历算全书

又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加减代乗除只此一例而絶不与七卷八卷之乘除求初数次数者相虽有学者何从悟入乎愚故为之详説以发其覆

又论曰元法依图直看直者正横者余又法正余互易则图当横看变立体为眠体本以总存两余加减者变为两正加减然其数并同

又论曰又法是用大之余度而小弧则用元度何以言之测星条用星之赤纬即去极之余度也其用赤道髙则极去天顶之元度也然而赤纬在南者则是于星去极度截去象限之数也何以亦为余度曰过弧既与其减半周之余度同一正则此减半周之余度亦即正弧也然则此截去象限而余者非即正弧之余度乎大弧过象限若干度与不及象限若干度其正并同故加减可通为一法【此又测星条用法之意】

约法

两弧俱用本度或俱用余度相加减以取总存二弧是两正或两余也则用总存两余加减法取初得数惟视总存二弧俱在一象限则相减或分跨两象限则相加皆以初数减存弧之余为次得数

若两弧内有一过弧则总弧之正小于存弧而余反大当以初数减总弧之余为次数

若一弧用本度一弧用余度相加减以取总存之弧是一正一余也则用总存两正加减法其加减皆眎两正原法或加或减取甲数即以甲数减总弧正余为乙数

若过弧节去象限而用其剰度与余度同法【凡余度是以本度减象限而得名今反以象限减过弧故别之曰剰】

若两俱剰弧与两余弧同法

若只一剰弧与一正一余同法

论曰过弧用剰度为余弧其法甚简快凡过弧皆当用之可不用本度矣【算普天星经纬岁差宜此】

又按凡存弧之余内兼有两正相乗两余相乗两数即初次两得数也凡总弧之正内兼有此正乗彼余彼正乗此余之数即甲乙两数也故易其名以别之也

大弧寅丙正丙辛余

辛乙　小弧辰丙【即丑丙】正

辰戊【即丑戊】余戊乙

二弧相加为总弧辰寅正

辰午余午乙　相减

为存弧丑寅正丑丁余

丁乙　存总两余【午乙丁乙】相并成午丁半之于亥成亥丁即初得数大小二弧两正【丙辛辰戊】相乗半径除之之数也　以初得数亥丁转减存弧之余丁乙余亥乙即次得数大小二弧两余【辛乙戊乙】相乗半径除之之数也

论曰以句股形相似之故丙乙半径与丙辛正若戊丑正与初数丑壬【即亥丁】也皆比股也

又丙乙半径与辛乙余若戊乙余与次数亥乙也皆比句也

以上用总存两余加减因总弧跨过象限故相加

又存弧正丑丁与总弧正辰午相加成辰干【以午干等丁艮亦即丑丁也】折半得巳午【即戊亥　辰子折半为巳子子干折半为午子合之成巳午】为甲数大弧正丙辛乗小弧余戊乙半径丙乙除之也

以甲数已午转减总弧正辰午余辰巳为乙数大弧余辛乙乗小弧正辰戊半径丙乙除之也

以上用总存两正加减

若用酉丙过弧为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑存弧酉辰但互易存总之名其它并同以过弧酉丙所用之正丙辛余辛乙即丙寅弧所同用故也

又法

于酉丙过弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙则甲丙反为小弧丙丑反为大弧【説见前条】

图式三

总弧在象限内两余相

减　乙丙小弧其正丙

辰余辰已　丁乙稍大

弧其正丁甲余甲巳

戊壬初得数【两正相乗半径除】

【也即庚甲或戊卯】　午戊次得数

【两余相乗半径除也即巳癸】　今改用加减以省乗除　以二弧相加成总弧丁丙其正子丁余子巳　又二弧相较成存弧壬丙其正壬辛【卽午巳】余辛巳【卽壬午】

于存弧之余辛巳内减去总之余巳子存子辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得数也亦卽戊壬也【或于壬午丙减午卯半之于戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也】　又于存弧余辛已内仍减去初得数辛癸存癸已即次得数也【壬午内减戊壬存午戊亦同】

此因总弧在象限内故以总弧余减存弧余求初数是初数小于次数

解曰以句股形相似之故己丙半径【】与丙辰正【句】若丁甲正【】与甲庚初数也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也

又已丙半径【】与辰已余【股】若甲已余【】与巳癸次数【股】也

右系总存两余用法

又丁庚为甲数【丁甲大弧正乗辰巳小弧余半径除之也亦即庚卯即甲戊】　子庚为乙数【辰丙小弧正乗甲巳大弧余半径除之也即癸甲】

今改用加减法以存弧正子卯【即辛壬】加总弧正子丁成卯丁而半之于庚得丁庚为甲数【亦即庚卯即戊甲】　仍于总弧正丁子内减去甲数丁庚存子庚【即癸甲】为乙数

此亦总弧在象限内亦总存两正相加求甲数是甲数大于乙数

解曰以句股形相似之故已丙半径与辰巳小弧余若丁甲大弧正与甲数丁庚皆与股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也

