历算全书

减黄纬而得未斗乙数减黄纬而纬在北赤经必南六宫为锐角查表得度为甲角度即赤经也在秋分后以所得减三象限在冬至后以所得加三象限皆命为其星距春分赤道经度

若星在尾用甲心尾三角形则以黄

纬正反减乙数为次率【未牛乙数大于黄纬

斗牛故以斗牛反减未牛得未斗】余率并同

论曰此条星在尾是赤纬在南也而黄纬亦并在南两纬同向宜相减而成次率而乙数大于黄纬宜于乙数内转减去黄纬成未斗也乙数大受黄纬转减而纬在南赤经必亦在南六宫为锐角

一　甲数　　　　戊酉

二　【乙数内减黄纬】　　　未斗

三　赤道半径　　危乙

四　甲角余　　女乙

假如前图星在兊用心甲兊三角形

有心兑边【星距黄极】有甲兑边【星距北极】有心

甲边【两极距】求甲钝角为赤道经度

因赤纬同故甲数乙数同

星在兊赤纬在北黄纬亦在北纬同向北宜相减而成次率而乙数大以黄纬减之得斗未【乙数兊干内减去黄纬兊离余离干即斗未】

乙数大受黄纬转减而赤纬在北必赤经亦在北六宫为钝角

一　甲数　　　酉戊

二　【乙数内减去黄纬】　斗未

三　赤道半径　寅乙

四　甲角余　艮乙

以艮乙查余表得度用减半周为甲钝角即赤经也在春分后以象限减钝角度在夏至后以钝角度与三象限相减皆命为星距春分赤道经度

假如星在巽用心甲巽三角形有心巽边【距黄极】有甲巽边【距北极】有甲心边【两极距】求甲钝角为赤经

甲数乙数并同

惟心在巽是赤纬南也黄纬亦南也两纬并南宜相减

成次率　乙数小黄纬大故以乙数

减黄纬得斗未【斗牛黄纬即栁巽也内减乙数未牛余即

斗未矣】　乙数小去减黄纬而赤纬在

南赤经必在北六宫为钝角

一　甲数　　　酉戊

二　【黄纬内减乙数】　　斗未

三　赤道半径　寅乙

四　甲角余　艮乙

以艮乙余查度春分后用余度减象限夏至后加象限皆命为距春分赤经

第四图　赤纬小于二极距甲数大乙数小

假如星在箕用心甲

箕钝角形有心箕过

【距黄极对角边也其余箕翼即黄纬】有

甲箕边【距北极即辰危之余】有

心甲边【两极距寅丙及危室并同】求甲钝角赤道经

两极距危室之正

危辛余辛乙　赤纬危辰之正辰戊余戊乙甲数戊酉【为半径危乙与二极距之正危辛若赤纬余戊乙与甲数戊酉也】

乙数辰巳【或戊壬　为半径危乙与二极距之余辛乙若赤纬正辰戊与乙数辰巳也】依加减代乗除以辰危危室两弧相加为总弧辰室其正辰午

又相减为较弧娄室其正娄丁【或丁井即午昴】

以总弧正辰午加较弧正午昴成辰昴而半之为甲数巳午【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之为巳午】即戊酉

又以甲数己午转减正辰午得辰巳为乙数【亦即戊壬】星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未【牛未乙数内减牛斗黄纬余斗未】

乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角一　甲数　　　酉戊　　以艮乙余查度春分后二　【乙数内减黄纬正】　斗未　　用减象限夏至后加象限三　赤道半径　寅乙　　命为距春分经度

