测圆海镜

为同数与左相消得□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问

又法曰以二数相乘为实相减为从一虚法平开得半径

草曰别得二数相并为大股内少一虚勾其二数相减为大差也立天元一为半径副置之上位减于四百八十得□□为股圆差【即大差股也】下位加七十二得□□与股圆差相乘得下式□□□为一大差积【寄左】再以大差勾减于大差股余□□为较又加入大差四百单八共得□□为较共也以天元乘之得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步即半径合问　前法太烦故又立此法以就简也

或问乙出南门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望见乙与城防相直又就乙行四百零八步与乙相防问答同前

法曰二行步相减以乘甲南行步为实甲东行步内减相减步为益方一步常法得半径

草曰识别得二行相减余七十二步即是乙出南门东行数也更不湏用遂立天元一为半城径加乙东行得□□为小勾也副置南行步上减天乙得□□为小股下加天元得□□为大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此为大勾也【内带小股分母】又倍天元以小股乘之得下式□□以减于大勾得□□□为勾圆差也合以股圆差乘之縁此勾圆差内已带小股分母【小股即股圆差也】更不湏乘便以此为半段黄方幂【更无分母也】寄左乃以天元自之又倍之得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙出东门直行不知歩数而止甲出西门南行四百八十步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相会问答同前

法曰半南行步减半斜行步以乘南行步为实从方空半斜行半南行相减得数加入南行步为隅法得半径

草曰识别得二行相减余六十四步即半径为股之勾也立天元为半径就以为小股其二行相减余六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□为大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□为大勾又倍天元一减之得下式□□□为勾圆差也半之得□□□于上乃以天元减甲南行步得□□为股圆差以乘上位得丨□○□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

按此问以小股为除法盖因小股只一天元其数不二犹有可除之理也然得数降于实数之下者皆不可以命名至开方时仍湏各升一位以计之是两边各加一乘犹是寄分之理也

又法以二数差乘二数并开方得边勾复以边股乘之为实并二数而半之为法实如法得二百四十步即城径【此盖用前勾上容圆法也】

或问乙从干地东行不知几步而止甲出西门南行四百八十步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相防问答同前

法曰并二行数以二行差乘之内减二行差幂为实并二行步及二行差为从方二步常法得半径草曰识别得二行相减余二百步即半圆径与小差勾之共数也立天元一为半城径加于二百步得□□为大勾也又以天元加于甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□为勾幂【寄左】乃置乙斜行六百八十步为大加入大股共得□□于上再置二行差内减天元得□□为小差勾即股较以乘上位得□□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

又法求小差二行相减以自之又四之为实二行相减八之于上二之南行步内减二之二行相减数又以加上位为益方二步常法

草曰立天元一为小差减二行差得□□为半城径以自之得丨□□又四之得□□□为圆径幂【寄左】然后以半城径减于甲南行得□□又倍之得□□为两个大差也又以天元乘之得□□○为同数与左相消得下式□□□以平方开之得八十步为小差也

或问乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城防相直复就乙斜行二百五十五步与乙相防问答同前

法曰甲南行内减二之两行差余以乘甲南行又倍之为实二步为隅得半径

草曰别得二行步相减余二百二十五步乃是半径为勾之股也立天元一为半城径就以为小勾率其二行差二百二十五步即为小股率乃置甲南行步加入天元得□□为大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除【按此所谓不受除乃其数竒零不能尽非无可除之理也与前辞同而意异】便以此为大勾【内寄小股分母】乃倍天元以小股乘之得□以减大勾余丨□为一个小差于上【内寄小股分母】乃以天元减甲南行步得□□为大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□为圆径幂【内寄小股分母】寄左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□为同数与左相消得□○□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

按此题止用股求勾法即得城半径其必展转数次而后始得者益见其为发明立天元一之术使人易晓也后多有仿此者

或问乙出南门直行一百三十五步而止甲出西门南行四百八十步望乙与城防相直问答同前

法曰二行步相减余以自乘内减乙行幂为实二之甲南行为益从一步常法得半径

草曰立天元一以为半径便以为勾率又以天元加乙行步并以减于甲行步得□□为股率乃置乙南行步一百三十五步为小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此为小勾【内寄股率分母】又置乙南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此为大勾【内寄股率分母】以小勾大勾相乘得□□□为半径幂【内带股率幂为分母】寄左然后置天元以自乘又以股率幂乘之得丨□□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

按此草得数为九百六十立方少一三乘方与十万零八百平方等皆虚数也各降二位即如各以平方除之乃为九百六十元少一平方与十万零八百步等两数等所降之位又等则两数仍相等而实积步数乃出矣故可以带纵平方开之也此系降位而得实数者与前升位而得实数者其理互相发明草中不言盖以为不待于言也

