测圆海镜

一十六步为小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此为小股【内带勾率分母】又置乙东行加二天元得□□为大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此为大股【内寄勾率为母】以此小股大股相乘得□□□为半径幂【内寄勾率幂为母】寄左然后以勾率幂乘天元幂得丨□□□为相同数相消得□□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问【按此系得数各降二位然后开平方】

或问甲乙二人同出北门向东行至东北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向东行甲前后通行了二百步廻望乙恰与城相直问答同前法曰以二行步相乘于上又以南行步乗之为实二行步相乘于上又以乙南行减于甲东行得数复以乙南行乘之加上位共为法得半径

草曰立天元一为半城径副之上位加甲行步得□□为大勾也下位减于甲行步余□□为小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以母乘之得□□减于大股余丨□□为半个矮梯底于上【内寄小勾为母】再置乙折行步内减天元得□□为半个矮梯头以乘上位得□□□□为半径幂【寄左】乃以小勾分母乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□上法下实如法而一得一百二十步即城之半径也合问

又法　　法曰二行步相乘为实倍甲东行内减乙南行为法

草曰立天元一为半圆径副之上位加甲东行得□□为大勾下位减甲东行得□□为小勾此小勾便是勾圆差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□内寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以减于大股余得□□□为股圆差也合以勾圆差乘之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此为两段之半径幂也更无分母【寄左】再置天元以自之又二之得□□为同数与左相消得□□上法下实一百二十步即半城径也合问

或问见底勾二百步明一百五十三步问答同前法曰半底勾乘明为平实并二云数而半之为从五分常法得明勾

草曰立天元一为明勾加明得□□为髙股也又以天元减底勾而半之得下式□□为平勾也勾股相乘得□□□为半径幂【寄左】然后以天元乘底勾得下式□为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即明也以明乗底勾为平方实如法开之得一百二十步倍之即城径也合问

或问见底勾二百步□三十四步问答同前

法曰底勾□相减余倍之内减去底勾【按倍□减底勾亦同】复以底勾乗之于上又以□幂乘上位为三乗方实倍底勾以□幂乗之为从二云数相减余以自之为第一亷二云数相减余又倍之为第二益亷一步隅法得□股

草曰立天元一为□股加□得□□为平勾以平勾减底勾余□□为平以倍之得□□为黄长也此内却减底勾余得下式□□为明勾也复以底勾乘之得□□于上又□自乘得一千一百五十六为分母以乗上位得□□为带分半径幂【寄左】然后置黄长以天元乗之得□□合以□除之不除寄为母便以此为全径也以半之得□□为半径【内带□分母】以自之得丨□□□为同数与左相消得丨□□□□开三乗方得三十步即□股也余各依数求之合问

又法底勾内减二□复以底勾乘之复以□幂乘之为三乗方实余亷从并与前同

草曰识别得二数相减余一百六十六为平勾虚共又为平□股共于此余数内又去半径即□和也□和□相并即勾圆差也相减则□黄方也又倍□加□黄亦得勾圆差也底勾内减□股余即小差也　立天元一为□股减于云数相减数得□□为平以平减底勾得□□即平勾以平勾减于云数相减数得□□即虚以天元又减虚得□□即明勾也乃置平以天元乘之得□□合□除不除寄为母便以此为平股也【即半径】平股自之得丨□□□○为半径幂【内带□幂分母】寄左然后置底勾以明勾乗之得□□又以□幂一千一百五十六通之得下式□□为同数与左相消得丨□□□□亷从一一如上

或问见底勾二百步平一百三十六步问答同前法曰倍平内减底勾复以底勾乗之开平方得半径

草曰立天元为半径先倍平内减底勾余□为明勾复以底勾乗之得□为半径幂【寄左】然后以天元幂为同数与左相消得丨□□开平方得一百二十步又倍之即城径也合问

或问底勾二百步髙二百五十五步问答同前法曰底勾幂乗髙为立实底勾幂为从髙为亷一为隅得半径

草曰识别得髙即皇极股也立天元一为半径副之上位加髙得□□即底股也下位减于髙得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄为母便以此为明勾又以底勾乗之得□□为半径幂【内带底股分母】寄左然后以天元幂乗底股得丨□□与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问

或问底勾二百步□勾□和五十步问答同前法曰以二云数相减余加底勾复以减余乗之半之于上以减余自之减上位为实并云数半之为法得□股

草曰别得二数相减余为小差股立天元一为□股减于小差股得□□即半径也又以天元减半径得□□为虚股于上又以半径加底勾得□□为通勾于下上下相乗得□□□折半得丨□□为半径幂【寄左】然后以半径自之得下式丨□□为同数与左相消得□□上法下实得三十步即□股也合问