四　甲角余　艮乙

若星在尾用心甲尾三角形则为南纬而黄纬亦南两

纬同向宜相减成次率而乙数小于

黄纬故以乙数减黄纬成斗未【虚尾黄纬

内减乙数氐尾余虚氐即斗未】　其甲数乙数等算

并同　乙数小去减黄纬而纬在南

赤经必在北六宫为钝角

一　甲数　　　酉戊

二　【黄纬正内减乙数】　斗未

三　赤道半径　寅乙

四　甲角余　艮乙

若星在兑用心甲兑三角形兑为北纬而黄纬亦北两

纬同向宜相减成次率而乙数小于

黄纬故以乙数减黄纬成未斗【兊干黄纬

内减乙数兊离余余离干即未斗】甲数乙数并同

乙数小去减黄纬而纬在北赤经反

在南六宫为锐角

一　甲数　　　戊酉　　以女乙余度秋分后减二　【黄纬正内减乙数】　未斗　　三象限冬至后加三象限三　赤道半径　危乙　　命为距春分赤经【下同】四　甲角余　女乙

若星在巽用心甲巽三角形赤纬南黄纬亦南两纬同向宜相减成次率而乙数大以黄纬转减之成未斗【未牛乙数内减黄纬斗牛即栁巽其余即未斗】

乙数大受黄纬转减而纬在南赤经

即在南六宫为锐角

一　甲数　　　戊酉

二　【乙数内减黄纬正】　未斗

三　赤道半径　危乙

四　甲角余　女乙

第五图　赤纬小于二极距甲数大乙数小

黄纬乙数相加成次

率【黄纬在南角鋭钝黄纬在北角】星在巽用心甲巽三

角形有心甲边【二极距】有巽甲边【距北极度为过弧其

赤纬女巽在南】有巽心边【距黄

极度其余巽为黄纬在北】　求对

巽心弧之甲角　心甲两极距即危室【或寅丙】其正危辛余辛乙　女巽赤纬即危娄【或辰危即丑寅】其正辰戊余戊乙

甲数戊酉【两极距正危辛乗赤纬余戊乙半径危乙除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉】乙数辰巳【两极距余辛乙乗赤纬正辰戊半径危乙除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳】依加减代乗除改用辰危危室相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴及丁井】以总较两正相加成辰昴折半得巳午为甲数即戊酉【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之成己午】

甲数巳午转减总弧正辰午得辰巳为乙数即戊壬黄纬巽氐在北赤纬女巽在南两纬异向宜以乙数与黄纬正相加成次率【以同黄纬正巽栁之牛斗加同乙数戊壬之未牛成未斗】乙数黄纬正相加而黄纬在北其赤经必在南六宫为锐角法为甲数戊酉与未斗若戊乙与未乙亦即若危乙与女乙

一　甲数　　　　戊酉　　以女乙查余表得度二　【乙数加黄纬正】　未斗　　秋分后减冬至后加皆与三　赤道半径　危乙　　三象限相加减命为其星四　甲角余　女乙　　距春分赤道经度

又如星在箕用心甲箕三角形有心甲边【二极距】有箕甲边【距北极度其余箕艮赤纬在北】有箕心边【距黄极度为过弧其黄纬翼箕在南】求对箕心弧之甲角

甲数乙数同上

惟黄纬翼箕在南赤纬箕艮在北两纬异向宜以乙数

与黄纬正相加成次率【以黄纬正箕张相

同之牛斗加乙数辰巳相同之牛未成斗未】

乙数与黄纬相加而黄纬在南其

赤经必在北六宫为钝角法为甲数

酉戊与斗未若戊乙与未乙亦即若寅乙与艮乙一　甲数　　　戊酉　　以艮乙查余表得度春二　【乙数加黄纬正】　斗未　　分后减夏至后加皆加减三　赤道半径　寅乙　　象限命为其星距春分赤四　甲角余　艮乙　　赤道经度

求赤道经度约法

用三边求角【两极距为一边距北极为一边此二边为角两旁之弧距黄极为一边此为对角之弧】以求到钝角赤道经度在北六宫锐角赤道经度在南六宫

法为甲数与次率若赤道半径与所求角之余其枢纽在次率也

凡黄纬南北与赤纬同向者并以乙数与黄纬相减而成次率减有二法

凡黄纬南北与赤纬异向者并以乙数与黄纬相加而成次率

加惟一法

厯算全书卷十

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书卷十一

宣城梅文鼎撰

环中黍尺卷五之六

加减捷法

用加减则乗除省矣今惟用初数则次数亦省又耑求矢度省余则角之锐钝得矢自知边之大小加较即显无诸拟议之烦故称捷法

如法角旁两弧度相加为总相减为存视总弧过象限以总存两余相加不过象限则相减并折半为初数

若总弧过两象限与过象限法同【其余仍相加】过三象限与在象限内同【其余仍相减】若存弧亦过象限则反其加减【总弧过象限或过半周宜相加今反以相减若总弧过于三象限宜相减今反以相加】并以两余同在一半径相减不然则加也