或问甲乙二人同出西门向南行至西南十字道口分路乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙与城防相直问答同前

法曰两行相乘得数又以乙东行乘之为实二行相乘于上位又置乙东行以二行相减数乘之得数加上位为法

草曰立天元一为半城径副置上位加南行步得□□为大股也下位减于甲行步得□□为小股也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□为母便以为大勾也置天元以母通之得□□减于大勾得丨□□为半个矮梯底于上再置乙东行内减天元得下式□□为半个矮梯头以乘上位得下式□□□□为半径幂寄左再置天元以自之为幂又以分母乘之得□□□为如积与左相消得□□上法下实得一百二十步即城之半径也合问

按草中相消法皆得两边数此独得一边二数盖此条共数比彼条共数少一数又多一数为相等则多少二数其必为相等无疑矣多少数多者亦仿此此又相消法中之一变也

又法二行步相乘为实倍甲南行内减乙东行为法草曰立天元一为半城径副置上位加甲南行得□□为大股下位减甲行步得□□为小股便是股圆差也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□为母便以为大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以减于大勾余□□□为勾圆差也合以股圆差乘之縁内已有小股分母不湏乘便以此为两段之半径幂也更无分母【寄左】然后置天元幂以二之得□□为如积以左相消得□□上法下实得一百二十步即半城径也合问

或问见边股四百八十步□三十四步问答同前【此题在甲乙二人同出西门南行至十字道乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望见乙与城防相直之后】

法曰□乘边股半之为实半□半边股相并为从半步隅法平方得□股

草曰立天元一为□股加□得□□为平勾也又以天元减边股而半之得□□为髙股也平勾髙股相乘得□□□为半径幂【寄左】然后以天元乘边股得□为同数与左相消得下式□□□开平方得□股三十步以乘边股开平方倍之即圆城径也合问按此问原稿在三卷末

或问见边股四百八十明一百五十三问答同前法曰二云数相减复倍之内减边股复以边股乘之于上又以明幂乘上位为实以边股乘明幂又二之为从二云数相减余以自之为第一亷二云数相减又倍之为第二益亷一常法开三乘方得明勾草曰立天元一为明勾加明得□□为髙股也以髙股减边股余□□为髙以倍之得□□为黄广也内减边股得□□为□股复以边股乘之得□□于上又以明自乘得二万三千四百零九为分母以乘上位得□□为分半径幂【寄左】然后置黄广以天元乘之得□□复合以明除之不除寄为母便以此为全径又半之得□□为半径以自之得□□□为同数与左相消得下式丨□□□□开三乘方得七十二步即明勾也余各依法求之合问

又法边股内减二明以边股乘之复以明幂乘之为三乘方实亷从并同前

草曰识别得二数相减余为髙股虚共又为髙明勾共此余数内又去半径即明和也明和明相并即股圆差相减则明黄方也又倍明加明黄亦得股圆差也边股内减明勾余即大差也立天元一为明勾减于云数相减数得□□即髙也以髙减边股得□□即髙股也以髙股减于云数相减数得□□即虚也以天元又减虚得□□即□股也乃置髙以天元乘之得□□合明除之不受除便以此为髙勾也【即半径】髙勾自之得丨□□□为半径幂【内带明幂分母】寄左然后置边股以□股乘之得□□为半径幂又以明幂二万三千四百零九分母通之得□□为同数与左相消得实从亷隅五层如前式

或问边股四百八十步髙二百五十五步问答同前法曰以边股减于二之髙复以边股乘之开平方得半径

草曰立天元一为半径先倍髙内减边股余□复以边股乘之得□□寄左以天元幂与左相消得丨□□开平方得数倍之即城径也合问

或问边股四百八十步平一百三十六步答问同前法曰置平以边股再乘之为实以边股自之为益从平为益亷一虚隅开立方得半径

草曰别得平即皇极勾也立天元一为半径副之上位加平得□□即边勾也下位减于平得□□即□勾也置□勾以边股乘之得□□合边勾除今不受除寄为母便以此为□股乃以此边股乘之得□□为半径幂【内边勾分母】寄左然后以天元为幂以分母边勾乘之得丨□□为同数与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问

或问边股四百八十步明股明和二百八十八步问答同前

法曰以云之云数相减余加边股复以减余乘之讫又折半于上又以减余自之减上位为实并云数半之为法得明勾

草曰别得二数相减余为大差勾立天元一为明勾减于大差勾得□□即半径也又以天元减半径得□□为虚勾于上又以半径加边股得□□为通股于下上下相乘得□□□折半得丨□□为半径幂【寄左】然后以半径幂丨□□为同数与左相消得□□上法下实得七十二步即明勾也合问

