历算全书

巳　　六六四五○

求到对弧丁丙四十八度二十二分

论曰以半径为存弧余何也弧大者余小弧小者余大今存弧既相减而至于无则小之至也故其余亦大之至而成半径也　四率即为对弧矢何也弧大矢亦大弧小矢亦小既无存弧则亦无矢矣无矢则无可较故四率即对弧矢也　然则其比例奈何曰半径寅已与大矢寅午若正子丙与距等大矢丁丙亦即若初数丙癸与对弧矢丙甲

若三边求角则反其率

一初数　　二半径　　三对弧矢　　四乙角矢

若捴弧过三象限其法亦同

前图丁丑丙形

丑角同乙角

其所用四率以得对弧丁丙并同上法

若三边求角则反其率

一初数　　二半径　　三对弧矢　　　四丑角矢

一系　两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用设总弧满半周而较弧亦过象限　求对角之边前图卯丑丁形

丑角　　　七十度余　三四二○二　午已丑丁　一百五十度

丑卯　　　　三十度

相减　五○○○○庚丙

初数　二五○○○庚癸

存弧大矢一五○○○○庚卯

丑角矢　六五七九八午酉

一　半径　　　酉巳　　　　一○○○○○二　初数　　　丙癸【即庚癸】　　二五○○○

三　丑角矢　　午酉　　　　六五七九八

四　两矢较　　庚甲　　　　一六四四九

加存弧大矢庚卯　　　一五○○○○

得对弧大矢甲卯　　　一六六四四九

求到对弧卯丁一百三十一度三十八分

设三小边同数

求角

丙乙丁形

三边并三十度

求乙角

相减　五○○○○　丙庚

初数　二五○○○　丙癸

对弧【丁丙】三十度余　八六六○三　甲巳

矢　一三三九七　丙甲

一　初数　丙癸　　二五○○○

二　半径　寅己　一○○○○○

三　对弧矢丙甲　　一三三九七

四　乙角矢寅午　　五三五八八

余午巳　　四六四一二

求到乙角六十二度二十分　丁丙二角同

论曰此亦因存弧无矢故以对弧矢为三率也其比例为初数丙癸与对弧矢丙甲若乙丙正丙辰与丙丁距等矢则亦若寅巳半径与乙角矢寅午

一系　凡三边等者三角亦等

前图丁丑丙形　二大边同度一小边为大边减半周之余三边求角

其对弧丁丙亦三十度所用四率并同上法所得丑角六十二度二十分亦同乙角惟余两角【丁丙】并一百一十七度四十分皆为丑角减半周之余

若先有角求对边则反其率

又于前图取丁丑戊形

丑丁　　一百五十度

丑戊　　　　三十度

其对弧戊丁【一百五十度】为丑戊【三十度】减半周之余故所用四率亦同但所得矢度为丑外角之矢当以其度减半周得丑角【一百一十七度四十分】戊角同丑角丁角【六十二度二十分】即丑外角一系凡二边同度其余一边又为减半周之余与三边同度者同法但知一角即知余角其一角不同者亦为相同两角之外角

设角旁两弧同数而捴弧

足一象限求对角之边

子乙丙形

乙角一百度余　一七

三六五

初数　五○○○○　　丙辛【即半径之半】

一　半径　　壬巳　一○○○○○

二　初数　　丙辛　　五○○○○

三　乙角大矢壬丑　一　一七三六五

四　对弧矢　丙癸　　五八六八二

余癸巳　　四一三一八

求到对弧子丙六十五度三十六分

论曰半半径为初数何也凖前论半径即存弧余而捴弧无余无可相减故即半之为初数　问捴弧何以无余曰弧大者余小捴弧满象限则大之极也故无余　其比例可得言乎曰壬巳与壬丑若丙甲与丙子则亦若丙辛与丙癸　若所设为子戊丙形戊角同乙角一百度