总存两余同在一半径当相减折半图

乙丁丙三角形

丁为钝角

丙卯为总弧其正卯

戊余戊己　庚丙为

存弧其正庚壬余壬巳　两余同在丙已半径宜相减【壬巳余内减戊巳成戊壬】折半为初数丑壬【即甲庚亦即未酉】总存两余分在两半径当相加折半图

乙丁丙形　丁为锐角

庚丙为总弧其正弧庚

壬余壬巳　卯丙为

存弧其正卯戊余

戊已径两余分在丙巳子巳两半径宜相加【以戊巳加壬巳成壬戊】折半为初数丑戊【即甲酉亦即未卯】

三边求角初数恒为法以两矢较乗半径为实法为初数与两矢较若半径与角之矢也

一　初数【即角旁两正相乗半径除之之数今以加减得之】

二　两矢较【或两俱正矢或两俱大矢或存弧用正矢对弧用大矢】

三　半径

四　角之矢【正矢角锐大矢角钝】

角求对边则以初数乗角之矢为实半径为法法为半径与角之矢若初数与两矢较也

一　半径

二　角之矢【或正矢或大矢】

三　初数

四　两矢较【并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为大矢其对弧大不满半径为正矢其对弧小】

乙丁丙形　三边求丁角

小边乙丁【正卯辛】大边丙丁【正壬丙】　初数卯癸【两正相乗半径除之也】

今改用加减

两余相减【余房戊】折半得

丑戊即初数卯癸【与先所得同】

一系　总弧过半周而存弧亦过象限则余相减法为卯癸初数与两矢较牛乙若卯辛正【距等半径】与乙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子

一　初数　　卯癸【即丑戊】

二　两矢较　牛乙【即房甲】

三　半径　　寅巳

四　角之大矢酉子

若先有丁钝角而求乙丙对边则反用其率

一　半径　　寅巳

二　角之大矢酉子

三　初数　　卯癸

四　两矢较　牛乙

以所得两矢较加存弧大矢房丙得大矢甲丙

乙丁丙形

三边求丁角

小边乙丁【正乙辛】　大边丙丁【正戊壬】

初数戊癸

今用加减

两余相减【余辰甲】折半得辰

丑即初数戊癸

对弧【乙丙】大矢斗乙

存弧　大矢甲乙【两矢较斗甲】

法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正【距等半径】与丙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子

一　初数戊癸【即丑甲】

二　两矢较　斗甲

三　半径　　寅巳

四　角之大矢酉子

论曰此移小边于外周如法求之所得并同其故何也先有之角及角旁二边并同则诸数悉同矣然则句股之形不同何也曰前图是用乙丁小弧之正为径分大矢之比例则所用句股是丁丙大弧之正此图是用丁丙大弧正为径分大矢比例则所用句股是乙丁小弧正故句股形异也然句股形既异而所得初数何以复同曰此三率之精意也初数原为两正相乗半径除之之数前图用大弧正偕半径为句与而小弧正用为大矢分径之比例是以大弧正为二率而小弧正为三率也今改用小弧为二率大弧为三率而首率之半径不变则四率所得之初数亦不变也又何疑焉

一系　角旁二弧可任以一弧之正为全径上分大小矢之比例其余一弧之正即用为句股比例不拘大小同异其所得初数并同

又论曰以句股比例言之则戊庚通为【即距等圏全径】戊女倍初数为句【即总存两余相加减之数】一也戊壬正为则戊癸初数为句二也丙庚为【通之大分即距等大矢】则斗甲两矢较为句【即丙房】三也丙壬为【正之分线即距等余】则斗丑为句【对弧余内减次数丑巳得斗丑亦即丙牛】四也戊丙为【正之分线即距等小矢】则午戊为句五也

以全与分之比例言之则戊庚为距等全径与寅子全径相当一也戊壬正为距等半径当寅巳半径二也丙庚如距等大矢当酉子大矢三也丙壬如距等余当酉巳余四也戊丙如距等小矢当寅酉正矢五也一系　初数恒与角旁一弧之正为句股比例其正恒为初数恒为句而其全与分之比例俱等又即与员半径上全与分之比例俱等若倍初数即与全员径上大小矢之比例等

一系　角旁两弧任以一弧之正为径上全与分之比例初数皆能与之等

若先有丁钝角求对边乙丙则更其率

一　半径　　巳子

二　丁角大矢酉子

三　初数　　丑甲

四　两矢较　斗甲

以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙为对弧大矢内减巳乙半径得斗巳为对弧余捡表得未丙弧度以减半周得对弧丙乙度