或问见边股四百八十步□勾□和五十步问答同前

法曰半边股半和步相并得为泛率以泛半减边股以自之又二之于上以和步乘泛率减上位为实以泛率减边股六之于上内又加半个边股三个和步为益从三步常法得□股

草曰别得和步得□股即小差也小差边股共即二中差【按此句误】立天元一为□股加和步得□□即小差也以小差加边股而半之得□□即中差也中小差相并得□□即大差也以小差乘之得□□□为半段径幂【寄左】然后置边股内减大差得□□为半径以自之得□□□又倍之得下式□□□与左相消得下式□□□开平方得三十步即□股也合问按草云以小差边股共即二中差有误盖中差即勾股较小差即股较边股即勾较与容圆半径和若设勾二十股二十一二十九则勾较九容圆半径六并之得十五为边股股较八为小差小差边股共得二十三勾股较一为中差倍之仅得二则相差二十一矣是知细草乃因题数之偶合而误非正法也今依其术另设法草于后以补其阙

法曰以□勾和自之边股再乘为实倍边股加□勾和再以□勾和乘之为从又倍□勾和减边股余为益亷一为隅纵立方开之得□股草曰别得边股即髙股和□股即髙股差□股和即平勾也立天天一为□股自之得丨□应以□勾和除之不除便以为□勾较【内寄□勾和分母】转以□勾和自之得□为□勾和加□勾较得丨○□为倍□又以□勾和分母乘倍□股得□为倍□股与倍□相加得丨□□为倍□股和即倍平勾又于边股内减□股得□□为倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□为圆径幂寄左又以边股□股相乘得□为半径幂四因之得□为圆径幂又以□勾和分母乘之得□为同数与左相消得丨□□□开带纵立方得□股三十步合问

测圆海镜卷三

<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜>

钦定四库全书

测圆海镜卷四

元　李冶　撰

底勾一十七问

或问乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之就乙斜行二百七十二步与乙相防问答同前

法曰二行差数乘甲东行又四之为平方实得全径草曰识别得二行相减余即乙出南门东行数也以甲东行减于就乙斜行余七十二步以乘甲东行歩得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问

或问乙从坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百步见之问答同前

法曰二行步相乘倍之为实乙南行为从一步常法得城径

草曰立天元一为城径以减于二之甲东行步得【□】□为两个小差以乙南行步乘之得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得二百四十步即城径也合问

又法半之乙南行步乘甲东行为实半乙南行为从一步常法得半径

草曰立天元一为半城径减甲东行得□□为小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙从坤隅东行一百九十二歩而止甲出北门东行二百步见乙问答同前

法曰两行步相乘为实甲东行为从乙为隅得半径草曰立天元一为半径减于乙东行得□□以甲行步乘之得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步见乙问答同前

法曰以乙南行步乘甲东行幂又四之为实从空乙行为亷一步常法得城径

草曰立天元一为城径加乙南行得□□为股率其甲东行即勾率也其乙南行□为小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此为小勾【寄股率为母】乃以甲东行步乘之得□　又四之得□为一段城径幂【寄左】然后以天元城径自之又以股率分母通之得丨□□为同数与左相消得下式丨□□□以立方开之得二百四十步即城径也合问

又法二行相乘又以自乘为实以二行相乘倍之为益方南行幂为亷八步益隅立方开得小勾七十二草曰立天元一为小勾以南行为小股以东行二百步为大勾也置大勾内减天元得□□为中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□为中股即城径也以自之得□□□为城径幂也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□为同数与左相消得□□□□开立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步为实平方开得一百二十步倍之即城径也合问

又法求半径以南行步乘东行幂为实从空东行步为亷二步常法得半径

草曰立天元一为半径以二之加南行步得□□为股率以东行□为勾率以南行为小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此为小勾也又以勾率乘之得下式□为半径幂【寄左】再立天元半径以自之又以分母股率乘之得□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙出东门南行三十步而止甲出北门东行二百步望乙与城防相直问答同前

法曰以甲东行步乗乙南行幂为实以乙南行幂为从甲东行内减二之乙南行为益亷一步隅得半径草曰立天元一为半城径减于甲东行步得□□为小勾以天元加于乙南行步得□□为小股乃以天元加东行步得□□为大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此为大股【内带小勾分母】又置天元半径以分母小勾乘之得□□减于大股余□□□以乙南行步乗之得□□□为半径幂【内有小勾分母】寄左然后以天元为幂又以小勾通之得□□□为同数与左相消得下式□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问【翻法在记】