【戊子戊丙】同为一百三十五度　捴二百七十度【满三象限】亦

无余亦如上法以半半径为初数依上四率求到对戊角之子丙弧六十五度三十六分

若三边求角则反其率

一初数　　二半径　　三对弧矢　　四角之矢

设角旁两弧之捴满半周而存弧亦满象限　求对角之弧　用前图子戊卯形

戊角　　八十○度余　一七三六五

子戊一百三十五度

卯戊　　四十五度

余无减半半径为初数五○○○○　己辛即庚甲存弧满象限半径为正矢一○○○○○　即卯巳半径

一　半径　辰巳　一○○○○○

二　初数　己辛　　五○○○○

三　戊角矢辰丑　　八二六三五

四　两矢较己癸　　四一三一七　即对弧卯子余对弧大矢卯癸　一四一三一七　【以两矢较加存弧矢得对弧大矢】求到对弧卯子一百一十四度二十四分

论曰捴弧以半径为余何也凡过弧大者余大过弧满半周则大之至也故其余亦最大而即为半径也　然则存弧又能以半径为矢何也弧大者矢大存弧既满象限故其矢亦满半径矣

问两矢较巳癸即对弧之余也何以又得为两矢较曰他存弧之矢有大小而不得正为半径故其与对弧矢相较亦有大小而不得正为余今矢既为半径较必余矣

若三边求角则反其率

一　初数　巳辛　　　其比例为巳辛与巳癸若丁甲二　半径　辰巳　　　与丁子则亦若辰巳与辰丑三　两矢较己癸

四　戊角矢辰丑

设对弧满象限　三边求角

乙丙甲形

对弧乙甲九十度　无余

求丙角

相加辰癸　一三五六二一

初数午癸　　六七八一○

对弧满象限矢即半径已甲一○○○○○

用防法即以存弧余癸已为矢较

一　初数　　午癸　　六七八一○

二　半径　　巳戊　一○○○○○

三　矢较　　巳癸　　四二二六二　即存弧余四　丙角矢　庚戊　　六二九○四

求到丙角六十八度一十四分

其比例为初数午癸与余巳癸若正壬辛与距等矢乙辛也亦必若半径己戊与角之矢庚戊

若先有丙角求对弧则反其率

一半径【戊巳】　二初数【午癸】　三丙角矢【戊庚】　四两矢较【巳癸】以所得四率与存弧矢甲癸【五七七三八】相加适足半径【成巳甲】命对弧乙甲适足九十度　防法视所得四率矢较与存弧余同数即知对弧为象限不必更问存弧之矢

设角旁两弧同数捴弧过象限

求对角之弧

辛乙丙形

乙角七十三度余二九二三七

相加折半为初数　八二一三九　癸丙

一　半径　己戊一○○○○○

二　初数　癸丙　八二一三九

三　乙角矢甲戊　七○七六三

四　对弧矢丁丙　五八一二四

余丁巳　四一八七六

求到对弧辛丙六十五度一十五分

若三边求角则反其率

一初数【癸丙】　二半径【巳戊】　三对弧矢【丁丙】四乙角矢【甲戊】

设角旁弧同数捴弧过半周其算并同

前图辛丑丙形

辛丑　丙丑并一百十五度

捴弧丙丑壬二百三十度余　六四二七九　庚巳丑角同乙角

其所用四率求对弧及三边求角并如上法

设捴弧满半周而存弧不过象限　求对弧

前图辛乙卯形

乙角　　一百○七度余　二九二三七　甲巳乙卯　　一百十五度

乙辛　　　六十五度

相加半之为初数　八二一三九　癸庚即子辰

一　半径　　寅巳　一○○○○○

二　初数　　庚癸　　八二三一九

三　乙角大矢寅甲　一二九二三七

四　两矢较　庚丁　一○六一五三　即辛未加存弧正矢庚卯　　三五七二一

得对弧大矢丁卯　一四一八七四

求到对弧卯辛一百一十四度四十五分

加减又法【解恒星暦指第四题三率法与加减防法同理】

弧三角有一角及角旁二边求对角之弧

法曰以角旁大弧之余度与小弧相加求其止为先得　次以角旁两弧相加视其度若适足九十度即半先得为次得【此大弧之余弧与小弧等】

若角旁两弧捴大于象限【此大弧之余弧小于小弧】则以大弧之余弧减小弧而求其以加先得然后半之为次得若两弧捴不及象限【此大弧之余弧大于小弧】则以小弧减大弧之余弧而求其以减先得然后半之为次得又以角之矢为后得

以后得乗次得为实半径为法除之得数为他一率　全数

二率　次得【即初数】

三率　后得【即角之矢】

四率　他【即两矢较】

并以他与先得相减为所求对角弧之余若他大于先得即以先得减他【不问何但以小减大右法不载测量全义而附见厯指人自江南来得小儿以燕家信以此为问谓与环中黍尺有合也乃为摘録以疏其义】

