则热气多少亦恒等用能如法测度纤细靡遗此所以热学出而律度量衡之用又寡也至于光学之出也为时已久而近时则益精昔人皆谓人所见之光自目中而至目外有精于光学者穷究研索始知由目外而至目中其中奥妙难以缕述且光之类亦不一凡物发光而至他物必有回射之光则曰回光亦曰射光光线射至物上或改其原方向有似折形则曰折光透出物回则曰透光传于别物则曰传光至若光线由小孔而透光发顺直线而行以及光发之性情光行之速率皆可测算不爽毫厘此所以光学出而律度量衡之用更鲜也至于电学之出也实自擦磨琥珀始厥后愈考愈精始知电有自然者有造成者其自然者止一种为空中云二片相激而成者其造成者有二种一干一湿干电用干燥之物磨擦而出湿电用湿瓶水注和阴阳用二金制成制成又分正负如将锌与铂各一片入酸水内则其水外二端之电气即有相反之性铂端显正电锌端显负电再将二片联以金类丝则正电在丝上向负电而行负电在丝上向正电而行其理亦甚微奥至若电无论远近瞬息可通不尤神乎其神哉此所以电学出而律度量衡之用又绌也是故犹是律度也犹是量衡也而向也皆惊为神奇者至是皆见为庸腐矣向也皆诱为精妙者至是皆视为平庸矣盖其用几穷矣

且夫西人之于声学热学光学电学皆有实用即西人之于测音测热测光测电非托空谈也其所以知大小多寡者夫岂无所凭借哉夫果何所凭借哉则请详言其法一论测音之法也测音与测光略同盖光有透光音亦有透音也光有回光音亦有回音也其测透音之法如后第一图取炭气盛于极薄之象皮球内悬于架上如乙其旁又悬一表如物则所发之声浪遇气球即行透过而折聚一点与光相同又以漏斗一只置于球之对面如已相去约数尺许以其管对人耳左右远近渐移以试之其声最大之处即为聚声点漏斗若不对聚声点即不闻其声取去气球虽有声而甚小可见甚小之声其聚声点之声亦甚大也以此法[测]他物亦不能爽毫厘其测回音之法如后第二图用椭圆凹回光镜二面其一覆悬于屋顶如寅其一仰置于棹上如卯相距二丈五尺许若挂一表于光点如物则他处不闻其声惟在甲点其声甚清与执在手者同听其声非自上而下实自下而上而其回音之大小不难一而知也以此测他物亦能不爽毫厘若夫测声浪之行速也亦精其法虽多而最灵极者则莫如用炮尝有人用巨炮一具置于三千二百七十尺以外而从三千二百七十尺以内听之则燃放之后即见其光惟历三秒许始能闻其声因测知声之传行每秒约为一千零九十尺以此类推他皆可知如见电光后停几秒而闻雷声即知发雷之处相距几何远也若夫测金类之传声也亦易