或问见底勾二百步明股明和二百八十八步问答同前

法曰二数相减又半之得数又减于底勾余为泛率以泛率自之又倍之于上位又二数相减而半之以乗和步所得减于上倍为实倍泛率于上位又半底勾减和步加上位为法得明勾

草曰别得和步得明勾为大差也大差得底勾为二中差　立天元一为明勾加和步得□□为股圆差也【即大差】内又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也【此即中差】置大差减中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□为半段圆径幂【寄左】乃置底勾内减小差得□□为半径以自之得□□□倍之得下式□□□为同数与左相消得□□上法下实得七十二步即明勾也合问

按此条法草与三卷末以小差边股共为二中差者同误依问另设于后

法曰以底勾乘明股和幂为实倍底勾以明股和乗之加入明股和幂为从倍明股和内减底勾为亷一为隅开带纵立方得明勾

草曰别得明得明勾为髙股髙勾即半径也底勾为平勾和明勾为平勾较平股即半径也立天元一为明勾自之得丨□应以明股和除之不除便以为明股较【内寄明股和分母】明股和自之得□为股和以加股较得丨□□为倍明以分母乗倍天元得□为倍明勾与倍明相加得丨□□为倍髙股置底勾减天元得□□为倍平勾与倍髙股相乘得□□□□为城径幂【内寄明股和分母】寄左又倍天元与倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□为相同数与左相消得丨□□□开立方得明勾合问

测圆海镜卷四

钦定四库全书

测圆海镜卷五

元　李冶　撰

大股一十八问

或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从干隅南行六百步望乙与城叅相直问答同前

法曰倍二行差内减甲南行步复以乗甲南行步为实【倍二行差减甲南行步即是甲南行步内减二之乙南行也】四之甲南行步内减二之乙南行为从方四为益隅开平方得半径草曰立天元一为半径以二之加乙南行步得□□为中股以中股又减于甲南行步得□□为股率其天元半径即勾率也置甲南行为大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此为大勾【内股率分母】再置天元以二之以股率乘之得□□减于大勾余□□为勾圆差于上【内有股率分母】又以二之天元减甲南行得□□为大差以乘上位得□□□为半段黄方幂【内寄股率分母】然后以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙出南门东行七十二步而止甲从干隅南行六百步望乙与城叅相直问答同前

法曰云数相乘为平实甲南行为从二益隅得半径草曰别得虚勾乗通股得半段圆径幂此与虚股乗通勾同立天元一为半径内减乙东行得□□为虚勾以乘甲南行得□□为半段径幂【寄左】再以天元为幂又倍之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步即城径也合问

或问乙出东门直行一十六步甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

法曰以乙东行乘甲南行幂为实二之乙东行乘甲行为从方亷空二步隅法得半径

草曰立天元一以为半城径以二之加于乙东行得□□为勾率又以天元减甲南行得□□为股率乃置乙东行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此为小股此小股即半梯之头也【内带勾率分母】又以股率乗之【此股率即半梯之底也】得□□□为半径幂【内带勾率分母】寄左然后置天元幂以勾率通之得□□□为同数与左相消得□○□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙出东门南行三十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

法曰二行步相乗为寳以南行为从一步常法得半径

草曰立天元一为半径以减于甲南行得□□为半梯底以乙南行三十步为半梯头以乗之得□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消得丨□□开平方得一百二十步即半城径也合问

或问乙从艮隅南行一百五十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

法曰二行步相乗为实并二行步为法得半径草曰立天元一为半径副置之上以减于乙南行得□□为半梯头下以减于甲南行得□□为半梯底上下相乗得丨□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消得下式□□上法下实如法而一得一百二十步倍之即城径也合问

或问乙从艮隅东行八十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

法曰二行步相乘又倍之为实二之乙东行为从一步常法得全径

草曰别得乙东行八十步即小差也立天元一为城径减于甲南行步得□□为大差以乙东行步乘之得□□又倍之得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问南门东不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城防相直复就树斜行四百八步至树问答同前

法曰南行步幂内减两段两行相乘数为实二之南行步为从一步益隅得城径

草曰别得南行步内减城径即小股也其斜行步即小也又二行相减即大差为股之勾也立天元一为圆径以减南行步得□□为股圆差也【合为小股】置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此为大【内带小股分母】再置南行步以小股乗之得□□为大股【亦带小股分母】以大股减大得□□为小差也合以大差乘之縁于内带大差分母更不湏乘便以为半段黄方幂【更无分母】又二之得□□为一段黄方幂【寄左】然后以天元幂为同数与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问