论曰此亦加减代乗除之一种也加减法以捴弧存弧之余相加减以取初数此则不用存弧而用存弧之余度【以余度取正即存弧之余故也】又不正用存弧之余度而用大弧之余度【以大弧之余度加小弧即存弧之余度故也】至其加减又不用捴弧而用大弧余度与小弧相减之较弧【以此较弧之正即捴弧之余故也】取径迂回而理数脗合非两法相提并论不足以明其立法之意也举例如后

乙丙丁形【有乙角及角旁二边】求对弧丁丙【以加减防法求得诸数与恒星厯指法相参论之

乙丙小弧乙丁大弧】正【甲丙辰庚】

【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】

【余并癸壬初数　癸甲　即辰寅】

【丁丙对庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】

【两矢较卯癸一　半径　　酉巳】

【二　角之矢　酉午三　初数　　甲癸即辰寅

四　两矢较　　卯癸　即丁子末以卯癸加癸丙得卯丙为对

弧矢乃查其度得对弧丁丙】

右加减法也

今改用恒星厯指之法　先以酉庚为角旁大弧【乙丁】之余弧【乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉即乙丁之余】又以牛酉当角旁小弧乙丙【乙酉与牛丙皆象限内减同用之丙酉同乙丙】二者相加成牛庚取其正戊庚是为先得次视角旁两弧【乙丙乙丁】之捴【丙戊】大于象限【丙辛】法当以大弧余度去减小弧得较【于同小弧之午酉内减同大弧余度之氐酉其较牛氐与牛房等】而取其【牛氐较与牛房等则氐井与房井等而即与危戍等是危戌即牛氐较之也】以加先得【以危戍加戌庚成危庚】然后半之【危庚半之于未成未庚】为次得

又以乙角之矢【午酉】为后得与次得【未庚】相乗为实半径为法除之得他【亥庚】

未以他【亥庚】减先得【戌庚】其余亥戌为对弧【丁丙】之余【查表得对弧】

论曰牛庚之正戍庚与癸巳平行而等即存弧之余也【牛庚为小弧与大弧余度之并实即存弧丙庚之余度故戌庚即同癸巳】次得未庚与甲癸平行而等即初数也【以危戍加戌庚而成危庚犹捴存两余相加成癸壬也危庚既同癸壬则其半未庚亦同甲癸】他庚亥与卯癸平行而等即两矢较也末以他与先得相减而得对弧余犹以两矢较与存弧之矢相加而得对弧之矢也【两矢较即两余较也故加之得矢者减之即得余】然则此两法者固异名而同实矣又论曰加减本法用大弧小弧之捴与较取其余以相加减今此法则用大弧余度与小弧之捴与较而取其正以相加减【如牛庚是大弧余度与小弧之捴牛氐是大弧余度与小弧之较】用若相反而得数并同者何也曰余弧与正弧互为消长其数相待是故大弧之余度大于小弧则捴弧不及象限矣大弧之余度小于小弧则捴弧过象限矣捴弧过象限宜相加此条是也捴弧不及象限宜相减后条是也宜加宜减之数无一不同得数安得而不同【得数谓初数也在此法则为次得】

又论曰此法之于加减法犹甲数乙数之于初数次数也初数次数用余甲数乙数用正加减法用余此法用正所以然者皆以角旁之弧半用余度也【甲数乙数法内一弧用本度一弧用余度此法小弧用本度大弧用余度】一加减法乃有四用其省乗除并同而繁简殊矣

乙丙丁形

有乙角及角旁二边

求对弧丁丙

【乙丙小弧乙丁大弧】正【申丙辰庚】

【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】

【余较壬癸初数癸甲】

【丁丙对弧庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】

【两矢较卯癸一　　半径　酉巳】

【二　角大矢　酉午三　　初数　甲癸】

【四　两矢较　卯癸】

【末以卯癸加癸丙成卯丙为对弧矢查其余得对弧丁丙】

右加减法也

今依恒星法改用大弧之余度【庚酉即午丁】与小弧【牛酉即乙丙】相加【成牛庚即存弧丙庚之余度】求其正为先得【戍庚同巳癸即存弧之余】次视两弧之捴【戊丙】不及象限法当以小弧减大弧余度【取氐酉如酉庚以牛酉减之】得较【氐牛与牛房等】取其正【女房即女氐亦即戍危】以减先得【戍危减戌庚余危庚与癸壬等】然后半之【危庚半之于虚成庚虚与甲癸等】为次得又以【乙】钝角大矢【午酉】为后得与次得相乗为实半径为法除之得他【亢庚与卯癸等】末以他【亢庚】减先得【戍庚】其余戍亢【即卯巳】为对弧余查表得对弧丁丙

