历算全书

之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也

又

问平仪经纬之度近心濶而近邉狭何也曰浑员之形从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而见大四周逺目而见小此视法一理也又中心之经纬度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垜垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而齐故正之数以生八线由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天之外巳

取角度

又法

设如巳戊丙庚员有子

辛距等纬线有所分丁

辛小纬线求其所载经

度以命所求之角【丙角】本法取距等半径【辛午】作

子酉辛半员从丁作酉

丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度

今用防法径于丁防作女丁壬线与巳甲径平行再用距等半径【午辛】为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度【即丙角也】

解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣

又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁防所在以作丙丁弧

法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲心作癸甲线【半径】　次以距等之半径辛午为度从甲心作半员截癸甲【半径】于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁即得丁防

用规尺法

设如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角

如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数

所设丁辛五十度竒至丁乃自

丁作径线过已心又依所设丁

乙六十度自丁左数至娄右数

至丙皆六十度作丙娄线为距

等圈之径又自辛依所设辛乙

八十度至房亦左至壬作房壬

距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线则三角形宛然在目今以量法求辛角

法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角之余寅已

法以比例尺正线用规器取图中房甲之度于半径九十度定尺再取乙甲度于本线求正等度得角之余度乃以所得余度转减象限命为辛角之度

依法得余三十一度弱即得辛角为五十九度强又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙癸正与已辛平行如前以房甲度于正九十度定尺再以乙癸度取正度命为辛角度

又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更防论曰既以房甲为半径则乙癸即正乙甲即余房癸即分员皆距等圏上比例也其取角度与分半周度而数房癸之度并同然量法较防

又求丁钝角

法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当角之正则乙危当余

乃取距等半径丙危度于正线九十度定尺再取乙危度求得正线等度命为钝角之余以所得加九十度为丁钝角度

依法得余十二度太即得丁钝角一百○二度太或取丑乙线求正线上度命为钝角之正以所得减半周度余为丁钝角度【两法互用相考更确】

又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定尺而求娄丑分员之度分为丁钝角【亦可与正法叅考】

论曰兼用两法分员线一法以相考理明数确然比半周度之工尚为省力是故量防于算而尺更防矣若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员线亦有两法合之正成四法矣

又论曰此条三邉求角前条有二邉一角求弧可互明也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也

三极通几

平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是有相交相割而成角度角之鋭端即两线相交之防任指一防而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后以黄道经纬求赤道经纬　已辰庚斜弧三角形

巳丁乙丙为极至交圈

巳为北极　丙甲丁为赤

道　庚为黄极　壬甲寅

为黄道　星在辰　辰庚

为黄极距星之纬　辰庚

酉角为黄道经度　今求赤道经纬　法自辰作黄道距等纬圈【酉辛】又自辰作赤道距等纬圈【戊午】即知此星【辰】在赤道之北其距纬戊丙【或午丁】　次以赤道距等半径戊夘为度夘为心作午未戊半员又作未辰直线与已甲平行则未戊弧即为赤道经度【即戊巳辰角】

若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同

以赤道经纬求地平经纬

巳子戊三角形【三角皆鋭】

戊壬庚辛为子午规　壬

辛为地平　戊为天顶

巳为北极　丁丙为赤道

星在子　子巳为星距

北极　巳角为星距午规

经度【即纬圈上丑子之距】　求地平

上经纬　法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛【或壬寅】　次作寅酉亥半员【以亥寅半线亥午为度午为心】又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是为地平上之经度【按此图为星在夘酉线之北数酉辰若干度即知其星距夘酉线若干度也】　若先得地平上经纬【髙度为纬方位为经】而求赤道经纬【星距赤道为纬距午线时刻为经】其理亦同

以两纬度求经度

巳子戊斜弧三角形

假如北极髙三十度【巳辛髙】戊寅壬为午规　太阳

在子距赤道北十度【其距丑丁

或卯丙纬度】　子丑为太阳距

午线加时经度【即子巳丑角】寅壬为太阳髙度【即亥辛】

求大阳所在之方　法以太阳髙度【亥辛或寅壬】作亥寅地平髙度纬线又以太阳距赤道纬【丑丁卯丙】作丑卯赤道北纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅半员【分百八十度】又自子作酉子直线与戊甲平行截半员于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度【即子戊寅外角】　若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊角

求北极出地简法【可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用】不拘何日何时刻但有地平真髙度及真方位即可得之