乙丁丙形　三边求丁角

乙丁边【九十五度】　丁丙边【一百一十二度】　乙丙对弧【一百一十九度】总弧丙未二百○七度　余辛巳　八九一○一存弧丙戊一十七度　　余壬巳　九五六三○两余相加辛壬一八四七三一

初数卯亥【即半辛壬丑辛】九二三六五

对弧大矢癸丙一四八四八一

存弧正矢壬丙　　四三七○

两矢较癸壬　一四四一一一

法曰卯亥【即丑辛】与癸壬若

未亥与乙戊亦必若庚巳

与甲子

一　初数　卯亥　　　九二三六五

二　两矢较癸壬　　一四四一一一

三　半径　庚巳　　一○○○○○

四　角之矢申子　　一五六○二二

四率大于半径为大矢其角钝法当以半径一○○○○○减之余五六○二二为钝角余捡表得余度五十五度五十六分以减半周为丁角度

依法求到丁钝角一百二十四度○四分

论曰试作辰戊线与倍初数辛壬平行而等又引未辛【总弧正】至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸【对弧正】至寅作亥丑线引至斗各成句股形而相似则其比例等一未辰戊大句股　以辰戊倍初数为句未戊通为一乙寅戊次句股　以寅戊两矢较为句乙戊【距等大矢】为一【未卯亥亥斗戊】两小句股并以【卯亥斗戊】初数为句【未亥亥戊】正为辰戊倍初数与寅戊两矢较若未戊通与乙戊距等大矢是以大句股比小句股也

卯亥初数与癸壬两矢较若未亥正与乙戊距等大矢是以小句股比大句股也　用亥斗戊形比乙寅戊其理更着

又未戊通上全与分之比例原与全员径上全与分之比例等故三者之比例可通为一也

【一大句股截数种小句股故又为全与分之比例】

仍用全图取乙丁女形　求丁鋭角

乙丁边【九十五度】　女丁边【六十八度】　女乙对弧【六十一度】

总弧女戊【一百六十三度】余【壬巳】九五六三○

存弧女未【二十七度】　余【辛巳】八九一○一

两余并【辛壬】一八四七三一初数卯亥九二三五六

一　初数　卯亥　九二三六五

二　两矢较癸辛　四○六二○

三　半径　巳庚一○○○○○

四　角之矢申庚　四三九七七　【以减半径得丁角余入表得丁角度】

依法求得丁鋭角五十五度五十六分

辛丁乙形

三边求丁角

辛丁边五十度一十分　乙丁边六十

总弧卯辛一百一十度一十分

余庚丙二四四七五

存弧戊辛九度五十分

余子丙九八五三一

余并子庚一三三○○六

初数子午【即戊癸】六六五○三

辛乙对弧八十度

对弧矢辛酉　八二六三五

存弧矢辛子　一四六九

两矢较子酉　八一一六六

一　初数　　子午　六六五○三

二　两矢较　子酉　八一　一六六

三　半径　　壬丙一○○○○○

四　丁角大矢壬甲一二二○五○【用余入表得丁外角减半周得丁角度】

依法求到丁钝角一百○二度四十四分

论曰此如以日髙度求其地平上所加方位也乙为太阳乙甲其髙度其余度丁乙日距天顶也亥乙赤道北纬辛乙为距纬之余即去极纬度也辛壬为极出地度其余辛丁极距天顶也所求丁钝角百○二度太距正北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太阳在正东方过正卯位一十二度太