一率　半径　酉巳

二率　次得庚虚【即初数甲癸】

三率　后得午酉【即角大矢】

四率　他　亢庚【即两矢较卯癸】

乙丙丁形【有丙角及角旁二边】求对弧丁乙

法以【丁丙】大弧之余【午丁即酉甲】与小弧【乙丙即戊酉】相加【成甲戊】求

其正【庚甲】为先得次视两弧

之总【丑乙】适足象限即半先得

为次得【癸甲或癸庚】又以角之大矢【午酉】为

后得乘之【午酉乘癸甲】半径【酉巳】除之

得他【卯甲即壬未】以减先得【甲庚】得

对弧余【卯庚即壬巳】查表度得对弧【丁乙】

解曰此因大弧之余酉甲与小弧戊酉同数则无加减故即半先得为次得也在加减法则为总弧无余而即半存弧余为初数

丙戊丁形【有戊角及角旁二边】求对弧丁丙

如法以大边【丙戊】之余【卯丙即癸庚】与小弧【丁戊即癸辛】相加【成辛庚】取

其正【庚乙】为先得次眎角

旁两弧之捴【辰丁】大于象限法

当以癸庚减癸辛得较子辛

【即辛井】而取其正【子斗即井斗亦即乙】

【甲】以加先得【乙庚】而半之【甲庚之半为甲丑】为次得又以角之大矢【卯癸】为后得以乗次得为实半径为法除之得他【牛庚】末以他【牛庚】与先得【庚乙】相减得【牛乙即壬巳】为对弧之余查余度以减半周得对弧丁丙

解曰此为他大于先得故反减也在加减法则所得为对弧大矢与存弧小矢之较而两矢较即两余并也故减存弧余得对弧余

补求经度法

法用角旁两弧【大弧用余度小弧用本度】相加得数取正为先得又相减得较取正以与先得相加减【角旁两弧大于象限则相加若小于象限则相减】而半之为次得【若角旁两弧并之足一象限则径以先得半之为次得不须加减】用为首率　次以对角弧之余与先得相加减得他为次率【对弧大于象限相加小于象限则相减】　半径为三率　求得角之矢为四率【正矢为鋭角大矢为钝角】

假如丙戊丁形有三边求戊角【借用前图】

一　次得　甲丑【乃先得甲庚之半】即庚丑

二　他　　壬酉【即牛庚乃对弧余加先得因对弧大故相加】

三　半径　　巳癸

四　钝角大矢卯癸【卯癸大矢内减巳癸半径为余查表得度以减半同为戊钝角之度】论曰角求对边者求纬度也三边求角者求经度也二者之分祗在四率中互换无他缪巧厯指注云求纬用正求经用切线殊不可晓及查其后条用例亦无用切线之法殆有缺误厯书中如此者甚多故在善读耳加减通法