法曰先以所测髙度及方

位如法作图取作平仪上

太阳所在之防【即地平经纬交处】次查本日太阳在之道南

北纬度用作半径于仪心

作一小员末自太阳所在

防作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通也乃平分通作十字全径过仪心即两极之轴数其度得出地度

假如测得太阳在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地极髙但知本日太阳赤纬十九度今求北极度

如法作图安太阳于辰【详下文】　先作丙丁线为地平髙度次用法自正东卯数正度至辰得近南三度为地平经度【或以丙卯为半径作半规取直应度分亦同】次依本日太阳赤纬十九度【以员半径取庚甲十九度正】为小员半径作子庚小员末自太阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员径线已午则已即北极【数己丑之度为极出地度】依法求得本地极髙四十度

论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经度始无错误

厯算全书卷九

钦定四库全书

厯算全书卷十

宣城梅文鼎撰

环中黍尺卷三之四

初数次数法【加减代乗除之法从初数次数而生故先论之】

【上卷之法用角旁两正相乗今则兼用两余故别之为初数次数其法有二其一次数与对弧余相加其一相减也相加又有二一鋭角一钝角也相减有四或余内减次数或次数内减余而又各分锐角钝角也】

约法　三边求角

角求对边

余次数相加例【锐角法钝角法各一】

丁乙丙形　有三边求乙锐角　角旁大弧丁巳【正辛戊余巳戊】小弧丙乙【正丙癸余巳癸】两正相乗全数除之成初得数戊庚又以两余相乗全数除之成次得数戊丑【即卯巳】乃以次得数卯巳加对弧之余已戌成卯戌【即申戊】

一　初得数　　戊庚

二　【次得数与对弧余相并】申戊

三　半径　　　亥已

四　角之余　已干

【以余检表得乙锐角之度】

若先有角求对边则反之

一　半径　　　亥巳

二　角之余　巳干

三　初得数　　戊庚

四　【次得数与对弧余相并】申戊【以次得数戊丑减之得对弧余丑申即巳戌】

论曰辛戊正与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也而辛戊与丁戊小又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若亥巳与干巳

若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周之余甲丙者乙丙半周之余其所用正并同又同用丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以干已为余故也

右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为锐角

仍用前图取丁甲寅三角形　有三边求甲钝角　角两旁弧同类　对角边大为寅丁其正酉戌余戌已　旁弧丁甲其正辛戊余已戊　又旁弧寅甲其正寅壬余壬已　初得数戊庚【半径除两正矩】　次得数卯巳【半径除两余矩】

所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊为三率所得四率干已亦为甲角之余【末以余检表得度以减半周余为甲钝角之度】

若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二甲角余干已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去减得数甲戊余丑申为对弧余

论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半周之正余度同用酉戌为正戌已为余角旁弧丁甲即乙丁半周之余度同用辛戊为正戊已为余甲寅弧又与乙丙弧等度其正壬寅同癸丙余壬巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又同类故为钝角

若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在角旁者寅乙为寅甲半周之余丁乙为丁甲半周之余所用之正余并同故也甲角同乙角皆以干已余度转减半周为其度

右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加而为钝角

正余交变例

若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正余之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正即过弧之余也

若两弧内一用余度则其初数次数皆为正乘余半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正变为余弧之余而其又一弧仍系本度则正不变然则先所用两正相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数仿此

试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛过弧之余也又亥辛之余辛戊即过弧乙辛之正也然则先以辛戊正乗丙癸正者今不变为辛戊余乘丙癸正乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论【按此法即测星时第二法所用】

若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余相乘次数变为两正相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变

试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正皆变余【丙癸为丙亥弧余辛戊为辛亥弧余】癸已戊已两余皆变正【癸已为丙亥弧正戊巳为辛亥弧正】然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论

总例

凡弧度与半周相减之余则所用之正同余亦同

凡弧度与象限相减之余则所用之正变余余变正

余内减次数例【钝角法锐角法各一】

丁乙丙弧三角形有三边

求乙钝角　丙乙小弧其

正丙辰余辰巳　丁

乙大弧其正癸甲余

甲已　是为角旁之两弧

不同类　癸干初得数【两正】

【乗半径除之数】　午已次得数【两余乗半径除之数】　丁丙对边大其正壬卯余卯已　对边大于象限而角旁弧不同类宜相减　对弧余大于次数法当于余卯巳内减去次得数午已余午卯【即艮丁】为二率