依前问假令乙出南门东行不知步数而立甲从干南行六百步望乙与城相直复就乙斜行四百八步【按此即前问以明又法】

法曰二行差幂乗甲南行为实二之二行差以乗南行步为益方二之二行差为隅得半径

草曰识别得二行相减即半城径与乙东行共也得此数更不须用斜立天元为半径减于二行差一百九十二得□□即半梯头也又以二天元减甲南行步得□□为股率又以一百九十二为勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此为大勾【内寄股率分母】再置天元以股率乘之得□□以减于大勾得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□□为半城径幂【内寄股率分母】寄左然后以股率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问

或问东门南不知逺近有树甲从干隅南行六百步见树复向树斜行五百一十步至树问答同前

法曰二行差步乘甲南行步为实二行之差步并甲南行步为从二益隅【若欲从简上下俱折半】

草曰别得二行相减数即虚积之股也立天元一为半径内减二行之差步得□□为梯头于上又以天元减于甲之南行步得□□为梯底上下相乗得□□□为圆径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得□□□开平方得一百二十步即城径也合问

或问乙出东门直行不知步数而立甲从干隅南行六百步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相防问答同前

法曰以二行步相减乘甲南行步得数又半之南行步以乘之为实以二行差乘南行步于上又以半之南行步乘南行步加于上为从方二之南行步为益亷一步常法得半径

草曰别得二行相减即半径上勾股较【此股即半径也】又别得是大勾圆差不及平数立天元一以为半城径以减南行步得□□为中股其斜行步即中也乃立半城径以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此为平【内带中股分母】又以二行步相减余五十六步为勾圆差不及平数置此数以中股乗之得□□复以减平余得□□为小差【内带中股分母】乃以二天元减甲南行步得□□为大差又半之得□□以乘小差得□□□为半径幂【寄左】然后以天元自乗又以中股通之得□□□为同数与左相消得丨□□□开立方得一百二十歩倍之即城径也合问【翻法在记】

或问甲乙二人俱在干隅乙东行不知步数而立甲南行六百步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相会问答同前

法曰以二行差乘二行并开平方得数内复减二行差得全径

草曰别得二行相减即勾圆差也先求大勾立天元一为大勾以二行相减余八十步以乘二行相并数一千二百八十步得□为勾幂开平方得三百二十步即大勾也大勾内减去勾圆差余二百四十步即城径也合问

或问南门外不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城防相直复就树斜行二百五十五步至树问答同前

法曰倍二行相减数内减甲南行得数复以乘甲南行为实倍二行相减数为从二步益隅得半径草曰识别得斜行步乃是树至城心之数也立天元一为半径加斜行步得□□为树至城北门之步也乃以减于甲南行得□□为小股率其天元半径即小勾率其斜步即小数也再置甲南行步内减天元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小股率得□□即梯头也复以乘上位得□□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得一百二十歩倍之即城径也合问

或问东门外不知步数有槐树一株甲从干隅南行至柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行了一千一百四十四步乙从艮隅东行望见槐树与城相直复斜行至槐树下乙自云我东行少不及斜行五十六步问答同前

法曰甲斜行减于甲南行以乘甲南行得数复以乘二之甲南行为实半之甲南行以乘二之甲南行于上甲斜行减于甲南行余复以乘甲南行又倍之加上位为从方二之甲南行为益亷五分隅法【按五分隅法即半个立方】

草曰识别得五十六步是小差不及平数【此小差即勾圆差也】又为平上勾股差又为甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位减五十六步而半之得五百四十四步即今也立天元一为圆径以半之减于甲南行步得□□为中股其斜行五百四十四步即中也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此为平【内寄中股分母】又置勾圆差不及平数以中股乘之得□□复以减于平□□为小差【内带小股分母】又以天元减甲南行倍之得□□为两个大差以乘小差得□□□为圆径幂【寄左】然后以中股乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问【翻法在记】

或问出东门向南行不知步数有柳树一株甲从干隅南行六百步望见柳树而止乙出东门直行不知步数望柳树与甲相直却斜行三十四步至柳树下问答同前

法曰乙斜行乘甲南行数以乗甲南行幂为实斜行乗甲南行幂又三之为从方甲行幂内减两段斜行南行相乘数【按甲南行内减二之乙斜行以甲南行乘之】为第一亷二之南行步为第二益亷二步常法得半径

草曰立天元一为半径以二之减甲南行得□□为大差以自之得□□□为大差幂加于南行幂得□□□又半之得□□□为大也内带大差□□分母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大除不除便以此为小股也【内带大分母】乃以天元减甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯头得□□为半径幂于上此半径幂内有大分母縁别寄大分母元带大差分母故又用大差分母□□乘上半径幂得□□□为带分半径幂也所带之分谓只带大分母也【寄左】然后以大乘天元幂得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百二十步即半城径也合问