又巳丙半径与丙辰小弧正若甲已大弧余与乙数甲癸【即子庚】皆与句之比例也

右系总存两正用法

一系　凡两弧内无过弧则存弧之余大故其中有初次两数而总弧则正大故其中有甲乙两数虽两数相加能令总弧跨过象限此理不变余仍系存弧大正仍系总弧大

总弧过象限两余相加

乙丙小弧正辰丙余

辰已　乙丁过弧正

丁甲余甲已　初得数

戊丁【半径除两正矩即子癸亦即癸辛亦即

庚甲】　次得数癸巳【半径除两余矩】

今用加减代乗除以二弧相加成总弧丁丙正丁子余子已　又二弧相较成存弧壬丙正壬辛余辛巳　乃以总存两余相加成子辛【子巳加辛巳】而半之于癸得子癸及癸辛【亦即丁戊即庚甲】初得数也　又以初数子癸转减总弧之余子已余癸巳次得数也【此因总弧跨过象限故两余相加求初数是初数大于次数】

解曰以句股形相似故半径已丙与正丙辰若正丁甲与初数丁戊皆与股之比例也　又半径丙已与余辰已若余甲巳与次数癸已皆与句之比例也　又壬甲等丁甲则庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得

右用总存两余加减

又甲数丑甲小弧余辰已乗过弧正丁甲半径除之也　乙数癸甲小弧正辰丙乗过弧余甲巳半径除之也

今用加减搃存两正相加成丑戊【癸戊与正丁子等丑癸与正辛壬等故以相加即成丑戊】半之于甲得丑甲【亦即甲戊】为甲数　仍以甲数丑甲转减存弧正丑癸余癸甲为乙数【或以总弧正癸戊减甲数甲戊亦即得乙数癸甲】

此亦总弧跨象限外仍系总存两正相加求甲数【甲数仍大于乙数】

解曰半径丙已与小弧余辰已若大弧正丁甲与甲数丑甲皆以比句也　又半径丙已与小弧正辰丙若大弧余甲巳与乙数癸甲皆以比股也又壬甲等丁甲则甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得

右用总存两正加减

一系　凡两弧内有过弧者总弧之余反大故初次两数皆在总弧余内而总弧之正反小故甲乙两数皆在存弧正内也【此必原有一过弧始用此例非谓总弧过象限也观图自明】

甲数乙数用法【黄赤道经纬相求】

黄赤二道经纬相求用斜弧三角形以星距黄极为一边星距北极为一边并两极之距为三边此本法也今不用距极度而用其余度【距极度本为纬度之余今用三角形以距极度为边故纬度皆为余度】径取黄纬为一边【此先有黄纬而求赤纬也若先有赤道而求黄道即用赤纬为边】二至之黄赤大距为一边【黄赤大距原与两极之距等】而取二边之总存两正为用以加减省乘除故在本法为初数次数者别之为甲乙数焉甲数乙数不止为求黄赤而举此为式其理特着故命之曰甲数乙数用法实黄赤相求简法矣

第一图　黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小

甲丙亢危大圈为过

两极之经圈【即二至经圈】心乙亢轴即黄道

二分经线　丙乙室

为黄道　心为黄极

寅乙危为赤道

甲为北极　辰胃娄

为黄道北纬【即丙辰之度】　丑尾奎为黄道南纬【即丙丑之度】星在箕　箕心为星距黄极纬度　箕女为星距黄道纬【即丙辰之度】　甲心箕锐角为黄道经度其余女乙甲心为两极相距【二十三度三十一分半】　寅丙为夏至距纬【同甲心之度】

今求甲箕为星距北极纬度　其余弧箕翌为星距赤道纬【即氐危之度】

用甲心箕三角形有心角【黄道经】有心箕弧【星距黄极纬】有甲心弧【为两极之距】而求对角弧甲箕【星赤道北极纬】

依加减代乗除改用寅丙夏至距【即心甲】辰丙黄道纬【即心箕之余箕女又即丙丑度】　寅丙辰丙相加为总弧辰寅其正辰午　又相减为较弧丑寅其正丑丁【亦即丁井亦即午昴亦即子午】以丑丁正【即午昴】加辰午正成辰昴折半得巳午