一　初得数　癸干

二　【次得数减余】　艮丁

三　半径　　辛已

四　角余　寅已

对边大角旁弧异类而次数小减对弧余其角为钝宜以四率寅已捡余表得度以减半周度其余即为乙钝角之度【即寅酉大矢之度】

若先有乙钝角求对弧则反用其率

一　半径　　辛巳

二　角余　寅已

三　初得数　癸干

四　【次得数减余】　艮丁

既得艮丁乃以次数加之成卯已余检表得度以减半周得丁丙对边之度

凡过弧与其减半周之余度同用一余故以余检表得度以减半周即得过弧

仍用前图取锐角

丁戊庚三角形【系锐角○此形有三锐角】有三边求戊角　戊庚小边其正庚丑余丑巳　丁戊次小边其正癸甲余甲巳　是为角旁弧同类　初得数癸干【半径除两正矩】　次得数午已【半径除两余矩】　丁庚对边小其正壬卯余卯巳　对边小于象限而角旁弧同类宜相减次数午已小于对弧余卯已以午已去减卯已余

卯午【即艮丁】

一　初得数　癸干

二　【次得数减余】　艮丁

三　半径　　辛已

四　角余　寅已

对边小角旁弧同类而次数小去减余其角为锐宜以四率寅已检余表得戊锐角之度

若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度

一　半径　　辛巳

二　角余　寅已

三　初得数　癸干

四　【次得数减余】　艮丁

以所得艮丁加次数午已检余表得丁庚对边之度因锐角角旁弧同类次数小于余得数后宜加次数为对边余

论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁乙减半周之余戊庚等乙丙此两弧所用之正余并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减半周之余则所用余边又同加减安得不同

次数内转减余例【锐角法钝角法各一】

丁乙丙形三边求乙角【系锐角】　丙乙小边正辰丙余辰已　丁乙大边正癸甲余甲已　是为角旁之两边不同类　初得数甲干【半径除两正矩】　次得数午

已【半径除两余矩】　丁丙对边

大正壬卯余卯已

对边大而角旁弧不同类

宜相减　次数午已大于

对弧余卯已法当于午

己内减卯巳余午卯【即甲艮】

为二率

一　初得数　　甲干

二　【余减次数之余】　甲艮

三　半径　　　辛巳

四　角余　　寅已

对边大角旁弧异类而次数大受对弧余之减其角为锐宜以四率寅已检余表得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求对边丁丙则反用其率

一　半径　　　辛巳

二　角余　　寅己

三　初得数　　甲干

四　【余减次数之余】　甲艮

末以所得甲艮转减次数午已得对弧余卯巳检表得度以减半周为对弧丁丙度

前图取钝角

丁戊庚形三边求戊角【系锐角】　戊庚小边正丑庚余丑巳　丁戊次小边正癸甲余甲巳　是为角旁两弧同类　初数甲干【半径除两正矩】　次数午已【半径除两余矩】　丁庚对边小正壬卯余卯巳　对边小而角旁两弧同类宜相减　次数午巳大于对边余卯巳当于午巳内减卯已余午卯【即甲艮】

一　初得数　　甲干

二　【余减次数之余】　甲艮

三　半径　　　辛巳

四　角余　　寅已

对边小角旁弧同类而次数大内减去余其角为钝宜以四率寅巳检余表得度以减半周得戊钝角之度

若先有戊钝角而求对边丁庚则反用其率

一　半径　　　辛已

二　角余　　寅巳

三　初得数　　甲干

四　【余减次数之余】　甲艮

末以所得甲艮转减次数午巳得对弧余卯已检表得对弧丁庚之度

一系　半浑员面所成斜三角形左右皆相对如左锐角者右必钝也对边左小者右必大也角旁之边左为同类者右必异类也【角旁两弧一居员周一居圆面此员面弧线左右所同用也而员周之弧左右有大小故同于左者不同于右】

加减法【以代乗除】

初数次数并以乘除而得今以总弧存弧之余相加减而半之即与乗除之所得脗合法简而妙而甲数乙数之用亦从此生矣

总法曰凡两弧相并为总弧相减为存弧【存弧一曰较弧】总弧存弧各取其余以相加减成初数次数　法曰视总弧过弧限则总存两余相加总弧不过象限则相减皆折半为初数【即原设两弧之正相乗半径除之之数】以初数转减存弧余即为次数【即原设两弧之余相乗半径除之之数】又法【总弧过象限两余相减不过象限则相加并折半为次数】又法【初数以相加成者以总弧余减初数以相减成者以总弧余加并加减初数为次数亦同】