按此条寄分内又带寄分则以所带之分乘本条仍以寄分乘次条者盖寄分为应除本条之数而寄分内所带之分又为应除寄分之数今不除寄分而乘本条则犹是寄分乘次条之理也乗除之变至斯而极矣

又法置甲南行幂于上又置甲行幂半之以乗上位为实以斜行乗甲行幂倍之于上位又以甲行再自乗加上位为益方置甲行幂于上以斜行乗甲南行倍之以减上位为第一亷甲南行步为第二亷半步常法得股圆差

草曰立天元一为股圆差【即大差】以自之为幂以加甲南行幂得丨□□半之又以天元除之得□□□为大其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大除不除便以为小股【内寄大分母】乃以天元加甲南行步得□□为全梯底也以乗小股半梯头得□□又倍之得□□为城径幂【内寄大为母】寄左置天元大差减甲南行余□□为圆径以自之得丨□□又以大分母乗之得□□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得三百六十步即股圆差也以股圆差减甲南行余二百四十步即城径也合问

或问甲从干隅南行六百步而止丙出南门直行乙出南门东行各不知步数而立甲望乙丙悉与城防相直既而乙就丙斜行一百五十三步相防问答同前法曰以甲南行步再自之于上以斜行步乘甲南行幂又倍之减上位为立方实南行步自之又四之于上以斜步乗甲南行又倍之减上位为益从六之甲行步为从亷四步虚常法得半径

草曰立天元一为半径以二之减于甲南行得□□为大差也以自之得□□□为大差幂也乃置甲南行幂内加大差幂而半之得□□□为大也【内寄大差分母】又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□为大勾也【亦带大差分母】乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大除不除便以此为小勾内带大为母【其大勾内元有大差分母不用】即半梯头也【寄上位】再寄天元半径以大差乘之得□□以减于大勾得□为半梯底也以乘上位得□□□为半径幂也【内带大差及大为母】寄左然后置天元幂以大差通之又以大通之得□□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半城径也合问

依前问假令南门外有树乙出南门东行不知步数而立【只云乙东行步少于树去城步】甲从干隅向南行六百步望树与乙悉与城防相直乙就树斜行一百五十三步至问答同前

法曰以斜行步乗甲行幂为立方实以甲行幂半之于上以斜行步乘甲行步减上位为益从亷空五分隅得大勾大差

草曰别得斜步即小小得小和即勾差也立天元一为股圆差以自之为幂副之上以加甲南行幂而半之得□□□为大也【寄大差分母】下以减于甲南行幂而半之得下式□□□为大勾也【寄大差分母】乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大除不除便以此为小勾【寄大分母】又置斜步以甲南行乗之得□合以大除为小股不除而又以同母分通之得□○为同分小股也【内只寄大分母】注【大股乘时无大差分母故今通之以齐大勾上所有大差分母也】又置斜步以大通之得□□□为通分小也三位相并得□□为股圆差【寄左】然后置天元大差以大分母通之得□○□为同数与左相消得□○□□开立方得三百六十步即股圆差也以股圆差减于甲南行步即城径也合问

或问东门外不知步数有树甲从干南行六百步而止乙出北门东行斜望树及甲与城防相直却就树斜行一百三十六步问答同前

法曰二行步相乘于上又半甲南行乘之为实二行相乗于上又半甲南行以乘甲南行加上位为益从甲南行为从亷一步益隅开立方得半径

草曰立天元一为半径便以为小股其斜行步即小也乃以甲南行为大股以小乘之复以天元除之得□□即大也又倍天元减甲南行余□□为大差以减大余□□□为大勾也又倍天元以减勾得□□□为小差也却以半大差□□乘之得□□□为半径幂【寄左】乃以天元幂相消得下式丨□□□开立方得一百二十步即半径合问

或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数有柳树一株槐柳二树相去二百八十九步有人从干南行六百步而止斜望槐柳与城防相直问答同前

法曰云数相乘得又自增乗为三乗方实斜步幂乘南行步又云之为益从二云数相乘又倍之【按此下脱内减斜步幂五字】为益亷二之斜步为第二从亷二法常法得槐至城心步

草曰别得槐树至城心步即人所止至槐树步也乃立天元一为槐树至城心步【即人至槐处】加于斜步得□□为边也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此为边股【寄斜步分母】又以斜步乗南行步得□为大股以边股减之余□□□为半城径【寄斜步分母】以自之得丨□□□□为半径幂【内带斜步为母】寄左又以天元减斜歩得□□为□以天元乘之得□□○合斜步除不除寄为母便以此为半梯头以边股半梯底乗之得□○□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得二百五十五步即槐树至城心之步也亦为皇极正股又自之得数以减斜幂余如平方而一得城心至柳树步又为皇极正勾也勾股相乘倍之为实如斜步而一即城径也合问