甲数【巳子为辰子之半子午为子昴之半合之成巳午】甲数【巳午】转减正【辰午】余【巳辰】为乙数

或以丑丁正【即子午】减辰午正余辰子折半得辰巳为乙数以乙数转减总弧正辰午得已午为甲数亦同

法为黄道半径【丙乙】与心角之余【女乙】若甲数【巳午】与四率【斗未】也

一　黄道半径　丙乙

二　心角余　女乙

三　甲数　　　巳午【即戊酉】

四　【减过乙数之赤纬正】斗未【即虚栁】

论曰丙乙半径与女乙余原若辰胃与箕胃【辰胃者箕心黄纬之正即距等圏半径因箕心角线过箕至女分辰胃正于箕亦分丙乙半径于女故丙乙与女乙若辰胃与箕胃皆全与分比例】而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆也【戊酉乙大句股以戊乙为戊酉为句斗未乙小句股以斗乙为斗未为句】戊酉【同巳午】斗未皆句也则其比例等故丙乙与女乙能若戊乙与斗乙亦即若已午与斗未

以乙数【辰巳即箕虚】加四率【斗未即虚栁】成箕栁即所求赤道纬度正检表得赤纬在北【即箕翌亦即氐危】

若先有赤纬黄纬而求黄经则互用其率以三四为一二法为甲数【戊酉】与赤纬正内减乙数之斗未若黄道半径【丙乙】与心角黄经度之余【女乙】也

一　甲数　　　戊酉【即午巳】

二　【乙数箕虚减赤纬正】半未【即虚栁】

三　黄道半径　丙乙

四　心角余　女乙　　　检余表得心角之度假如前图星在尾为黄道南纬则所用之甲数乙数并同所得之四率亦无不同而赤纬逈异

何以言之曰心不在箕而在尾则心

甲弧【两极距度】心角【黄道经度】皆不变唯尾心

弧大于箕心故甲心箕三角形变为

甲心尾三角而所求对角之甲尾弧

亦大于甲箕故赤纬异也

然则所用之甲数乙数又同何也曰尾心为过弧则用在女尾【尾心内减去女心象限】女尾为黄道南纬与箕女北纬同度亦即同正则相加为总弧相减为较弧亦同而甲乙数不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率在北纬则用加在南纬则用减纬度迥异理势自然也一　黄道半径　丙乙

二　心角余　女乙　以乙数【辰巳】减四率斗未减尽三　甲数　　　已午　无余为星在赤道无纬度四　【加过乙数之赤纬正】斗未

论曰此因乙数与四率同大故减尽也减尽则甲尾正九十度而星在赤道无纬也

亦有四率小于乙数者则当以四率转减乙数用其余为纬度正在赤道南

又论曰星在箕为黄道北在尾为黄道南然所得赤纬皆在北者以箕尾经度皆在夏至前后两象限中也故所得四率在赤道北而加乙数则北纬大减乙数则北纬小皆北纬也惟四率转减乙数则变为南纬【此亦惟黄南纬星又近二分则虽在夏至前后象限中而有南纬】

亦有无四率者心角必九十度其星必在黄道二分经度无角度余为次率故亦无第四率可求但以乙数为用视星在南北即以乙数命为南北纬度之正假如前图中有星在胃是在北也即以乙数胃张【即辰巳】命为赤道北纬之正若星在房是在南也即以乙数乙癸【亦即辰巳】命为赤道南纬之正

又有所得四率北反用减南反用加者心角必为钝角其星必在冬至前后两象限其角度余必为大矢内减仪象限之余则所得第四率在赤道之外【外即南也】而加减后所得皆赤道之南纬也故加减皆反【求北纬以加而南纬必减者星在北也求北纬以减而南纬必加者星在南也盖所得第四率原系在北在南两星纬度之中数　星在北在南皆主黄道言】假如前图中有星在兑为黄道北而甲心兑三角形心

为钝角其余艮乙为艮丙大矢内

减象限之余故所得第四率未斗在

赤道之外为赤道南纬【此南纬是黄道轴距赤道

轴】而兑星在黄道之北则其南纬正

小于未斗故必以乙数牛斗【即辰己亦即奎巳】减之其余牛未【同兑庚】即兑星赤道南纬之正

若星在巽亦同用心钝角为甲心巽三角形艮乙余四率未斗在赤道外并同但巽星又在黄道之南则其南纬大于未斗四率故必以乙数虚巽【即辰巳亦即牛斗】加之成巽栁即巽星南纬之正

亦有四率小于乙数者则以四率转减乙数用其余为纬度在赤道北

又论曰星在兑为黄道北在巽为黄道南然所得赤纬皆在南者以兑巽经度皆在冬至前后两象限中也故所得四率在赤道南而以乙数减则南纬小以乙数加则南纬大皆南纬也惟四率转减乙数者则变为北纬【此亦必黄北纬星又近二分故虽在冬至前后象限中而仍有北纬　凡以乙数及四率相加减成纬度者并主纬度之正而言后仿此】