又取总弧存弧之正相加减成甲数乙数　法曰以总存两正相加折半为甲数【即原设大弧正乗小弧余半径除之之数】总存两正相减折半为乙数【即原设小弧正乘大弧余半径除之之数】又法【以存弧正减甲数其余为乙数亦同】又法【以甲数减总弧正即得乙数】

总弧在象限内两余相减

大弧丙寅　小弧辰丙【即丑丙】　二弧相加为总弧辰寅相减得存弧丑寅　丑寅存弧之余丑癸【亦即丁乙】

辰寅总弧之余卯辰【即癸子亦即乙午】　两余相减【丑癸内减

子癸存丑子或乙丁内减乙午存午丁】其余

半之【丑子半之于壬成壬丑即亥丁】为【丙寅

辰丙】二弧两正相乗半径

除之之数即初得数也

以初得数转减存弧之余

【以壬丑减丑癸其余癸壬亦即亥乙】其余

为大小二弧两余相乗半径除之之数即次得数也论曰丙辛大弧之正也丑戊小之正也以句股形相似之故乙丙半径【】与丙辛正【股】若丑戊正【小】与丑壬初得数也【小股】其半而得者何也曰辰戊同丑戊则戊巳亦同丑壬而壬子即已戊则子丑者初得数【壬丑】之倍数故半之即得　辛乙大弧之余也戊乙小弧之余也乙丙半径【】与辛乙余【句】若戊乙余【小】与亥乙次得数也【小句】又以存弧余内兼有初得次得两数故减初得次也【丑癸余内有丑壬初数癸壬次数故减丑壬即得癸壬也或于乙丁内减亥丁得亥乙并同】

以上用总存两余加减

又丑寅存弧之正丑丁【即午子或癸乙】辰寅总弧之正辰午【即卯乙】两正相加半之为大弧正乗小弧余半径除之之数即甲数也　以甲数转减总弧之正【以午已减辰午其余巳辰亦即卯未】是为大弧余乗小弧正半径除之之数即乙数也

论曰乙辛大弧之余也辰戊小弧之正也以两句股形同比例之故丙乙半径【】与乙辛余【句】若辰戊正【小】与辰已乙数也【小句】

又丙辛大弧之正也戊乙小弧之余也而丙乙半径【】与丙辛正【股】若戊乙余【小】与戊亥甲数【小句】也又以总弧正内兼有甲乙两数故减乙得甲减甲亦得乙矣【辰午正内有辰巳乙数巳午甲数故减辰巳得巳午若减巳午亦必得辰巳】

以上用总存两正加减

若以酉丙为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑【正丑丁余丑癸】其存弧辰酉【正辰午余卯辰】但互易存总之名其他并同论曰凡过象限之弧与其减半周之余弧同用一正如丙酉过弧以减半周得丙寅所用正【丙辛】余【辛乙】皆丙酉弧与丙寅弧之所同也故但易总存之名而正余加减之用不变又法　凡过象限之弧即截去象限用其余度如法加减但以总弧为存弧存弧为总弧而总存之余为正正为余如酉丙过弧截去酉甲象限只用丙甲为大弧与丙丑小弧相加减则丑甲为总弧其正丑癸余丑丁而辰甲为存弧其正卯辰余辰午是总存正余名皆互易也法以总存两正相减而其余折半为甲数【丑癸内减卯辰余丑子半之得丑壬为甲数】仍以甲数转减总弧正【甲数丑壬转减丑癸其余癸壬即乙数】是其名虽易而其实不易也但横易为直

论曰去过弧之象限而用之则过弧之正为余余为正矣故加减而得之数皆两弧之正乘余余乘正之数而非复正乗正余乘余之数也何也过弧之正余互易而小弧之正余如故也

如丙酉过弧去象限为丙甲则其正丙庚即过弧之余也【丙庚即辛乙故】其余庚乙即过弧之正也【庚乙即丙辛故】而小弧丙丑之正丑戊余戊乙皆如旧故先得之丑壬为大弧余丙辛乘小弧正丑戊而丙乙半径除之也非两正相乘也乙数转减正而得之亥乙【即癸壬亦即戊未】为大弧正辛乙乘小弧余戊乙而半径除之也非两余相乘也

又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加减代乗除只此一例而絶不与七卷八卷之乘除求初数次数者相虽有学者何从悟入乎愚故为之详説以发其覆