加减代乗除之法以算三边求角及二边一角求对角之边皆斜弧三角之难者也其算最难而其法益简故凡算例中两正相乗者即可以加减代之则虽正弧诸法实多所通故谓之通法

法曰凡四率中有以两正相乗为实半径为法者皆可以初数取之　有以两余相乗为实半径为法者皆可以次数取之　有以余与正相乗为实半径为法者皆可以甲乙数取之

假如正弧形有角有角旁弧而求对角之弧【此如有春分角有黄道而求距度】本法当以角之正与角旁弧之正相乗为实半径为法除之也今以初数取之即命为所求度正

设黄道三十度求黄赤距度

【春分角二十三度三十一分半黄道　三十○度】

【捴弧　五十三度三十一分半存弧　　　六度二十八分半】余【五九四四七九九三六二】用初数为正检表得度　【相减三九九一五折半一九九五七即初数】

求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒

又设黄道七十五度求黄赤距度

【春分角二十三度三十一分半黄道　七十五度】

【捴存】弧　【九十八度三十一分半五十一度二十八分半】余【一四八二四六二二八五】用初数为正检表得度　　【相加七七一○九折半三八五五四】

求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒

又如句股方锥法有大距有黄道而求距纬本以大距正黄道余相乗半径除之也今以甲数取之设黄道六十度求距纬【句股方锥黄道以距二至起算下同】

【黄赤大距二十三度三十一分半黄道　　六十○度】

【捴弧　　八十三度三十一分半存弧　　三十六度二十八分半】正【九九三六二五五四四七】用甲数为正检表得度　　　【相减三九九一五半之一九九五七为甲数】

求到距纬一十一度三十○分四十二秒

设黄道一十五度求距纬

【黄赤大距二十三度三十一分半黄道　　一十五度】

【捴存】弧　　【三十八度三十一分半八度三十一分半】正【六二二八五一四八二四】用甲数为正查表得度　【相加七七一○九半之三八五五四为甲数】

求得距纬二十二度四十分三十九秒

又如次形法本以一正与一余相乗半径除之得所求之余今以初数取之

设甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙边而求乙角本法为半径与丙角正若甲丙余与乙角余今以初数即命为乙角余　【丙角度　甲丙余度】相【并减】为【捴存】弧各取其

余如法相加减而半之成初数即命为乙角余本法用正与余相乗而亦以初数取之何也曰甲丙余实次形丁丙正也故仍用初数

假如斜弧形作垂弧法本为半径与角之正若角旁弧之正与垂弧之正也今以初数即命为垂弧正设丁乙丙形有乙鋭角有丁乙边求作丁甲垂弧　【乙角度乙丁弧】相【并减】为【捴存】弧而取其余如法相加减而半之成初数即命为丁甲垂

弧正

设丁乙丙形乙为钝角而先有丁乙边其法亦同　【乙外角丁乙边】相【并减】为【捴存】弧而各取其余如上法取初数命为甲丁垂弧正

又如弧角比例法本为角之正与对角边之正若又一角之正与其对边之正今以初数进五位即为两正相乗之实可以省乗

设乙甲丙形有丙角甲角有乙甲边求乙丙边本以甲角正与乙甲正相乗为实丙角正为法除之得乙丙正今以甲角度与乙甲弧相并减为捴存弧如法取初数进五位为实以丙角正除之亦得乙丙正【若有乙丙边求丙角则以乙丙边正为法除之即得丙角之正】

又如垂弧防法本以两余相乗为实又以余为法除之而得所求之余今以次数进五位为两余相乗之实即可省乗

设甲丁亥钝角形有亥甲边有亥丁边有引长之丁巳边而求甲丁边本法为亥巳边之余与亥甲边之余若丁巳边之余与甲丁边之余也　今以次数代乗

【亥甲丁巳】二弧相并为捴弧相减为存弧

而各取其余如法相加减而半之

为次数下加五○即同亥甲与丁巳

两余相乗之实但以亥巳边之余

为法除之即得甲丁边之余

进五○何也曰初数者两正相乗半径除之之数故必进五位即同两正相乗之实矣　次数进位之理仿此论之

补加减防法

设壬丙甲弧三角形

甲壬边适足九十度　丙甲边八十三度　对弧壬丙五十九度

求甲角

法曰角旁有一边

适足九十度则总

存两余同数当

以余即命为初

数　依法求得五

十八度四十四分

为甲角

存矢　申丙　　　七四五

矢较　戊申　四七七五一

一　初数　九九二五五已申

二　矢较　四七七五一戊申

三　半径一○○○○○己癸　查表得五十八度四十四分四　【角之矢】　四八一○九壬癸

余　五一八九一壬巳

论曰此即算带食法也凡算带食其差角必在地平壬甲九十度即髙弧全数丙甲八十三度月距北极也癸丙七度黄赤距度也壬丙对弧极距天顶也其余己戊即极出地正所求甲角月出地平时地经赤道差也

防法以黄赤距度余与极出地正相减余进五位为实仍以距度余除之得差角矢

解防法曰极出地正即对弧余黄赤距度余即存弧余两余之较即矢较也

又解曰巳乙即己申亦即未丙并小弧甲丙正也【即存弧癸丙之余】未丙与戌丙若己癸与壬癸全与分之比例也又解曰初数是两正相乗半径除之之数今甲壬边之正即半径故省乗除竟以甲丙正为初数又设壬甲辛钝角形【即用前图】　壬甲邉适足九十度　辛甲邉九十七度　对邉辛壬一百二十一度　求甲角依法求得甲钝角一百二十一度一十六分