总论曰凡乙数皆南北两赤纬度相减折半之数甲数则两纬度之中数也【如箕女与女尾两黄纬同度而不能以女庚为两赤纬之中数者弧度有斜正故也】而所得四率即所求星南北两纬正中数故与甲数为比例

凡所得四率星在夏至前后两象限四率在赤道北星在冬至前后两象限四率在赤道南

凡总弧正内兼有甲数乙数【不论黄南黄北并同一法】但视黄纬之大小若黄纬小于黄赤大距则以总存两正相并而半之为甲数若黄纬大于黄赤大距则以总存两正相减而半之为甲数并以甲数转减总弧正为乙数又法

黄纬小于黄赤大距以总存两正相减而半之则先得乙数黄纬大于黄赤大距以总存两正相并而半之亦先得乙数并以乙数转减总弧正为甲数求赤纬约法

凡星有黄纬之南北有黄经之南北【黄经南北即南六宫北六宫　星在夏至前后先得之黄经为鋭角是经在北也　星在冬至前后先得之黄经为钝角是经在南也】若星之黄纬南北与黄经同者其赤纬南北亦与黄纬同法用四率乙数相加为纬度正加惟一法

星在黄道北又系夏至前后两象限先得黄经鋭角是经纬同在北则赤纬亦在北　星在黄道南又系冬至前后两象限先得黄经钝角是经纬同在南则赤纬亦在南

若星之黄纬南北与黄经异者赤纬有同有异皆四率乙数相减为赤纬正减有二法

但视乙数大受四率转减者赤纬之南北与黄纬同如星在黄道北而在冬至前后两象限黄经角钝是纬北而经南也而乙数大受四率转减则赤纬仍在北星在黄道南而在夏至前后两象限黄经角鋭是纬南而经北也而乙数大受四率转减则赤纬仍在南若乙数小去减四率者赤纬之南北与黄纬异　如星在黄道北而在冬至前后黄经角钝为纬北经南而乙数又小去减四率则赤纬变而南　星在黄道南而在夏至前后黄经角鋭为纬南经北而乙数又小去减四率则赤纬变而北

若星在黄道轴线是正当二分经度也其角必九十度无余亦无四率但以乙数为用　星在北即以乙数命为赤道北纬之正　星在南即以乙数命为南纬之正

若遇乙数四率相减至尽者其星正当赤道无纬度第二图　黄纬大于黄赤大距甲数小乙数反大【有黄道经纬求赤纬】

甲北极　心黄极

甲心为两极之距

丙室黄道　寅危赤

道　寅丙为夏至大

距【同甲心】　乙为二分

以上并与前图无

二　所异者黄纬丙

丑【即丙辰】大于寅丙故

乙数亦大于甲数　寅丙之正丙辛余辛乙　丙丑之正辰戊【或戊丑】余戊乙

甲数戊酉乃寅丙正乗丙丑余半径除之也法为丙乙半径与正丙辛若戊乙余与甲数戊酉乙数辰巳【或巳子或戊壬】乃辛乙余乗辰戊正半径除之也法为丙乙半径与余辛乙若辰戊正与乙数辰巳

假如星在箕为在黄道北箕心为距黄极之度其余箕女黄道北纬也有箕心甲心【两极距】二边有心锐角【黄经】用甲心箕三锐角弧形求赤纬甲箕为对角之弧

依加减代乗除改用寅丙辰丙二弧相加为总弧辰寅其正辰午　又相减成较弧寅丑其正丑丁【即午子】以丑丁正加辰午正成辰子折半于巳为乙数【辰巳及巳子】　乙数辰已转减总弧正辰午得已午为甲数【即戊酉】