乙丙辛形　有【辛丙三十三度辛乙百卅二度】　对弧乙丙【百八度】求辛角

总弧【丙壬】一百六十五度

余【己戊】九六五九三

存弧【丙庚】九十九度

余【己甲】一五六四三　两余相减余【戊甲】八○九五○

初数甲丑四○四七五　对弧大矢酉丙一三○九○二

存弧大矢甲丙一一五六四三

两矢较甲酉　一五二五九

一初数甲丑　四○四七五

二两矢较甲酉一五二五九

三半径申巳一○○○○○

四角之矢未申三五三五二

得辛鋭角四十九度二十八分

恒星岁差算例

老人星黄道鹑首宫九度三十五分二十七秒为庚角【康熈

甲申年距厯元戊辰七十七算毎年星行五十一秒

讣行一度○五分二十七秒以加戊辰年经度鹑首

八度三十分得今数】

黄道南纬七十五度　距

黄极一百六十五度为庚

辛边　用巳庚乙三角形

【一角二边】求对弧巳乙【赤纬】

余较丁甲二○六六一

初数甲戊一○三三○

庚角正矢申酉　一三九八

一　半径　　申丙一○○○○○　　大矢内减半径二　庚角矢　申酉　　一三九八　　取余检表得三　初数　　甲戊　一○三三○　　三十八度廿三四　两矢较　甲丑　　　一四四　分半以减半周加存弧大矢巳甲一七八二三四　得星距北极一百得对弧大矢巳丑一七八三七八　四十一度三十六

分半为对弧巳乙

求到甲申年老人星赤纬在赤道南五十一度三十六分半【以校厯元戊辰年纬五十一度三十三分及仪象志康熈壬子年纬五十一度三十五分可以畧见恒星赤纬岁差之理】

求巳角【赤经】

巳庚角旁弧二十三度三

十一分半

巳乙角旁弧一百四十一

度三十六分半

庚乙对弧一百六十五度

三边求角

余较子斗　四九五七七

初数午斗　二四七八八

对弧大矢庚亥一九六五九三

存弧大矢庚斗一四七○七六

两矢较亥斗　四九五一七

一　初数　午斗　二四七八八　大矢内减半径得二　两矢较亥斗　四九五一七　余检表得度以三　半径　丙氐一○○○○○　减半周得已角度四　角大矢亢氐一九九七六一　　　一百七十六度○二分置三象限以已角度减之得星距春分九十三度五十八分

求到甲申年老人星赤道经度在鹑首宫三度五十八分【以校戊辰年赤经九十三度三十九分及仪象志壬子年赤经九十三度五十一分可以见恒星赤经东移之理】

加减防法补遗

防法以两余相加减以两矢较偹四率其用巳简然有阙余无可加减阙矢度无可较者虽非恒用而时或遇之亦布算者所当知也

一加减变例

凡余必小于半径常法也然或捴弧适足半周则余极大即用半径为捴弧余　法以存弧余加减半径折半为初数【视存弧不过象限则相加存弧过象限则相减】又若角旁两弧同数则无存弧而余反大即用半径为存弧余　法以捴弧余加减半径折半为初数【视捴过象限或过半周则相加捴弧在象限内或过三象限则相减】

以上用半径为余者六

凡加减取初数必用两余常法也然或搃弧适足一象限或三象限或存弧适足一象限皆无余法即用一余折半为初数不湏加减【搃弧无余即单用存弧余存弧无余即单用搃弧余】

又或捴弧【适足象限或三象限】无余而两弧又同数【准前论即以半径为存弧余】或存弧【适足象限】无余而搃弧又适足半周【即以半径为搃弧余】

二者并以半径之半为初数不湏加减

以上无加减者六

一两矢较变例

凡两矢相较常法也然或其弧满象限则即以半径为矢【对弧满象限则以半径为对弧矢与存弧矢相较存弧满象限亦然亦即以半径与对弧矢相较】　防法视对弧存弧但有一弧满象限即命其又一弧之余为两矢较不更求矢【对弧满象限即用存弧余存弧满象限即用对弧余并即命为两矢较与上法同】

凡以矢较加存弧矢成对弧矢【正矢则对弧小大矢则对弧大】常法也然或有相加后适足半径者其对弧必足象限又有四率中无两矢较者以无存弧矢故也【凖前论角旁两弧同度无存弧则亦无存弧矢之可较】法即以对弧矢为用不必更求矢较　若角求对边其所得第四率即对弧矢若三边求角其所用苐三率亦对弧矢【余详后例】

设角旁两弧同度总弧在象限以内　求对角之边丙乙丁形

乙角一百一十度余三四二○二　乙丙　乙丁并三十度

两余相减　五○○○○　　丙庚

半之为初数　二五○○○　　丙癸

一　半径　寅已　一○○○○○

二　初数　丙癸　　二五○○○

三　【乙角大矢】　寅午　一三四二○二

四　【对弧矢】　丙甲　　三三五五○【四率本为两矢较因无存弧矢故即为对弧之矢

对弧余】　甲巳　　六六四五○