又法乙南行乘甲东行为平实二数相减为法一隅翻开得半径

草曰别得二数相并为大勾内少一虚股其二数相减为小差也　立天元一为半径副置之上位减于二百步得□□为勾圆差【即小差勾也】下位加三十步得□□为小差股勾股相乘得□□□为一段小差积【寄左】再以小差勾减小差股余□□为一较也又以此较减于小差得下式□□为一个较较以天元一乘之得下式□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步即半城径也合问【翻法在记】再立此法者盖从简也

按此乃以小差勾为平上较较半径为平股故以小差上较较与半径相乘等于平上较较与小差股相乘为一段小差积也

或问乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城防相直复就乙斜行一百七十步与乙相防问答同前

法曰以二行差乘甲东行为实甲就乙斜行为方一步常法得半径

草曰识别得二行相减余三十步即乙出东门南行步也【更不湏用】立天元一以为半城径加乙南行得□□为小股副置甲东行步上位减天元得下式□□为小勾下位加天元得□□为大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此为大股【内小勾分母】又倍天元以小勾乘之得□□以减于大股得□□□又倍之得下□□□为两个股圆差合以勾圆差乘之縁为其中已带小勾分母更不须乘便以此为黄方幂【更无分母】寄左然后倍天元以自之得□□为同数与左相消得□□□上下俱半之【俱半之者盖从简也】得□□□以平方开之得一百二十步倍之即半径也合问

或问乙出南门直行不知步数而止甲出北门东行二百步见之复就乙斜行四百二十五步与乙相防问答同前

法曰倍两行差以乘二之甲东行为实从空四之甲东行于上倍两行差加上位为隅得半径

草曰识别得二行差二百二十五步即半径为勾之股也立天元一以为半径便是小勾其二行差便是小股乃置甲东行步加天元得□□为大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□为大股又倍天元以减之得□□□为股圆差又倍之得□□□为两个股圆差于上乃以天元减甲东行得□□为勾圆差以乘上位得下式□□○□为城径幂【寄左】然后倍天元一以自之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问【按此系得数各升一位然后开平方】

又法并二数以二数差乗之开方得底股复以甲东行二百步乘之为实并二数而半之以为法如法得二百四十步即城径也合问【此用股上容圆求之比前法极为简易】

或问乙从干隅南行不知步数而止甲出北门东行二百步望见之复就乙斜行六百八十步与乙相会问答同前

法曰并二行以二行差乘之内减二行差幂为实并二行步及二行相减数【按即倍乙斜行】为从二步常法得半径

草曰识别得斜行六百八十步即大也其二行相减余四百八十步即乙南行步内减半径也立天元一为半城径副置之上位加二行相减数得□□为大股也下位加甲东行步得□□为大勾也乃以大股自增乘得丨□□为大股幂【寄左】乃并大勾大得□□于上又以大勾减大得□□为大差以乘上位得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问

又法求大差

法曰二行差自乘为实置二之二行差于上乃以甲东行步减二行差又半之以减于上为益方【按三因斜行步二因东行步相减折半亦同】半步常法

草曰立天元一为大差减于二行差得□□为半城径以自之得丨□□为半径幂【寄左】乃以半城径减于甲东行得下式丨□为小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□为同数与左相消得下式□□□以平方开之得三百六十步即大差也合问

或问乙出东门不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城叅相直复就乙斜行一百三十六步与乙相防问答同前

法曰甲东行步内减二之二行差【按倍斜行步内减东行步亦同】余以乘甲东行为实一步常法得半径

草曰别得二行相减余六十四步即半径为股之勾立天元一为半城径就以为股率其二行差即勾率也乃置甲东行步加天元得□□为大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此为大股【内勾率分母】乃倍天元以勾率乘之得□以减大股得丨□为一个大差于上【内勾率分母】乃以天元减甲东行得□□为小差以乘上位□□□为半段黄方幂【内寄勾率为母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□为同数与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙出东门直行一十六步而止甲出北门东行二百步望见乙与城叅相直问答同前

法曰二行步相减余以自乘内减乙东行幂为实二之甲东行为益从一步隅法得半径

草曰立天元一以为半城径加乙行步并以减于甲行步得□□为平勾率其天元半径即平股率也乃置乙东行一十六步为小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此为小股【内带勾率分母】又置乙东行加二天元得□□为大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此为大股【内寄勾率为母】以此小股大股相乘得□□□为半径幂【内寄勾率幂为母】寄左然后以勾率幂乘天元幂得丨□□□为相同数相消得□□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问【按此系得数各降二位然后开平方】