本法以丑丁减辰午折半得已午为甲数　甲数巳午转减辰午得辰巳为乙数

法为黄道半径丙乙与余女乙若甲数戊酉与四率斗未也【理见前式论见】

一　黄道半径　丙乙　　　　既得斗未以乙数箕

二　心角余　女乙　　　　虚加之成箕栁为赤

三　甲数　　　戊酉　　　　纬正查表得箕翌四　【以乙数减赤纬正】　斗未【即虚栁】　赤纬度在赤道北右系黄纬在北而心为锐角黄经亦在北故法用加而赤纬仍在北

若先有黄赤纬度而求黄经则互用其率亦同前式一　甲数　　　戊酉

二　【乙数减赤纬正】　斗未

三　黄道半径　丙乙

四　心角余　女乙　　查余表得心角之度假如前图星在尾为在黄道南则所用之甲数乙数及所得之四率并同惟赤纬异

论曰星不在箕而在尾则甲心箕三

锐角形变为甲心尾三角形而心尾

弧大于心箕故所求对角之甲尾弧

亦大于甲箕而赤纬大异

心尾大于心箕而甲数乙数悉同者因用余弧则女尾南纬与女箕北纬同度故也

一　黄道半径　丙乙　　既得斗未以转减乙数斗二　心角余　女乙　　牛得余未牛【即尾申】为赤纬三　甲数　　　戊酉　　正查表得尾卯纬度在四　【乙数内减赤纬正】　斗未　　赤道南

论曰此系乙数跨赤道故乙数内兼有赤纬及四率之数而减赤纬得四率以四率转减亦得赤纬

右系黄纬在南而心为锐角是纬南而经北法当用减而乙数大受四率反减故赤纬仍在南

假如前图星在巽则所用之甲数乙数亦同惟四率异【因巽艮黄纬即室奎之度与丙丑同故甲数酉戊与戊酉同大而乙数斗牛兊干并同辰巳】

又巽星在黄道南而心为钝角星在

秋分后春分前黄经亦在南则赤纬

亦在南法当用加

一　黄道半径　　　丙乙【即室乙】

二　【钝角余即大矢减半径之余】　艮乙【艮丙为心钝角大矢内减丙乙得艮乙】

三　甲数　　　　　酉戊

四　【赤纬正内减乙数】　　　未斗

既得未斗以乙数斗牛【即辰巳】加之成未牛为赤纬正【即栁巽】查表得震巽纬度在赤道南

假如前图星在兑为黄道北所用之

甲数乙数四率并同惟赤纬异【兑艮北纬

与巽艮南纬并同丙丑之度故甲数乙数同甲心巽与甲心兊两钝角形

同用心钝角故四率亦同惟心兊弧小于心巽故所求对角弧甲兊亦小】

【于甲巽而赤纬异】

一　黄道半径　丙乙　　　既得未斗以转减乙数二　钝角余　艮乙　　　兊干得余兊离为赤纬三　甲数　　　酉戊　　　正查表得兊坎纬度四　【乙数内减赤纬正】　未斗【即离干】　在赤道北

右系黄纬在北而心为钝角是秋分后春分前为纬北而经南法当用减而乙数大受四率转减故赤纬仍在北

第三图　赤纬大于二极距甲数小乙数大

心甲箕三鋭角形　星在箕　有黄极纬心箕有北极

赤纬甲箕有黄赤极

距心甲【即室危】求甲角

为赤经　辰危赤纬

大于危室大距【即心甲】与前图略同故乙数

亦大于甲数　所异

者此求赤经故诸数

皆生于赤纬谓总弧

较弧皆用赤纬也而加减正反在黄道矣

室危两极距之正室辛余辛乙

辰危赤纬【即箕女为甲箕距比极之余】之正辰酉余酉乙甲数戊酉法为半径室乙与辛室正若酉乙余与甲数戊酉也

乙数辰已法为半径室乙与辛乙余若辰酉正与乙数辰已【或娄酉正与乙数酉壬】也

依加减代乗除改用辰危室危相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴】

又以较弧正午昴减总弧正辰午余数半之得已午为甲数【即戊酉也法于辰午内截减辰坤如午昴其余坤午半之于已即得已午】

甲数已午转减辰午正余辰巳为乙数【或以甲数已午加较午昴成巳昴乙数亦同】箕虚及未牛并同【皆乙数也】

又以箕翼黄纬之正箕柳与乙数箕虚相减得虚柳【即未斗】以为次率【因箕栁黄纬大乙数箕虚小故于黄纬正内减乙数得未斗】

法为甲数戊酉与未斗若酉乙与未乙亦即若危乙半径与甲角之余女乙也

一　甲数　　　　戊酉

二　【黄纬正内减去乙数】　未斗

三　赤道半径　　危乙

四　甲角余　　女乙

论曰赤道经度春分至秋分【北六宫】为钝角秋分至春分【南六宫】为锐角其角与黄经正相反此条星在箕是赤纬在北也而黄纬亦北两纬同向宜相减成次率而乙数小于黄纬必以乙数减黄纬而得未斗乙数减黄纬而纬在北赤经必南六宫为锐角查表得度为甲角度即赤经也在秋分后以所得减三象限在冬至后以所得加三象限皆命为其星距春分赤道经度